Nierówność Borella – TIS

W matematyce i prawdopodobieństwie nierówność Borella – TIS jest wynikiem ograniczającym prawdopodobieństwo odchylenia jednolitej normy wyśrodkowanego procesu stochastycznego Gaussa powyżej jego wartości oczekiwanej . Wynik został nazwany na cześć Christera Borella i jego niezależnych odkrywców Borysa Tsirelsona , Ildara Ibragimowa i Władimira Sudakowa. Nierówność została opisana jako „najważniejsze narzędzie w badaniu procesów Gaussa”.

Oświadczenie

Niech będzie przestrzenią topologiczną $i$ niech $T$ wyśrodkowanym (tj. średnim zerem procesem na ${\ displaystyle T}$ z

${\ Displaystyle \|f \|_ {T}: = \ sup _ {t \ w T} | f_ {t} |}$

prawie na pewno skończony i niech

${\ Displaystyle \ sigma _ {T} ^ {2}: = \ sup _ {t \ w T} \ operatorname {E} | f_ {t} | ^ {2}.}$

Wtedy ${\ Displaystyle \ operatorname {E} (\ | f \ | _ {T}}}$ i oba są skończone i dla każdego ${\ Displaystyle \ sigma _ {T}}$${\ displaystyle u> 0}$ ,

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {P} {\ duży (} \ | f \ | _ {T}> \ nazwa operatora {E} (\ | f \ | _ {T}) + u {\ duży)} \ równoważnik \ exp \left({\frac {-u^{2}}{2\sigma _{T}^{2}}}\right).}$

Innym powiązanym stwierdzeniem, znanym również jako nierówność Borella-TIS, jest to, że w tych samych warunkach, co powyżej,

${\ Displaystyle \ operatorname {P} {\ duży (} \ sup _{t\in T}f_{t}>\operatorname {E} (\sup _{t\in T}f_{t})+u{\big )}\leq \exp {\bigg (}{\ frac {-u^{2}}{2\sigma _{T}^{2}}}{\bigg )}}$ ,

i tak przez symetrię

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {P} {\ duży ( }|\sup _{t\in T}f_{t}-\operatorname {E} (\sup _{t\in T}f_{t})|>u{\big )}\leq 2\exp { \bigg (}{\frac {-u^{2}}{2\sigma _{T}^{2}}}{\bigg)}}$ .

Zobacz też

• Nierówność izoperymetryczna Gaussa