Nierówność izoperymetryczna Gaussa

W matematyce nierówność izoperymetryczna Gaussa , udowodniona przez Borisa Tsirelsona i Władimira Sudakowa , a później niezależnie przez Christera Borella , stwierdza, że pośród wszystkich zbiorów danej miary Gaussa w n -wymiarowej przestrzeni euklidesowej półprzestrzenie mają minimalną miarę brzegową Gaussa .

Sformułowanie matematyczne

Niech ${\ displaystyle \ scriptstyle A}$ będzie mierzalnym podzbiorem wyposażonym w standardową miarę Gaussa $γ$ $\ Displaystyle \ gamma ^ {n$ z gęstość ${\ Displaystyle {\ exp (- \ | x \ | ^ {2}/2)} / (2 \ pi) ^ { n/2}}$ . Oznacz przez

{\ Displaystyle A _ {\ varepsilon} = \ lewo \ {x \ w \ mathbf {R} ^ {n} \, | \, {\ tekst {dist}} (x, A )\leq \varepsilon \right\}}

rozszerzenie ε A . Następnie stwierdza to nierówność izoperymetryczna Gaussa

{\ Displaystyle \ liminf _ {\ varepsilon \ do + 0 }\varepsilon ^{-1}\left\{\gamma ^{n}(A_{\varepsilon })-\gamma ^{n}(A)\right\}\geq \varphi (\Phi ^{-1 }(\gamma ^{n}(A))),}

Gdzie

{\ Displaystyle \ varphi (t) = {\ Frac {\ exp (-t ^ {2}/2)}} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ quad {\ rm {i}} \ quad \ Phi ( t)=\int _{-\infty}^{t}\varphi (s)\,ds.}

Dowody i uogólnienia

Oryginalne dowody Sudakowa, Tsirelsona i Borella były oparte na sferycznej nierówności izoperymetrycznej Paula Lévy'ego .

Siergiej Bobkow udowodnił funkcjonalne uogólnienie nierówności izoperymetrycznej Gaussa z pewnej „dwupunktowej nierówności analitycznej”. Bakry i Ledoux przedstawili kolejny dowód nierówności funkcjonalnej Bobkowa, oparty na półgrupowych , które działają w znacznie bardziej abstrakcyjnym otoczeniu. Później Barthe i Maurey podali jeszcze jeden dowód wykorzystujący ruchy Browna .

Nierówność izoperymetryczna Gaussa wynika również z nierówności Ehrharda.

Zobacz też