Nierówność Gaussa

W teorii prawdopodobieństwa nierówność Gaussa (lub nierówność Gaussa ) wyznacza górną granicę prawdopodobieństwa, że jednomodalna zmienna losowa leży dalej niż dowolna odległość od jej modu .

Niech X będzie jednomodalną zmienną losową z modą m i niech τ ² będzie wartością oczekiwaną ( X − m ) ² . ( τ ^{2 można} również wyrazić jako ( μ − m ) ² + σ ² , gdzie μ i σ są średnią i odchyleniem standardowym X .) Wtedy dla dowolnej dodatniej wartości k ,

{\ Displaystyle \ Pr (| Xm |> k) \ leq {\ rozpocząć {przypadki} \ lewo ({\ Frac {2 \ tau} {3k}} \ prawo) ^ {2} i {\ tekst {jeśli}} k\geq {\frac {2\tau}}{\sqrt {3}}}\\[6pt]1-{\frac {k}{\tau {\sqrt {3}}}}&{\text{if }}0\leq k\leq {\frac {2\tau}} {\sqrt {3}}}.\end{przypadki}}}

Twierdzenie to zostało po raz pierwszy udowodnione przez Carla Friedricha Gaussa w 1823 roku.

Rozszerzenia do momentów wyższego rzędu

Winkler w 1866 rozszerzył nierówność Gaussa do r- ^tych momentów, gdzie r > 0, a rozkład jest jednomodalny z modą zerową. Nazywa się to czasami nierównością Campa-Meidella .

{\ Displaystyle P (| X | \ geq k) \ równoważnik \ lewo ({\ Frac {r} {r + 1}} \ prawo) ^ {r} {\ Frac {\ nazwa operatora {E} (| X |) ^{r}}{k^{r}}}\quad {\text{jeśli}}\quad k^{r}\geq {\frac {r^{r}}{(r+1)^{r +1}}}\operatorname {E} (|X|^{r}),}

{\ Displaystyle P (| X | \ geq k) \ równoważnik \ lewo (1- \ lewo [{\ Frac {k ^ {r}} {(r + 1) \ operatorname {E} (| X |) ^ { r}}}\right]^{1/r}\right)\quad {\text{if}}\quad k^{r}\leq {\frac {r^{r}}{(r+1) ^{r+1}}}\nazwa_operatora {E} (|X|^{r}).}

Granica Gaussa została następnie zaostrzona i rozszerzona, aby dotyczyła raczej odchyleń od średniej niż modu ze względu na nierówność Vysochanskiï – Petunin . Ten ostatni został rozszerzony przez Dharmadhikari i Joag-Dev

{\ Displaystyle P (| X |> k) \ równoważnik \ max \ lewo (\ lewo [{\ Frac {r} {(r + 1) k}} \ prawo] ^ {r} E | X ^ {r} |,{\frac {s}{(s-1)k^{r}}}E|X^{r}|-{\frac {1}{s-1}}\right)}

gdzie s jest stałą spełniającą zarówno s > r + 1, jak i s ( s - r - 1) = r ^r i r > 0.

Można wykazać, że te nierówności są najlepsze z możliwych i że dalsze zaostrzenie granic wymaga nałożenia dodatkowych ograniczeń na rozkłady.

Zobacz też

Nierówność Vysochanskiï – Petunina , podobny wynik dla odległości od średniej, a nie trybu
Nierówność Czebyszewa dotyczy odległości od średniej bez wymogu jednomodalności
Nierówność koncentracji - podsumowanie granic ogona dla zmiennych losowych.

Gaussa CF (1823). „Theoria Combinationis Observationum Erroribus Minimis Obnoxiae, Pars Prior”. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores . 5 .
Upton, Graham; Gotować, Ian (2008). „Nierówność Gaussa”. Słownik statystyki . Oxford University Press.
Sellke, TM; Sellke, SH (1997). „Nierówności Czebyszewa dla rozkładów unimodalnych”. Statystyk amerykański . Amerykańskie Towarzystwo Statystyczne. 51 (1): 34–40. doi : 10.2307/2684690 . JSTOR 2684690 .
Pukelsheim, F. (1994). „Zasada trzech sigma”. Statystyk amerykański . Amerykańskie Towarzystwo Statystyczne. 48 (2): 88–91. doi : 10.2307/2684253 . JSTOR 2684253 .