Nierówność Wirtingera (2 formy)

Aby zapoznać się z innymi nierównościami nazwanymi na cześć Wirtingera, zobacz nierówność Wirtingera .

W matematyce nierówność Wirtingera , nazwana na cześć Wilhelma Wirtingera , jest podstawowym wynikiem złożonej algebry liniowej , która wiąże formy symplektyczne i objętościowe hermitowskiego iloczynu wewnętrznego . Ma to ważne konsekwencje w złożonej geometrii , takie jak wykazanie, że znormalizowane potęgi zewnętrzne formy Kählera rozmaitości Kählera są kalibracjami .

Oświadczenie

Rozważmy rzeczywistą przestrzeń wektorową z dodatnio określonym iloczynem wewnętrznym $g$ , formą symplektyczną $ω$ i prawie zespoloną strukturą $J$ , połączoną przez $ω (u, v) = g (J (u), v)$ dla dowolnych wektorów $u$ i $v$ . Wtedy dla dowolnych wektorów ortonormalnych $v 1, ..., v 2 k$ jest

{\ Displaystyle (\ underbrace {\ omega \ klin \ cdots \ klin \ omega} _ {k {\ tekst {razy}}}) (v_ {1}, \ ldots, v_ {2k}) \ równoważnik k !.}

Istnieje równość wtedy i tylko wtedy, gdy rozpiętość $v 1, ..., v 2 k$ jest domknięta pod działaniem $J$ .

W języku przecinka formy twierdzenie Wirtingera (choć bez precyzji, kiedy równość jest osiągnięta) można również sformułować jako mówiące, że przecinek formy $ω \land \cdot\cdot\cdot \land ω$ jest równy $k!$ .

Dowód

$k = 1$

W szczególnym przypadku $k = 1$ nierówność Wirtingera jest szczególnym przypadkiem nierówności Cauchy'ego – Schwarza :

{\ Displaystyle \ omega (v_ {1}, v_ { 2})=g(J(v_{1}),v_{2})\równoważnik \|J(v_{1})\|_{g}\|v_{2}\|_{g}=1 .}

Zgodnie z przypadkiem równości nierówności Cauchy'ego-Schwarza, równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $J (v 1)$ i $v 2$ są współliniowe, co odpowiada rozpiętości $v 1, v 2$ domkniętej pod $J$ .

$k > 1$

Niech $v 1, ..., v 2 k$ będą ustalone i niech $T$ oznacza ich rozpiętość. Wtedy istnieje baza ortonormalna $e 1, ..., e 2 k$ T z podwójną bazą $w 1, ..., w 2 k$ taka, $że$

{\ Displaystyle \ jota ^ {\ ast} \ omega = \ suma _ {j = 1}^{k}\omega (e_{2j-1},e_{2j})w_{2j-1}\klin w_{2j},}

gdzie $ι$ oznacza mapę inkluzji od $T$ do $V$ . To implikuje

{\ Displaystyle \ underbrace {\ jota ^ {\ ast} \ omega \ klin \ cdots \ klin \ jota ^ {\ ast} \ omega} _ {k {\ tekst {razy}}} = k! \ prod _ {i =1}^{k}\omega (e_{2i-1},e_{2i})w_{1}\klin \cdots \klin w_{2k},}

co z kolei implikuje

{\ Displaystyle (\ underbrace {\ omega \ klin \ cdots \ klin \ omega} _ {k {\ tekst {razy}}}) (e_ {1}, \ ldots, e_ {2k}) = k! \ prod _ {i=1}^{k}\omega (e_{2i-1},e_{2i})\leq k!,}

gdzie nierówność wynika z wcześniej ustalonego przypadku $k = 1$ . Jeśli zachodzi równość, to zgodnie z $k = 1$ musi być tak, że $ω (e 2 i - 1, e 2 i) = \pm1$ dla każdego $i$ . Jest to równoważne albo $ω (mi 2 ja - 1, mi 2 ja) = 1$ albo $ω (mi 2 i, e 2 i - 1) = 1$ , co w obu przypadkach (z przypadku $k = 1$ ) implikuje, że rozpiętość $e 2 i - 1, e 2 i$ jest domknięta pod $J$ , a zatem rozpiętość $e 1, ..., e 2 k$ jest domknięte pod $J$ .

Wreszcie zależność ilościowa

{\ Displaystyle (\ underbrace {\ omega \ klin \ cdots \ klin \ omega} _ {k {\ tekst {razy}}}) (v_{1},\lddots,v_{2k})}

na $v 1, ..., v 2 k$ jest tylko na ilości $v 1 \land \cdot\cdot\cdot \land v 2 k$ , a z warunku ortonormalności na $v 1, ..., v 2 k$ , ten iloczyn klina jest dobrze- określony do znaku. Wiąże to powyższą pracę z $e 1, ..., e 2 k$ z żądanym stwierdzeniem pod względem $v 1, ..., v 2 k$ .

Konsekwencje

Biorąc pod uwagę złożoną rozmaitość z hermitowską metryką , twierdzenie Wirtingera natychmiast implikuje, że dla dowolnej $2 k$ -wymiarowej osadzonej podrozmaitości $M$ istnieje

{\ Displaystyle \ operatorname {tom} (M) \ geq {\ Frac {1} {k!}} \ int _ {M} \ omega ^ {k},}

gdzie $ω$ jest formą metryki Kählera . Ponadto równość jest osiągana wtedy i tylko wtedy, gdy $M$ jest podrozmaitością zespoloną . W szczególnym przypadku, gdy metryka hermitowska spełnia warunek Kählera , oznacza to, że $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} 1 / k ! ω k$ jest kalibracją dla podstawowej metryki riemannowskiej i że odpowiednie skalibrowane podrozmaitości są złożonymi podrozmaitościami o złożonym wymiarze $k$ . Mówi to w szczególności, że każda podrozmaitość zespolona rozmaitości Kählera jest podrozmaitością minimalną , a nawet minimalizuje objętość wśród wszystkich podrozmaitości w swojej klasie homologii .

Korzystając z nierówności Wirtingera, fakty te rozciągają się nawet na bardziej wyrafinowany kontekst prądów w rozmaitościach Kählera.

Zobacz też

Notatki

Federer, Herbert (1969). Teoria miary geometrycznej . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Tom. 153. Berlin – Heidelberg – Nowy Jork: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-3-642-62010-2 . ISBN 978-3-540-60656-7 . MR 0257325 . Zbl 0176.00801 .
Griffiths, Phillip ; Harris, Józef (1978). Zasady geometrii algebraicznej . Matematyka czysta i stosowana . Nowy Jork: John Wiley & Sons . ISBN 0-471-32792-1 . MR 0507725 . Zbl 0408.14001 .
Harvey, Reese ; Lawson, H. Blaine, Jr. (1982). „Kalibrowane geometrie” . Acta Mathematica . 148 : 47–157. doi : 10.1007/BF02392726 . MR 0666108 . Zbl 0584.53021 .
McDuff, Dusa ; Salamon, Dietmar (2017). Wprowadzenie do topologii symplektycznej . Oxford Graduate Texts in Mathematics (trzecie wydanie oryginalnego wydania z 1995 r.). Oksford: Oxford University Press . doi : 10.1093/oso/9780198794899.001.0001 . ISBN 978-0-19-879490-5 . MR 3674984 . Zbl 1380.53003 .
Wirtinger W. (1936). „Eine Determinantenidentität und ihre Anwendung auf analytische Gebilde in euklidischer und Hermitescher Maßbestimmung”. Monatshefte für Mathematik und Physik . 44 : 343–365. doi : 10.1007/BF01699328 . MR 1550581 . Zbl 0015.07602 .