Nierówność izoemboliczna Bergera

W matematyce nierówność izoemboliczna Bergera jest wynikiem geometrii riemannowskiej , która daje dolną granicę objętości rozmaitości riemannowskiej , a także daje warunek konieczny i wystarczający , aby rozmaitość była izometryczna względem sfery m - wymiarowej z jej zwykłym „okrągłym” metryczny. Twierdzenie to zostało nazwane na cześć matematyka Marcela Bergera , który wyprowadził je z nierówności udowodnionej przez Jerry'ego Kazdana .

Stwierdzenie twierdzenia

Niech ( M , g ) będzie zamkniętą m - wymiarową rozmaitością riemannowską o promieniu iniekcji inj ( M ) . Niech vol( M ) oznacza riemannowską objętość M i niech cm _oznacza objętość standardowej m -wymiarowej kuli o promieniu jeden. Następnie

${\ Displaystyle \ operatorname {vol} (M) \ geq {\ Frac {c_ {m} (\ operatorname {inj} (M ))^{m}}{\pi ^{m}}},}$

z równością wtedy i tylko wtedy, gdy ( M , g ) jest izometryczne do m -sfery ze swoją zwykłą okrągłą metryką. Wynik ten jest znany jako nierówność izoemboliczna Bergera . Dowód opiera się na analitycznej nierówności udowodnionej przez Kazdana. Oryginalna praca Bergera i Kazdana pojawia się w dodatkach do Arthura Besse „Rozmaitości, których wszystkie geodezje są zamknięte”. Na tym etapie pojawiła się nierówność izoemboliczna z nieoptymalną stałą. Czasami nierówność Kazdana nazywana jest nierównością Bergera-Kazdana .

Książki.

•     Berger, Marcel (2003). Panoramiczny widok geometrii Riemanna . Berlin: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-3-642-18245-7 . ISBN 3-540-65317-1 . MR 2002701 . Zbl 1038.53002 .
•     Besse, Arthur L. (1978). Rozmaitości, których wszystkie geodezyjne są zamknięte . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Tom. 93. Załączniki DBA Epstein , J.-P. Bourguignon , L. Bérard-Bergery, M. Berger i JL Kazdan . Berlin – Nowy Jork: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-3-642-61876-5 . ISBN 3-540-08158-5 . MR 0496885 . Zbl 0387.53010 .
•     Chavel, Izaak (1984). Wartości własne w geometrii riemannowskiej . Matematyka czysta i stosowana . Tom. 115. Orlando, Floryda: Prasa akademicka . doi : 10.1016/s0079-8169(08)x6051-9 . ISBN 0-12-170640-0 . MR 0768584 . Zbl 0551.53001 .
•     Chavel, Izaak (2006). geometria riemannowska. Nowoczesne wprowadzenie . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Tom. 98 (drugie wydanie oryginalnego wydania z 1993 r.). Cambridge: Cambridge University Press . doi : 10.1017/CBO9780511616822 . ISBN 978-0-521-61954-7 . MR 2229062 . Zbl 1099.53001 .
•     Sakai, Takashi (1996). geometria riemannowska . Tłumaczenia monografii matematycznych. Tom. 149. Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . doi : 10.1090/mmono/149 . ISBN 0-8218-0284-4 . MR 1390760 . Zbl 0886.53002 .

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Twierdzenie porównania Bergera-Kazdana” . MathWorld .