Numer Brjuno

W matematyce liczba Brjuno jest szczególnym typem liczby niewymiernej .

Definicja formalna

Liczba niewymierna nazywana jest liczbą $Brjuno,$ suma nieskończona

{\ Displaystyle B (\ alfa) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {\ log q_ {n + 1 }}{q_{n}}}}

zbiega się do skończonej liczby

Tutaj:

${\ Displaystyle q_ {n}}$ jest mianownikiem n $-$ tej zbieżnej ${\ Displaystyle {\ Frac {p_ {n}} {q_ {n}}}}$ dalszego rozwinięcia ułamka $\alpha$ .
${\ displaystyle B}$ jest funkcją Brjuno

Nazwa

Liczby Brjuno zostały nazwane na cześć Alexandra Bruno , który przedstawił je w Brjuno (1971) ; czasami są one również pisane numerami Bruno lub numerami Bryuno .

Znaczenie

Liczby Brjuno są ważne w jednowymiarowych analitycznych problemach z małymi dzielnikami. $że$ diofantyczny $Brjuno$ twierdzeniu Siegela, wykazał, zarodki funkcji holomorficznych z są linearyzowalne jeśli numer. Jean-Christophe Yoccoz ( 1995 ) wykazał w 1987 r., że warunek ten jest również konieczny, a dla wielomianów kwadratowych jest konieczny i wystarczający.

Nieruchomości

Intuicyjnie liczby te nie mają wielu dużych „skoków” w ciągu zbieżnym, w którym mianownik n- tej zbieżności jest wykładniczo większy niż mianownik n- tej zbieżności. Tak więc, w przeciwieństwie do liczb Liouville'a , nie mają one niezwykle dokładnych przybliżeń diofantycznych za pomocą liczb wymiernych .

Funkcja Brjuno

Suma Brjuno

Suma Brjuno lub $funkcja$ jest

{\ Displaystyle B (\ alfa) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {\ log q_ {n + 1 }}{q_{n}}}}

Gdzie:

${\ Displaystyle q_ {n}}$ jest mianownikiem n $-$ tej zbieżnej ${\ Displaystyle {\ Frac {p_ {n}} {q_ {n}}}}$ dalszego rozwinięcia ułamka $\alpha$ .

Prawdziwy wariant

Funkcja Brjuno

Rzeczywista funkcja Brjuno jest zdefiniowana dla liczb niewymiernych $}$ $Displaystyle B (\ alfa)$

{\ Displaystyle B: \ mathbf {R} \ setminus \ mathbf {Q} \ do \ mathbf {R} \ kubek \ lewo \ {+ \ infty \ prawo \}}

i zadowala

{\ Displaystyle B (\ alfa) = B (\ alfa + 1)}

{\ Displaystyle B ( \alpha )=-\log \alpha +\alpha B(1/\alpha)}

dla wszystkich irracjonalnych między 0 a 1. ${\ displaystyle \ alpha}$

Wariant Yoccoza

Yoccoza sumy Brjuno zdefiniowany w następujący sposób:

{\ Displaystyle Y (\ alfa) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} \ alfa _ {0} \ cdots \alpha _{n-1}\log {\frac {1}{\alpha _{n}}},}

Gdzie:

${\ Displaystyle \ alpha}$ jest irracjonalną liczbą rzeczywistą: ${\ Displaystyle \ alpha \ in \ mathbf {R} \ setminus \ mathbf {Q}}$
${\ Displaystyle \ alpha _ {0}}$ jest częścią ułamkową ${\ Displaystyle \ alpha}$
${\ Displaystyle \ alpha _ {n + 1}}$ jest częścią ułamkową ${\ Displaystyle \ alpha _ {n}}$

Ta suma jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy suma Brjuno jest zbieżna, aw rzeczywistości ich różnica jest ograniczona uniwersalną stałą.

Zobacz też

Liczba transcendentalna

Brjuno, Alexander D. (1971), „Analityczna postać równań różniczkowych. I, II”, Trudy Moskovskogo Matematičeskogo Obščestva , 25 : 119–262, ISSN 0134-8663 , MR 0377192
Lee, Eileen F. (wiosna 1999), „Struktura i topologia liczb Brjuno” (PDF) , Proceedings of the 1999 Topology and Dynamics Conference (Salt Lake City, UT) , Topology Proceedings, tom. 24, s. 189–201, MR 1802686
Marmi, Stefano; Moussa, Pierre; Yoccoz, Jean-Christophe (2001), „Złożone funkcje Brjuno”, Journal of the American Mathematical Society , 14 (4): 783–841, doi : 10.1090 / S0894-0347-01-00371-X , ISSN 0894-0347 , MR 1839917
Yoccoz, Jean-Christophe (1995), "Théorème de Siegel, nombres de Bruno et polynômes quadratiques", Petits diviseurs en Dimension 1 , Astérisque , tom. 231, s. 3–88, MR 1367353

Notatki