Obiekt H

W matematyce , szczególnie w ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}$ homotopicznej , obiekt H jest kategorycznym uogólnieniem przestrzeni H , którą można zdefiniować w dowolnej kategorii za pomocą iloczynu . $}$ i obiekt początkowy ${\ displaystyle *}$ . Są to przydatne konstrukcje, ponieważ pomagają wyeksportować niektóre pomysły z topologii algebraicznej i teorii homotopii do innych dziedzin, takich jak algebra przemienna i geometria algebraiczna .

Definicja

W kategorii z produktem i początkowym obiektem $∗$ $*}$ $jest$ obiekt H obiektem $displaystyle X\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}})}$ ${$ wraz z operacją zwaną mnożeniem wraz z tożsamością dwustronną. Jeśli oznaczymy ${\ displaystyle u_ {X}: X \ do *}$ , struktura obiektu H sugeruje, że istnieją mapy

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ varepsilon &: * \ do X \\\ mu &: X \ razy X \ do X \ koniec {wyrównane}}}$

które mają relacje komutacyjne

${\ Displaystyle \ mu (\ varepsilon \ circ u_ {X}, id_ {X}) = \ mu (id_{X},\varepsilon \circ u_{X})=id_{X}}$

Przykłady

Magmy

Wszystkie magmy z jednostkami są potajemnie obiektami H w kategorii ${\ displaystyle {\ textbf {zestaw}}}$ .

H-przestrzenie

Innym przykładem obiektów H są $przestrzenie$ kategorii przestrzeni topologicznych

Obiekty H w algebrze homotopicznej

W algebrze homotopicznej jedną klasę obiektów H rozważał Quillen podczas konstruowania kohomologii André – Quillena dla pierścieni przemiennych. W tej sekcji niech wszystkie algebry będą przemienne, asocjacyjne i jednościowe. Jeśli pozwolimy $pierścieniem$ przemiennym i niech będzie podkategorią takich algebr nad $}$ co oznacza $A$ ZA ${\ displaystyle A$ ) i ustaw ${\ Displaystyle (A \ backslash R)/B}$ być asocjacyjną nadkategorią obiektów w ${\ Displaystyle A \ backslash R}$ , a następnie obiektem H w tej kategorii $(A \ odwrotny ukośnik R)/B$ jest algebrą postaci ${\ displaystyle B \ oplus M}$ gdzie ${\ displaystyle M}$ to moduł - $M {\ displaystyle B \ oplus M}$ . Te algebry mają operacje dodawania i mnożenia

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} (b \ oplus m) + (b '\ oplus m') & = (b + b') \ oplus (m + m') \\ (b \ oplus m )\cdot (b'\oplus m')&=(bb')\oplus (bm'+b'm)\end{wyrównane}}}$

$,$ że podana powyżej mapa mnożenia daje strukturę obiektu . Zauważ, że dodatkowo mamy dwie pozostałe mapy struktur podane przez

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} u_ {B \ oplus M} (b \ oplus m) & = b \\\ varepsilon (b) &=b\oplus 0\end{wyrównane}}}$

dając pełną strukturę obiektu H. Co ciekawe, obiekty te mają następującą właściwość:

${\ Displaystyle {\ tekst {Hom}} _ {(A \ ukośnik odwrotny R) / B} (Y, B \ oplus M)\cong {\text{Der}}_{A}(Y,M)}$

dając izomorfizm między $wyprowadzeniami$ z $\ Displaystyle$ do $M}$ i morfizmami od $}$ do obiektu H. $Displaystyle$ . W rzeczywistości oznacza to, $\ backslash R) / B$ $/$ R ponieważ daje funktor kontrawariantny o wartościach w grupach abelowych.

Zobacz też