Obroty łańcuchowe Davenporta

W fizyce i inżynierii łańcuchowe obroty Davenporta to trzy łańcuchowe wewnętrzne obroty wokół określonych osi ustalonych przez ciało . Obroty Eulera i obroty Taita – Bryana to szczególne przypadki ogólnego rozkładu rotacji Davenporta. Kąty obrotu nazywane są kątami Davenporta, ponieważ ogólny problem rozkładu obrotu w sekwencji trzech był najpierw badany przez Paula B. Davenporta.

że nieortogonalny obracający się układ współrzędnych jest sztywno przymocowany do sztywnego ciała. W tym przypadku jest to czasami nazywane lokalnym układem współrzędnych. Biorąc pod uwagę, że osie obrotu są solidarne z poruszającym się ciałem, uogólnione obroty można podzielić na dwie grupy (tutaj x , y i z odnoszą się do nieortogonalnej ruchomej ramy):

Uogólnione obroty Eulera

( zxz, xyx, yzy, zyz, xzx, yxy )

Uogólnione obroty Taita-Bryana

( xyz, yzx, zxy, xzy, zyx, yxz ) .

Większość przypadków należy do drugiej grupy, biorąc pod uwagę, że uogólnione obroty Eulera są przypadkiem zdegenerowanym, w którym pierwsza i trzecia oś zachodzą na siebie.

Twierdzenie o rotacji Davenporta

Obraz 1: Możliwe osie Davenporta dla kroków 1 i 3, biorąc pod uwagę Z jako krok 2

Ogólny problem rozkładu obrotu na trzy złożone ruchy wokół wewnętrznych osi badał P. Davenport pod nazwą „uogólnione kąty Eulera ”, ale później kąty te zostały nazwane „kątami Davenporta” przez M. Shustera i L. Markleya.

Ogólny problem polega na uzyskaniu rozkładu macierzy obrotu przy danych trzech znanych osiach. W niektórych przypadkach jedna z osi się powtarza. Ten problem jest równoważny z problemem rozkładu macierzy.

Davenport udowodnił, że dowolną orientację można osiągnąć, składając trzy elementarne obroty za pomocą nieortogonalnych osi. Obroty elementarne mogą zachodzić albo wokół osi stałego układu współrzędnych ( obroty zewnętrzne ), albo wokół osi obracającego się układu współrzędnych, który jest początkowo wyrównany ze stałym i modyfikuje swoją orientację po każdym obrocie elementarnym ( obroty wewnętrzne ).

Zgodnie z twierdzeniem Davenporta, unikalny rozkład jest możliwy wtedy i tylko wtedy, gdy druga oś jest prostopadła do pozostałych dwóch osi. Dlatego osie 1 i 3 muszą leżeć w płaszczyźnie prostopadłej do osi 2.

Dlatego rozkłady w łańcuchowych rotacjach Eulera i łańcuchowych rotacjach Taita-Bryana są tego szczególnymi przypadkami. Przypadek Taita-Bryana pojawia się, gdy osie 1 i 3 są prostopadłe, a przypadek Eulera pojawia się, gdy zachodzą na siebie.

Kompletny system rotacji

Obraz 2: Samolot spoczywający na samolocie

Mówi się, że zbiór obrotów Davenporta jest kompletny, jeśli wystarczy do wygenerowania dowolnego obrotu przestrzeni według kompozycji. Mówiąc w kategoriach macierzowych, jest zupełna, jeśli może wygenerować dowolną macierz ortonormalną przestrzeni, której wyznacznik wynosi +1. Ze względu na nieprzemienność iloczynu macierzowego należy uporządkować układ rotacyjny.

Czasami kolejność jest narzucona przez geometrię leżącego u jej podstaw problemu. Na przykład w przypadku pojazdów, które mają specjalną oś skierowaną w kierunku „do przodu”, przydatna jest tylko jedna z sześciu możliwych kombinacji obrotów. Ciekawą kompozycją jest ta, która jest w stanie kontrolować kurs i wzniesienie samolotu z jednym niezależnym obrotem.

Na sąsiednim rysunku kompozycja odchylenia, pochylenia i przechyłu (YPR) umożliwia dostosowanie kierunku samolotu za pomocą dwóch pierwszych kątów. Inny skład, taki jak YRP, pozwoliłby ustalić kierunek osi skrzydeł, co oczywiście w większości przypadków nie jest przydatne.

Łańcuchowe obroty Taita-Bryana

Zdjęcie 3: Główne osie samolotu

Obroty Taita-Bryana to szczególny przypadek, w którym pierwsza i trzecia oś są między nimi prostopadłe. Zakładając układ odniesienia ⟨ x , y , z ⟩ z konwencją jak na obrazku 2 i płaszczyznę z osiami ⟨odchylenie, nachylenie, przechylenie⟩ jak na obrazku 3 [ dane nieznane/brakujące ] , leżącą poziomo na płaszczyźnie ⟨x , y⟩ na początku, po wykonaniu wewnętrznych obrotów Y, P i R w osiach odchylenia, pochylenia i przechyłu (w tej kolejności) otrzymujemy coś podobnego do obrazu 4 [dane nieznane / brakujące ] .

Obraz 4: Kąty kursu, elewacji i przechylenia po obrocie odchylenia, pochylenia i przechyłu (Z-Y'-X'')

Na początku :

• oś przechyłu płaszczyzny leży na osi x układu odniesienia
• oś skoku płaszczyzny znajduje się na osi y układu odniesienia
• oś odchylenia płaszczyzny leży na osi z układu odniesienia

Obroty są stosowane w kolejności odchylenia, pochylenia i przechyłu . W tych warunkach kurs (kąt w płaszczyźnie poziomej) będzie równy zastosowanemu odchyleniu, a wysokość będzie równa nachyleniu.

Wyrażenia macierzowe dla trzech obrotów Taita – Bryana w 3 wymiarach to:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \\ R_ {x} (\ phi) = \ operatorname {Roll} (\ phi) & = {\ rozpocząć {bmatrix} 1 & 0 i 0 \\ 0 & \ cos \ phi & - \ sin \ phi \\0&\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta )=\mathrm {Wysokość} (\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \ theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}\\R_{z}(\psi )=\mathrm {Yaw} (\psi )&={ \begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.\end{wyrównane}}}$

Macierz złożonych obrotów to

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} M & = \ operatorname {odchylenie} (\ psi) \ \ operatorname {skok} (\ theta) \ \ operatorname {Roll} (\ phi) \\& = R_ {z} (\psi )R_{y}(\theta)R_{x}(\phi).\end{wyrównane}}}$

Spośród sześciu możliwych kombinacji odchylenia, pochylenia i przechyłu, ta kombinacja jest jedyną, w której kierunek (kierunek osi przechyłu) jest równy jednemu z obrotów (odchylenie), a wzniesienie (kąt osi przechyłu) z płaszczyzną poziomą) jest równy drugiemu z obrotów (do wysokości skoku).

Obroty łańcuchowe Eulera

Obraz 5: Pozycja początkowa samolotu do zastosowania odpowiednich kątów Eulera

Obroty Eulera pojawiają się jako szczególny przypadek, w którym pierwsza i trzecia oś obrotu zachodzą na siebie. Te obroty Eulera są powiązane z właściwymi kątami Eulera, które, jak sądzono, badają ruch sztywnego ciała, takiego jak planeta. Kąt określający kierunek osi obrotu jest zwykle nazywany „długością geograficzną osi obrotu” lub „długością geograficzną linii węzłów” zamiast „kursem”, co nie ma sensu w przypadku planety.

W każdym razie, obroty Eulera nadal mogą być używane, gdy mówimy o pojeździe, chociaż będą miały dziwne zachowanie. Ponieważ oś pionowa jest początkiem kątów, nazywa się ją „nachyleniem” zamiast „elewacją”. Tak jak poprzednio, opisując położenie pojazdu, rozważa się oś skierowaną do przodu, dlatego użyteczna będzie tylko jedna z możliwych kombinacji obrotów.

Kombinacja zależy od tego, jak obrane są osie i jakie jest początkowe położenie płaszczyzny. Korzystając z tego na rysunku i łącząc obroty w taki sposób, że oś się powtarza, tylko przechylenie-pochylenie-przechylenie pozwoli kontrolować długość i nachylenie po jednym obrocie.

Trzy macierze do pomnożenia to:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} R_ {z} (\ phi) = \ operatorname {Roll} _ {1} (\ phi) & = {\ rozpocząć {bmatrix} \ cos \ phi & - \ sin \ phi & 0 \\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta)=\mathrm {Wysokość} (\theta)&={\begin{bmatrix}\ cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}\\R_{z}(\psi )=\mathrm {Roll} _{2}( \psi )&={\begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.\end{aligned}} }$

W tej konwencji Roll ₁ narzuca „kurs”, Pitch jest „nachyleniem” (dopełnieniem elewacji), a Roll ₂ narzuca „przechylenie”.

Konwersja do rotacji zewnętrznych

Obraz 6: Obrót reprezentowany przez kąty Eulera ( α , β , γ ) = (−60°, 30°, 45°), przy użyciu wewnętrznych obrotów z-x'-z″

Obraz 7: Ten sam obrót reprezentowany przez (γ, β, α) = (45°, 30°, −60°), przy użyciu zewnętrznych obrotów zxz

Obroty Davenporta są zwykle badane jako wewnętrzna kompozycja rotacji, ze względu na znaczenie osi przymocowanych do poruszającego się ciała, ale można je przekształcić w zewnętrzną kompozycję rotacji, na wypadek gdyby było to bardziej intuicyjne.

Każdy obrót zewnętrzny jest równoważny obrotowi wewnętrznemu o te same kąty, ale z odwróconą kolejnością obrotów elementów i odwrotnie. Na przykład wewnętrzne obroty x-y'-z″ o kąty α , β , γ są równoważne zewnętrznym obrotom zyx o kąty γ , β , α . Oba są reprezentowane przez macierz

${\ Displaystyle R = X (\ alfa) Y (\ beta) Z (\ gamma)}$

jeśli R jest używane do wstępnego mnożenia wektorów kolumnowych i przez macierz

${\ Displaystyle R = Z (\ gamma) Y (\ beta) X (\ alfa)}$

jeśli R jest używane do mnożenia wektorów wierszowych . Zobacz Niejednoznaczności w definicji macierzy rotacji, aby uzyskać więcej informacji.

Związek z ruchami fizycznymi

Zobacz też: Rotacje Givensa

Obroty wewnętrzne

Obroty wewnętrzne to obroty elementarne, które zachodzą wokół osi obracającego się układu współrzędnych XYZ , który zmienia swoją orientację po każdym obrocie elementarnym. Układ XYZ obraca się, podczas gdy xyz jest nieruchomy. Począwszy od XYZ nakładającego się na xyz , można zastosować kompozycję trzech wewnętrznych rotacji, aby osiągnąć dowolną orientację docelową dla XYZ . Kąty Eulera lub Taita-Bryana ( α , β , γ ) to amplitudy tych elementarnych obrotów. Na przykład orientację docelową można osiągnąć w następujący sposób:

• Układ XYZ obraca się o α wokół osi Z (która pokrywa się z osią Z ). Oś X leży teraz na linii węzłów.
• Układ XYZ obraca się wokół obracanej teraz osi X o β . Oś Z jest teraz w ostatecznej orientacji, a oś X pozostaje na linii węzłów.
• Układ XYZ obraca się po raz trzeci wokół nowej osi Z o γ .

Wspomniana powyżej notacja pozwala nam podsumować to w następujący sposób: trzy elementarne obroty układu XYZ występują wokół z , x ' i z ″. Rzeczywiście, ta sekwencja jest często oznaczana jako z-x'-z″ . Zestawy osi obrotu związanych zarówno z odpowiednimi kątami Eulera, jak i kątami Tait-Bryan są powszechnie nazywane przy użyciu tej notacji (szczegóły powyżej). Czasami ta sama sekwencja jest po prostu nazywana zxz , ZXZ lub 3-1-3 , ale ten zapis może być niejednoznaczny, ponieważ może być identyczny z tym używanym do rotacji zewnętrznych. W takim przypadku konieczne staje się oddzielne określenie, czy obroty są wewnętrzne, czy zewnętrzne.

Macierze rotacji mogą być używane do reprezentowania sekwencji wewnętrznych rotacji. Na przykład,

${\ Displaystyle R = X (\ alfa) Y (\ beta) Z (\ gamma)}$

reprezentuje złożenie wewnętrznych obrotów wokół osi x-y'-z″ , jeśli jest używane do wstępnego mnożenia wektorów kolumnowych , podczas gdy

${\ Displaystyle R = Z (\ gamma) Y (\ beta) X (\ alfa)}$

reprezentuje dokładnie ten sam skład, gdy jest używany do mnożenia wektorów wierszy . Zobacz Niejednoznaczności w definicji macierzy rotacji, aby uzyskać więcej informacji.

Rotacje zewnętrzne

Obroty zewnętrzne to podstawowe obroty, które zachodzą wokół osi ustalonego układu współrzędnych xyz . Układ XYZ obraca się, podczas gdy xyz jest nieruchomy. Począwszy od XYZ nakładającego się na xyz , można zastosować kompozycję trzech zewnętrznych obrotów, aby osiągnąć dowolną orientację docelową dla XYZ . Kąty Eulera lub Taita-Bryana ( α , β , γ ) to amplitudy tych elementarnych obrotów. Na przykład orientację docelową można osiągnąć w następujący sposób:

• Układ XYZ obraca się wokół osi z o α . Oś X jest teraz pod kątem α względem osi x .
• Układ XYZ ponownie obraca się wokół osi x o β . Oś Z jest teraz pod kątem β względem osi z .
• Układ XYZ obraca się po raz trzeci wokół osi z o γ .

Podsumowując, trzy elementarne obroty występują wokół z , x i z . Rzeczywiście, ta sekwencja jest często oznaczana jako zxz (lub 3-1-3). Zestawy osi obrotu związanych zarówno z właściwymi kątami Eulera, jak i kątami Taita-Bryana są powszechnie nazywane przy użyciu tej notacji (szczegóły powyżej).

Macierze rotacji mogą być używane do reprezentowania sekwencji zewnętrznych rotacji. Na przykład,

${\ Displaystyle R = Z (\ gamma) Y (\ beta) X (\ alfa)}$

reprezentuje kompozycję zewnętrznych obrotów wokół osi xyz , jeśli jest używany do wstępnego mnożenia wektorów kolumnowych , podczas gdy

${\ Displaystyle R = X (\ alfa) Y (\ beta) Z (\ gamma)}$

reprezentuje dokładnie ten sam skład, gdy jest używany do mnożenia wektorów wierszy . Zobacz Niejednoznaczności w definicji macierzy rotacji, aby uzyskać więcej informacji.

Konwersja między obrotami wewnętrznymi i zewnętrznymi

Obraz 8: Obrót reprezentowany przez kąty Eulera ( α , β , γ ) = (−60°, 30°, 45°), przy użyciu wewnętrznych obrotów z-x'-z″

Obraz 9: Ten sam obrót reprezentowany przez (γ, β, α) = (45°, 30°, −60°), przy użyciu zewnętrznych obrotów zxz

Każdy obrót zewnętrzny jest równoważny obrotowi wewnętrznemu o te same kąty, ale z odwróconą kolejnością obrotów elementów i odwrotnie. Na przykład wewnętrzne obroty x-y'-z″ o kąty α , β , γ są równoważne zewnętrznym obrotom zyx o kąty γ , β , α . Oba są reprezentowane przez macierz

${\ Displaystyle R = X (\ alfa) Y (\ beta) Z (\ gamma)}$

jeśli R jest używane do wstępnego mnożenia wektorów kolumnowych i przez macierz

${\ Displaystyle R = Z (\ gamma) Y (\ beta) X (\ alfa)}$

jeśli R jest używane do mnożenia wektorów wierszowych . Zobacz Niejednoznaczności w definicji macierzy rotacji, aby uzyskać więcej informacji.

Dowód konwersji w przypadku przed mnożeniem

Macierz obrotu wewnętrznej sekwencji rotacji x-y'-z″ można uzyskać przez sekwencyjne obroty elementu wewnętrznego od prawej do lewej:

${\ Displaystyle R = Z''Y'X.}$

W tym procesie istnieją trzy klatki powiązane w wewnętrznej sekwencji rotacji. Oznaczmy klatkę 0 jako klatkę początkową, klatkę 1 po pierwszym obrocie wokół osi x , klatkę 2 po drugim obrocie wokół osi y' , a klatkę 3 jako trzeci obrót wokół osi z″ .

Ponieważ macierz obrotu może być reprezentowana wśród tych trzech ramek, użyjmy indeksu lewego ramienia do oznaczenia ramki reprezentacji. Poniższy zapis oznacza macierz obrotu, która przekształca klatkę a w klatkę b i jest reprezentowana w klatce c :

${\ Displaystyle {} ^ {c} \! R_ {a \ rightarrow b}.}$

Wewnętrzna macierz rotacji elementów reprezentowana w tej ramce, w której następuje obrót, ma taką samą wartość jak odpowiednia macierz rotacji elementów zewnętrznych:

${\ Displaystyle {} ^ {0} \! R_ {1 \ rightarrow 0} = X, \ quad {} ^ {1} \! R_ {2 \ rightarrow 1} = Y, \ quad {} ^ {2} \ !R_{3\strzałka w prawo 2}=Z.}$

Wewnętrzna macierz rotacji elementów Y' i Z″ reprezentowana w klatce 0 może być wyrażona w innych postaciach:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} Y '& = {} ^ {0 }\!R_{2\rightarrow 1}\\&={}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}{}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}{}^{0} \!R_{1\rightarrow 0}^{-1}\\&=XYX^{-1}\\[3pt]Z''&={}^{0}\!R_{3\rightarrow 2}\ \&={}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}{}^{1}\!R_{3\rightarrow 2}{}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}^{ -1}\\&=X\left({}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}{}^{2}\!R_{3\rightarrow 2}{}^{1}\!R_ {2\rightarrow 1}^{-1}\right)X^{-1}\\&=XYZY^{-1}X^{-1}\end{wyrównane}}}$

Dwa powyższe równania są zastępowane pierwszym równaniem:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} R & = Z ''Y'X \\& = \ lewo (XYZY ^ {-1} X ^ {-1} \ prawo) \left(XYX^{-1}\right)X\\&=XYZY^{-1}\left(X^{-1}X\right)Y\left(X^{-1}X\right) \\&=XYZ\left(Y^{-1}Y\right)\\&=XYZ\end{wyrównane}}}$

Dlatego macierz rotacji sekwencji rotacji elementów wewnętrznych jest taka sama jak w przypadku odwrotnej sekwencji rotacji elementów zewnętrznych:

${\ Displaystyle R = Z''Y'X = XYZ.}$

Zobacz też

• Dekompozycja macierzy
• Rotacja Givensa