Odmiana determinująca

W geometrii algebraicznej rozmaitościami wyznacznikowymi są przestrzenie macierzy z określoną górną granicą ich szeregów . Ich znaczenie wynika z faktu, że wiele przykładów w geometrii algebraicznej ma tę postać, na przykład osadzanie Segre'a iloczynu dwóch przestrzeni rzutowych .

Definicja

Biorąc pod uwagę m i n oraz r < min ( m , n ), rozmaitość wyznacznikowa Y _r jest zbiorem wszystkich macierzy m × n (nad ciałem k ) o randze ≤ r . Jest to oczywiście rozmaitość algebraiczna , ponieważ warunek, że macierz ma rangę ≤ r , jest określony przez zniknięcie wszystkich jej ( r + 1) × ( r + 1) drugorzędnych . Biorąc pod uwagę ogólną m × n , której wpisy są algebraicznie niezależnymi zmiennymi x _{i , j} , te drugorzędne są wielomianami stopnia r + 1. Ideał k [ xi _{ideałem , j} ] generowany przez te wielomiany jest wyznacznikowym . Ponieważ równania definiujące drugorzędne są jednorodne, można uznać Y _r albo za rozmaitość afiniczną w mn -wymiarowej przestrzeni afinicznej , albo za rozmaitość rzutową w ( mn − 1)-wymiarowej przestrzeni rzutowej .

Nieruchomości

Radykalny ideał definiujący rozmaitość wyznacznikową jest generowany przez ( r + 1) × ( r + 1) drugorzędne macierzy (Bruns-Vetter, Twierdzenie 2.10).

Zakładając, że uznamy Y _r za rozmaitość afiniczną , jej wymiar to r ( m + n − r ). Można to zobaczyć w następujący sposób: utwórz przestrzeń produktu ${\ Displaystyle \ mathbf {A} ^ {mn} \ razy \ mathbf {Gr} (r, m)$ } ${\ Displaystyle \ mathbf {A} ^ {mn}}$ gdzie sol $\ Displaystyle \ mathbf {Gr} (r, m)}$ jest Grassmannianem r -płaszczyzn w m -wymiarowym Z $\ {(A, W) \ mid A (k ^ {n}) \subseteq W \}}$ , co jest desingularyzacją ( na otwartym zbiorze macierzy o randze dokładnie $r , ta mapa$ izomorfizmem) i $\ displaystyle Z_ {r}} }}$ jest $}}}$ wektorów nad izomorficzną z $\ mathbf {Gr} ($ ${\ Displaystyle$ $}$ gdzie jest wiązką tautologiczną nad Grassmannianem. więc ${\ Displaystyle \ dim Y_ {r} = \ dim Z_ {r}}$ ponieważ są one biracjonalnie równoważne i ${\ Displaystyle \ dim Z_ {r} = \ dim \ mathbf {Gr} (r, m) + nr = r (mr) + nr}$ od włókna ${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} (k ^ {n}, {\ mathcal {R}})}$ ma wymiar nr .

Powyższe pokazuje, że macierze rangi < r zawierają pojedyncze miejsce z ${\ displaystyle Y_ {r}}$ iw rzeczywistości jedna ma równość. Fakt ten można zweryfikować za pomocą tego, że radykalny ideał jest podany przez nieletnich wraz z jakobianowym kryterium nieosobliwości.

Odmiana Y _r naturalnie ma działanie ${\ Displaystyle G = \ mathbf {GL} (m) \ razy \ mathbf {GL} (n)$ } ogólne grupy liniowe . Problem wyznaczania $syzygii$ , gdy charakterystyka pola wynosi zero został rozwiązany przez Lascoux , wykorzystując naturalne działanie G .

powiązane tematy

Można „zglobalizować” pojęcie rozmaitości wyznaczników, rozważając przestrzeń odwzorowań liniowych między dwiema wiązkami wektorów na rozmaitości algebraicznej. Następnie odmiany determinantowe wchodzą w zakres ogólnego badania loci degeneracji . Wyrażenie na klasę kohomologii tych loci degeneracji daje wzór Thoma-Porteousa , patrz (Fulton-Pragacz).

Bruns, Winfried; Vetter, Udo (1988). Pierścienie wyznacznikowe . Notatki z wykładów z matematyki. Tom. 1327. Springer-Verlag. doi : 10.1007/BFb0080378 . ISBN 978-3-540-39274-3 .
Fulton, William; Pragacz, Piotr (1998). Odmiany Schuberta i loci degeneracji . Notatki z wykładów z matematyki. Tom. 1689. Springer-Verlag. doi : 10.1007/BFb0096380 . ISBN 978-3-540-69804-3 .
Lascoux, Alain (1978). „Syzygies des variétés déterminantales” . Postępy w matematyce . 30 (3): 202–237. doi : 10.1016/0001-8708(78)90037-3 .
Miller, Ezdrasz; Sturmfels, Bernd (2005). Kombinatoryczna algebra przemienna . Absolwent Teksty z matematyki. Tom. 227.Springera. ISBN 978-0-387-23707-7 .
Weyman, Jerzy (2003). Kohomologia wiązek wektorowych i syzygii . Traktaty Cambridge z matematyki. Tom. 149. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-62197-7 .