Odwrotna stała Fibonacciego

Odwrotność stałej Fibonacciego lub ψ jest zdefiniowana jako suma odwrotności liczb Fibonacciego :

${\ Displaystyle \ psi = \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {F_ {k}}} = {\ Frac {1} {1}} + {\ Frac {1} {1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+{ \frac {1}{13}}+{\frac {1}{21}}+\cdots .}$

Stosunek kolejnych wyrazów w tej sumie dąży do odwrotności złotego podziału . Ponieważ jest to mniej niż 1, test ilorazowy pokazuje, że suma jest zbieżna .

Wiadomo, że wartość ψ wynosi około

$_$ A079586 w OEIS _ _

Gosper opisuje algorytm szybkiego numerycznego przybliżenia jego wartości. Sam odwrotny szereg Fibonacciego zapewnia O ( k ) cyfr dokładności dla k wyrazów rozwinięcia, podczas gdy przyspieszony szereg Gospera zapewnia O ( k ² ) cyfr. wiadomo, że ψ jest irracjonalne ; ta właściwość została przypuszczana przez Paula Erdősa , Ronalda Grahama i Leonarda Carlitza , a udowodniona w 1989 roku przez Richarda André-Jeannina.

Ciągła reprezentacja ułamkowa stałej to:

${\ Displaystyle \ psi = [3; 2,1,3,1,1,13,2,3,3,2 ,1,1,6,3,2,4,362,2,4,8,6,30,50,1,6,3,3,2,7,2,3,1,3,2,\kropki ] \!\,}$ (sekwencja A079587 w OEIS ).

Zobacz też

• Lista sum odwrotności

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Wzajemna stała Fibonacciego” . MathWorld .