Odwrotny średni przepływ krzywizny

W matematycznych dziedzinach geometrii różniczkowej i analizy geometrycznej odwrotny średni przepływ krzywizny (IMCF) to geometryczny przepływ podrozmaitości rozmaitości riemannowskiej lub pseudoriemannowskiej . Zostało to użyte do udowodnienia pewnego przypadku nierówności Riemanna Penrose'a , która jest przedmiotem zainteresowania ogólnej teorii względności .

Formalnie, biorąc pod uwagę rozmaitość pseudo-riemanna ( M , g ) i rozmaitość gładką S , odwrotny średni przepływ krzywizny składa się z otwartego przedziału I i gładkiej mapy F od I × S do M takiej, że

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe F} {\ częściowe t}} = {\ Frac {- \ mathbf {H}}}}}$

gdzie H jest średnim wektorem krzywizny zanurzenia F ( t , ⋅) .

Jeśli g jest riemannowskie, jeśli S jest domknięte dim( M ) = dim( S ) + 1 i jeśli dane gładkie zanurzenie f z S w M ma średnią krzywiznę, która nigdzie nie jest zerowa , to istnieje unikalny przepływ odwrotnej średniej krzywizny którego „dane początkowe” to f .

Twierdzenie Gerhardta o zbieżności

Prostym przykładem przepływu o odwrotnej krzywiźnie średniej jest rodzina koncentrycznych okrągłych hipersfer w przestrzeni euklidesowej . Jeżeli wymiar takiej kuli wynosi n , a jej promień r , to jej średnia krzywizna wynosi n / r . Jako taka, taka rodzina koncentrycznych sfer tworzy odwrotny średni przepływ krzywizny wtedy i tylko wtedy, gdy

${\ displaystyle r' (t) = {\ frac {r (t)} {n}}.}$

Tak więc rodzina koncentrycznych okrągłych hipersfer tworzy odwrotny średni przepływ krzywizny, gdy promienie rosną wykładniczo.

W 1990 roku Claus Gerhardt wykazał, że sytuacja ta jest charakterystyczna dla bardziej ogólnego przypadku średnio-wypukłych gładkich hiperpowierzchni przestrzeni euklidesowej w kształcie gwiazdy. W szczególności dla takich danych początkowych odwrotny średni przepływ krzywizny istnieje przez cały czas dodatni i składa się tylko ze średnio-wypukłych i gwiaździstych gładkich hiperpowierzchni. Ponadto pole powierzchni rośnie wykładniczo, a po przeskalowaniu, które ustala pole powierzchni, powierzchnie płynnie zbiegają się w okrągłą kulę. Szacunki geometryczne w pracy Gerhardta wynikają z zasady maksimum ; asymptotyczna okrągłość staje się wówczas konsekwencją twierdzenia Kryłowa-Safonowa. Ponadto metody Gerhardta mają zastosowanie jednocześnie do bardziej ogólnych przepływów hiperpowierzchniowych opartych na krzywiźnie.

Jak to jest typowe dla przepływów geometrycznych, rozwiązania IMCF w bardziej ogólnych sytuacjach często mają osobliwości o skończonym czasie, co oznacza, że ​​często nie można przyjąć, że I ma postać ( a , ∞) .

Słabe rozwiązania Huiskena i Ilmanena

Po przełomowych pracach Yun Gang Chen, Yoshikazu Giga i Shun'ichi Goto oraz Lawrence'a Evansa i Joela Sprucka na temat średniego przepływu krzywizny , Gerhard Huisken i Tom Ilmanen zastąpili równanie IMCF dla hiperpowierzchni w rozmaitości Riemanna ( M , g ) , za pomocą eliptycznego równania różniczkowego cząstkowego

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {div} _ {g} {\ Frac {du} {| du | _ {g}}} = | du | _ {g}}$

dla funkcji o wartościach rzeczywistych u na M . Słabe rozwiązania tego równania można określić za pomocą zasady wariacyjnej . Huisken i Ilmanen udowodnili, że dla każdej kompletnej i połączonej gładkiej rozmaitości riemannowskiej ( M , g ) , która jest asymptotycznie płaska lub asymptotycznie stożkowa, oraz dla każdego prezwartego i otwartego podzbioru U z M , którego granicą jest gładko osadzona podrozmaitość , istnieje właściwa i lokalnie Funkcja Lipschitza u włączona M , które jest dodatnim słabym rozwiązaniem na dopełnieniu U i które jest niedodatnie na U ; ponadto taka funkcja jest jednoznacznie określona na dopełnieniu U .

Chodzi o to, że wraz ze wzrostem t granica { x : u ( x ) < t } przesuwa się przez hiperpowierzchnie powstające w przepływie o odwrotnej krzywiźnie średniej, z warunkiem początkowym określonym przez granicę U . Jednak eliptyczne i słabe ustawienie daje szerszy kontekst, ponieważ takie granice mogą mieć nieregularności i mogą przeskakiwać w sposób nieciągły, co jest niemożliwe w zwykłym przepływie o odwrotnej krzywiźnie średniej.

W szczególnym przypadku, gdy M jest trójwymiarowe, a g ma nieujemną krzywiznę skalarną , Huisken i Ilmanen wykazali, że dla granicy { x : u ( x ) < t } można zdefiniować pewną wielkość geometryczną znaną jako masa Hawkinga , oraz jest monotonicznie nie malejąca wraz ze wzrostem t . W prostszym przypadku płynnego przepływu o odwrotnej średniej krzywiźnie jest to równoznaczne z lokalnymi obliczeniami i zostało pokazane w latach 70. XX wieku przez fizyka Roberta Gerocha . W układzie Huiskena i Ilmanena jest to bardziej nietrywialne ze względu na możliwe nieregularności i nieciągłości zaangażowanych powierzchni.

W wyniku rozszerzenia monotoniczności Gerocha przez Huiskena i Ilmanena, byli w stanie wykorzystać masę Hawkinga do interpolacji między polem powierzchni „najbardziej zewnętrznej” minimalnej powierzchni a masą ADM asymptotycznie płaskiej trójwymiarowej rozmaitości Riemanna o nieujemnej krzywiźnie skalarnej . To rozstrzygnęło pewien przypadek nierówności Riemanna Penrose'a .

Przykład: odwrotna średnia krzywizna przepływu m -wymiarowych kul

Prosty przykład odwrotnej średniej krzywizny przepływu podaje rodzina koncentrycznych okrągłych hipersfer w ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m + 1}}$ . Średnia krzywizna -wymiarowej kuli o promieniu ${\ displaystyle$$r}$ wynosi $= {\ Frac {m} {r}} \ in \ mathbb {R } }$ .

Ze względu na symetrię obrotową kuli (lub ogólnie z powodu niezmienności średniej krzywizny w izometriach ) równanie przepływu odwrotnej średniej krzywizny ${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} F = H ^ {-1}\ nu}$ redukuje się do zwykłego równania różniczkowego dla początkowej sfery o promieniu ${\ displaystyle r_ {0}}$ ,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {\ tekst {d}} {{\ tekst {d}} t}} r (t) = & {\ frac {r (t)}} {m}}, \\r(0)=&r_{0}.\end{wyrównane}}}$

Rozwiązaniem tego ODE (uzyskanym np. przez rozdzielenie zmiennych ) jest

${\ Displaystyle r (t) = r_ {0} e ^ {t / m}}$ .

•    Gerhardt, Mikołaj (1990). „Przepływ niewypukłych hiperpowierzchni do sfer” . Dziennik geometrii różniczkowej . 32 (1): 299–314. doi : 10.4310/jdg/1214445048 . MR 1064876 . Zbl 0708.53045 .
•    Geroch, Robert (1973). „Wydobycie energii”. Roczniki Akademii Nauk w Nowym Jorku . 224 (1): 108–117. doi : 10.1111/j.1749-6632.1973.tb41445.x . S2CID 222086296 . Zbl 0942.53509 .
•    Huisken, Gerhard ; Ilmanen, Tom (2001). „Odwrotny średni przepływ po krzywiźnie i nierówność Riemanna Penrose'a” . Dziennik geometrii różniczkowej . 59 (3): 353–437. doi : 10.4310/jdg/1090349447 . MR 1916951 . Zbl 1055.53052 .
•    Huisken, Gerhard ; Polden, Aleksander (1999). „Równania ewolucji geometrycznej hiperpowierzchni”. W Hildebrandt, S.; Struwe, M. (red.). Rachunek wariacyjny i problemy ewolucji geometrycznej . Druga sesja Centro Internazionale Matematico Estivo (Cetraro, Włochy, 15–22 czerwca 1996). Notatki z wykładów z matematyki . Tom. 1713. Berlin: Springer . s. 45–84. doi : 10.1007/BFb0092667 . MR 1731639 . Zbl 0942.35047 .