Osobliwe operatory całkowe na krzywych zamkniętych

W matematyce operatory całkowe osobliwe na krzywych zamkniętych pojawiają się w problemach analizy , w szczególności w analizie zespolonej i analizie harmonicznej . Dwa główne osobliwe operatory całkowe, transformata Hilberta i transformata Cauchy'ego, można zdefiniować dla dowolnej gładkiej krzywej Jordana na płaszczyźnie zespolonej i są one powiązane prostym wzorem algebraicznym. W szczególnym przypadku szeregu Fouriera dla okręgu jednostkowego operatory stają się klasyczną transformatą Cauchy'ego , rzutem ortogonalnym na przestrzeń Hardy'ego , a Hilbert przekształca rzeczywistą ortogonalną liniową strukturę zespoloną . Ogólnie rzecz biorąc, transformata Cauchy'ego jest idempotentem niesprzężonym samoczynnie , a transformata Hilberta nieortogonalną strukturą złożoną . Zakres transformaty Cauchy'ego to przestrzeń Hardy'ego ograniczonego regionu zamkniętego krzywą Jordana. Teorię pierwotnej krzywej można wywnioskować z teorii okręgu jednostkowego, gdzie ze względu na symetrię obrotową oba operatory są klasycznymi osobliwymi operatorami całkowymi typu splotu . Transformata Hilberta spełnia relacje skoków Plemelja i Sokhotskiego , które wyrażają pierwotną funkcję jako różnicę między wartościami granicznymi funkcji holomorficznych na obszarze i jego dopełnieniem. Osobliwe operatory całkowe badano dla różnych klas funkcji, w tym przestrzeni Hőldera, przestrzeni L ^p i przestrzeni Sobolewa. W przypadku przestrzeni L ² — przypadek omówiony szczegółowo poniżej — inne operatory związane z krzywą zamkniętą, takie jak rzut Szegő na przestrzeń Hardy'ego i operator Neumanna-Poincarégo , można wyrazić za pomocą transformaty Cauchy'ego i jej sprzężenia.

Operatory na okręgu jednostkowym

Główny artykuł: Osobliwe operatory całkowe typu splotu

Jeśli f jest w L ² ( T ), to ma rozwinięcie w szereg Fouriera

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f (\ teta) = \ suma _ {n \ w {\ mathbf {Z}}} a_ {n} e ^ {w \ teta}.}}$

Przestrzeń Hardy'ego H ² ( T ) składa się z funkcji, dla których współczynniki ujemne znikają, a _n = 0 dla n < 0. Są to dokładnie funkcje całkowalne z kwadratem, które powstają jako wartości brzegowe funkcji holomorficznych na dysku jednostkowym | z | < 1. Rzeczywiście, f jest wartością graniczną funkcji

${\ Displaystyle \ Displaystyle {F (z) = \ suma _ {n \ geq 0} a_ {n} z ^ {n},}}$

w sensie funkcji

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f_ {r} (\ teta) = F (re ^ {i \ teta})}}$

zdefiniowany przez ograniczenie F do koncentrycznych okręgów | z | = r , spełniać

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\| f_ {r} -f \|_ {2} \ rightarrow 0.}}$

Rzut ortogonalny P z L ² ( T ) na H ² ( T ) nazywa się rzutem Szegő . Jest to operator ograniczony na L ² ( T ) z normą operatora 1.

Twierdzenie Cauchy'ego

${\ Displaystyle \ Displaystyle {F (z) = {1 \ ponad 2 \ pi i} \ int _ {| \ zeta | = 1} {f (\ zeta) \ ponad \ zeta -z} \, d \ zeta = {1 \over 2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }{f(\theta ) \over 1-e^{-i\theta }z}\,d\theta .}}$

Zatem

${\ Displaystyle \ Displaystyle {F (re ^ {i \ varphi}) = {1 \ ponad 2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} {f (\ varphi - \ theta) \ ponad 1 -re^{i\theta}}\,d\theta .}}$

Gdy r równa się 1, całka po prawej stronie ma osobliwość przy θ = 0. Obcięta transformata Hilberta jest zdefiniowana przez

${\ Displaystyle \ Displaystyle {H ^ {\ varepsilon} f (\ varphi) = {i \ nad \ pi} \ int _ {\ varepsilon \ równoważnik | \ teta | \ równoważnik \ pi }{ f (\ varphi - \theta ) \over 1-e^{i\theta }}\,d\theta ={1 \over \pi }\int _{|\zeta -e^{i\varphi }|\geq \delta }{ f(\zeta ) \over \zeta -e^{i\varphi }}\,d\zeta ,}}$

gdzie δ = |1 – mi ^{i ε} |. Ponieważ jest zdefiniowany jako splot z funkcją ograniczoną, jest operatorem ograniczonym na L ² ( T ). Teraz

${\ Displaystyle \ Displaystyle {H ^ {\ varepsilon} {1} = {i \ nad \ pi} \ int _ {\ varepsilon} ^ {\ pi} 2 \ Re (1-e ^ {i \ theta}) ^ {-1}\,d\theta ={i \ponad \pi}\int _{\varepsilon}^{\pi}1\,d\theta =i-{i\varepsilon \ponad \pi}.}}$

Jeśli f jest wielomianem w z, to

${\ Displaystyle \ Displaystyle {H ^ {\ varepsilon} f (z) - {i (1- \ varepsilon) \ ponad \ pi} f (z) = {1 \ ponad \ pi i} \ int _ {| \ zeta -z|\geq \delta }{f(\zeta )-f(z) \over \zeta -z}\,d\zeta .}}$

Zgodnie z twierdzeniem Cauchy'ego prawa strona dąży do 0 równomiernie jak ε, a zatem δ dąży do 0. Więc

${\ Displaystyle \ Displaystyle {H ^ {\ varepsilon} f \ strzałka w prawo, jeśli}}$

jednostajnie dla wielomianów. Z drugiej strony, jeśli u ( z ) = z jest to natychmiastowe

${\ Displaystyle \ Displaystyle {{\ overline {H ^ {\ varepsilon} f}} = -u ^ {-1} H ^ {\ varepsilon} (u {\ overline {f}}).}}$

Zatem jeśli f jest wielomianem w z ^-1 bez stałego wyrazu

${\ Displaystyle \ Displaystyle {H ^ {\ varepsilon} f \ rightarrow -if}}$ równomiernie.

Zdefiniuj transformatę Hilberta na okręgu przez

${\ Displaystyle \ Displaystyle {H = i (2P-I).}}$

Zatem jeśli f jest wielomianem trygonometrycznym

${\ Displaystyle \ Displaystyle {H ^ {\ varepsilon} f \ rightarrow Hf}}$ równomiernie.

Wynika z tego, że jeśli f jest dowolną funkcją ^L2

${\ Displaystyle \ Displaystyle {H ^ {\ varepsilon} f \ rightarrow Hf}}$ w normie L ² .

Jest to konsekwencją wyniku dla wielomianów trygonometrycznych, ponieważ H _ε są jednostajnie ograniczone w normie operatora : w rzeczywistości ich współczynniki Fouriera są jednostajnie ograniczone.

Wynika z tego również, że dla ciągłej funkcji f na okręgu H _ε f zbiega się jednostajnie do Hf , a więc w szczególności punktowo. Granica punktowa to zapisana wartość główna Cauchy'ego

${\ Displaystyle \ Displaystyle {Hf = \ operatorname {PV} \, {1 \ ponad \ pi} \ int {f (\ zeta) \ ponad \ zeta -e ^ {i \ varphi}} \, d \ zeta.} }$

Transformata Hilberta ma naturalną zgodność z dyfeomorfizmami koła zachowującymi orientację. Zatem jeśli H jest dyfeomorfizmem koła z

${\ Displaystyle \ Displaystyle {H (e ^ {i \ teta}) = e ^ { ih(\theta )},\,\,\,h(\theta +2\pi )=h(\theta )+2\pi ,}}$

potem operatorzy

${\ Displaystyle \ Displaystyle {H_ {h} ^ {\ varepsilon} f (e ^ {i \ varphi}) = {1 \ ponad \ pi} \ int _ {| e ^ {ih (\ teta)} -e ^ {ih(\varphi )}|\geq \varepsilon }{f(e^{i\theta }) \over e^{i\theta }-e^{i\varphi }}\,e^{i\theta }\,d\theta ,}}$

są jednostajnie ograniczone i dążą w topologii silnego operatora do H . Ponadto, jeśli Vf ( z ) = f ( H ​​( z )), to VHV ⁻¹ – H jest operatorem o gładkim jądrze, a więc operatorem Hilberta-Schmidta .

Odporne przestrzenie

Zobacz też: Przestrzeń Hardy'ego

Przestrzeń Hardy'ego na okręgu jednostkowym można uogólnić na dowolną wielokrotnie spójną dziedzinę ograniczoną Ω z gładką granicą ∂Ω. Przestrzeń Hardy'ego H ² (∂Ω) można zdefiniować na wiele równoważnych sposobów. Najprościej można to zdefiniować jako domknięcie w L ² (∂Ω) przestrzeni funkcji holomorficznych na Ω, które rozciągają się w sposób ciągły na gładkie funkcje na domknięciu Ω. Jak Walsh , w rezultacie był to prekursor twierdzenia Mergelyana , każda funkcja holomorficzna na Ω, która rozciąga się w sposób ciągły do ​​domknięcia, może być przybliżona w jednolitej normie przez funkcję wymierną z biegunami w obszarze komplementarnym Ω ^c . Jeśli Ω jest po prostu spójny, to funkcję wymierną można przyjąć jako wielomian. Istnieje odpowiednik tego twierdzenia na granicy, twierdzenie Hartogsa-Rosenthala , które stwierdza, że ​​każdą funkcję ciągłą ∂Ω można przybliżyć w normie jednolitej funkcjami wymiernymi o biegunach w dopełnieniu ∂Ω. Wynika z tego, że dla domeny prosto spójnej, gdy ∂Ω jest prostą zamkniętą krzywą, H ² (∂Ω) to po prostu domknięcie wielomianów; ogólnie jest to domknięcie przestrzeni funkcji wymiernych z biegunami leżącymi ∂Ω.

Na okręgu jednostkowym funkcja L ² f z rozwinięciem w szereg Fouriera

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f (e ^ {i \ teta}) = \ suma a_ {n} e ^ {w \ teta}}}$

ma unikalne rozszerzenie funkcji harmonicznej na dysku jednostkowym określonym przez całkę Poissona

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f (re ^ {i \ teta}) = P_ {r} f (e ^ {i \ teta}) = \ suma a_ {n} r ^ {| n |} e ^ {w \ teta }.}}$

W szczególności

$\ Displaystyle \ Displaystyle {\| P_ {r} f \| ^ {2} = \ suma | a_ {n} | ^ {2} r ^ {2 | n |},}}$

tak, że normy wzrastają do wartości przy r = 1, normy f . Podobny w dopełnieniu dysku jednostkowego, gdzie rozszerzenie harmoniczne jest podane przez

${\ Displaystyle \ Displaystyle {F_ {R} (e ^ {i \ teta}) = F (Re ^ {i \ teta}) = \ suma a_ {n} R ^ {- | n |} a_ {n} e ^{w\theta}.}}$

W tym przypadku normy rosną od wartości przy R = ∞ do normy dla f , wartości przy R = 1.

Podobny wynik zachodzi dla funkcji harmonicznej f na prosto spójnym obszarze z gładką granicą, pod warunkiem, że normy L ² zostaną przejęte przez krzywe poziomów w cylindrycznym sąsiedztwie granicy. Używając notacji wektorowej v ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) do parametryzacji krzywej granicznej na podstawie długości łuku, obowiązują następujące klasyczne wzory:

${\ Displaystyle \ Displaystyle {{\ kropka {\ mathbf {v}}} \ cdot {\ kropka {\ mathbf {v}}} = 1, \ ,\,\,{\ddot {\mathbf {v}}}\cdot {\dot {\mathbf {v}}}=0.}}$

Zatem jednostkowy wektor styczny t ( t ) w punkcie t i zorientowany wektor normalny n ( t ) są określone wzorem

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ mathbf {t} = {\ kropka {\ mathbf {v}}}, \, \, \, \, \, \, \ mathbf {n} = (- {\ kropka {y} },{\kropka {x}}).}}$

Stałą odnoszącą wektor przyspieszenia do wektora normalnego jest krzywizna krzywej:

${\ Displaystyle \ Displaystyle {{\ ddot {\ mathbf {v}}} = \ kappa (t) \, \ mathbf {n} (t), \, \, \, \, \, \ kappa (t) = {\ddot {\mathbf {v}}}\cdot \mathbf {n} ={\ddot {y}}{\dot {x}}-{\ddot {x}}{\dot {y}}.} }$

Istnieją dwie dalsze formuły Freneta :

${\ Displaystyle \ Displaystyle {{\ kropka {\ mathbf {n}}} = - \ kappa \ mathbf {t}, \, \, \, {\ ddot {\ mathbf {n}}} = {\ kropka {\ kappa }}\mathbf {n} -\kappa ^{2}\mathbf {t} .}}$

Rurowe sąsiedztwo granicy jest określone przez

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ mathbf {v} _ {s} (t) = \ mathbf {v} (t) + s \ mathbf {n } (T),}}$

tak, że krzywe poziomu ∂Ω _s z s stałymi związanymi domenami Ω _s . Ponadto

${\ Displaystyle \ Displaystyle {{\ kropka {\ mathbf {v}}} _ {s} (t) = (1-s \ kappa) \ mathbf {t}, \, \, \, \, \ częściowe _ { s}|{\kropka {\mathbf {v}}}_{s}|=-\kappa .}}$

Stąd różniczkowanie średnich całkowych względem s , pochodnej w kierunku normalnej skierowanej do wewnątrz , daje

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ częściowe _ {s} \ int _ {\ częściowe \ Omega _ {s}} | f | ^ {2} = - \ int _ {\ częściowe \ Omega _ {s}} ( \partial _{n}f{\overline {f}}+f{\overline {\partial _{n}f}})-\int _{\partial \Omega _{s}}\kappa (1-\ kappa s)^{-1}|f|^{2}=-2\iint _{\Omega _{s}}|\nabla f|^{2}-\int _{\częściowo \Omega _{s }}\kappa (1-\kappa s)^{-1}|f|^{2},}}$

korzystając z twierdzenia Greena . Zatem dla s małe

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ częściowe _ {s} \ | f | _ {\ częściowe \ Omega _ {s}} \| ^ {2} \ równoważnik M \ | f | _ {\ częściowe \Omega _{s}}\|^{2},}}$

dla pewnej stałej M niezależnej od f . To daje do zrozumienia ze

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ częściowe _ {s} e ^ {- Ms} \| f | _ {\ częściowe \ Omega _ {s}} \ | ^ {2} \ równoważnik 0, }}$

tak, że po całkowaniu tej nierówności normy są ograniczone w pobliżu granicy:

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\|f|_ {\ częściowe \ Omega _ {s}} \|\ e ^ {Ms / 2} \ | f | _ {\ częściowe \ Omega} \ |.}}$

Ta nierówność pokazuje, że funkcja w przestrzeni L ² Hardy'ego H ² (Ω) prowadzi, poprzez operator całki Cauchy'ego C , do funkcji holomorficznej na Ω spełniającej klasyczny warunek, że całka oznacza

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ int _ {\ częściowe \ Omega _ {s}} | f | ^ {2}}}$

są ograniczone. Co więcej, ograniczenia f _s f do ∂Ω _s , które można naturalnie utożsamiać z ∂Ω, dążą w L 2 ^do pierwotnej funkcji w przestrzeni Hardy'ego. W rzeczywistości H ² (Ω) zostało zdefiniowane jako domknięcie w L ² (Ω) funkcji wymiernych (które można uznać za wielomiany, jeśli Ω jest po prostu spójny). Dowolną funkcję wymierną z biegunami tylko w Ω ^c można odzyskać wewnątrz Ω z jej wartości granicznej g za pomocą wzoru całkowego Cauchy'ego

${\ Displaystyle \ Displaystyle {Cg (a) = {1 \ ponad 2 \ pi i} \ int _ {\ częściowe \ omega} {g (z) \ ponad za} \, dz.}}$

Powyższe szacunki pokazują, że funkcje Cg | _{∂Ω s} zależy w sposób ciągły od Cg | _∂Ω . Co więcej, w tym przypadku funkcje dążą jednostajnie do wartości brzegowej, a więc także do L ² , wykorzystując naturalną identyfikację przestrzeni L ² (∂Ω _s ) z L ² (∂Ω). Ponieważ Ch można zdefiniować dla dowolnej funkcji L ² jako funkcję holomorficzną na Ω, ponieważ h jest całkowalne na ∂Ω. Ponieważ h jest granicą w L ² funkcji wymiernych g , te same wyniki zachodzą dla h i Ch , z tymi samymi nierównościami dla średnich całkowych. Równie dobrze h jest granicą w L ² (∂Ω) funkcji Ch | _{∂Ω s} .

Powyższe oszacowania dla średnich całkowych w pobliżu granicy pokazują, że Cf leży w L ² (Ω) i że jego norma L ² może być ograniczona przez normę f . Ponieważ Cf jest również holomorficzne, leży w przestrzeni Bergmana A ² (Ω) z Ω. W ten sposób operator całki Cauchy'ego C definiuje naturalne odwzorowanie z przestrzeni Hardy'ego granicy do przestrzeni Bergmana wnętrza.

Przestrzeń Hardy'ego H ² (Ω) ma naturalnego partnera, a mianowicie domknięcie w L ² (∂Ω) wartości granicznych funkcji wymiernych znikających w ∞ z biegunami tylko w Ω. Oznaczając tę ​​podprzestrzeń przez H ² ₊ (∂Ω) w celu odróżnienia jej od oryginalnej przestrzeni Hardy'ego, która będzie również oznaczana przez H ² ₋ (∂Ω), można zastosować to samo rozumowanie, co powyżej. Po zastosowaniu do funkcji h w H ² ₊ (∂Ω), operator całki Cauchy'ego definiuje funkcję holomorficzną F w Ω ^c zanikające w ∞ takie, że w pobliżu granicy ograniczenie F do krzywych poziomów, z których każda jest utożsamiana z granicą, ma tendencję w ^L2 do h . Inaczej niż w przypadku koła, H ² ₋ (∂Ω) i H ² ₊ (∂Ω) nie są przestrzeniami ortogonalnymi. Zgodnie z twierdzeniem Hartogsa-Rosenthala ich suma jest gęsta w L ² (∂Ω). Jak pokazano poniżej, są to przestrzenie własne ±i transformaty Hilberta na ∂Ω, więc ich suma jest w rzeczywistości prosta i cała L ² (∂Ω).

Transformata Hilberta na krzywej zamkniętej

Dla ograniczonej, prosto połączonej domeny Ω na płaszczyźnie zespolonej z gładką granicą ∂Ω, teorię transformaty Hilberta można wywnioskować przez bezpośrednie porównanie z transformatą Hilberta dla koła jednostkowego.

Aby zdefiniować transformatę Hilberta H _∂Ω na L ² (∂Ω), należy sparametryzować ∂Ω długością łuku, a zatem funkcją z ( t ). Transformata Hilberta jest zdefiniowana jako granica w silnej topologii operatora obciętych operatorów H _∂Ω ^ε zdefiniowana przez

${\ Displaystyle \ Displaystyle {H _ {\ częściowe \ Omega} ^ {\ varepsilon} f (s) = {1 \ ponad \ pi i} \ int _ {| st | \ geq \ varepsilon} \, \, \, \ ,{f(t) \ponad z(t)-z(s)}\,{\kropka {z}}(t)\,dt.}}$

Dla porównania wygodnie będzie zastosować transformację skalującą w C tak, aby długość ∂Ω wynosiła 2π. (Zmienia to powyższe operatory tylko o ustalony dodatni współczynnik). Istnieje zatem kanoniczny jednostkowy izomorfizm L ² (∂Ω) na L ² ( T ), więc można zidentyfikować te dwie przestrzenie. Skrócone operatory H _∂Ω ^ε można porównać bezpośrednio z obciętą transformatą Hilberta H ^ε :

${\ Displaystyle \ Displaystyle {H _ {\ częściowe \ Omega} ^ {\ varepsilon} g (s) -H ^ {\ varepsilon} g (s) = {1 \ ponad \ pi i} \ int _ {| ts |\ geq \varepsilon }K(s,t)\cdot g(t)\,dt,}}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ Displaystyle {K (u, v) = {{\ kropka {z}} (t) \ ponad z (t) -z (s)} - {ie ^ {it} \ ponad e ^ {it} -e^{jest}}=\częściowa _{t}\log \left({z(t)-z(s) \over e^{it}-e^{jest}}\right).}}$

Jądro K jest zatem gładkie na T × T , więc powyższa różnica ma tendencję do silnej topologii do operatora Hilberta – Schmidta zdefiniowanego przez jądro. Wynika z tego, że obcięte operatory H _∂Ω ^ε są jednostajnie ograniczone w normie i mają granicę w topologii silnego operatora oznaczonej H _∂Ω i nazywanej transformatą Hilberta na ∂Ω.

${\ Displaystyle \ Displaystyle {H _ {\ częściowe \ Omega} g = \ lim _ {\ varepsilon \ rightarrow 0} H _ {\ częściowe \ Omega} ^ {\ varepsilon} g.}}$

Pozwalając ε dążyć do 0 powyżej wydajności

${\ Displaystyle \ Displaystyle {H _ {\ częściowe \ Omega} g (s) -Hg (s) = {1 \ ponad \ pi i} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} K (s, t) \ cdot g(t)\,dt.}}$

Ponieważ H jest sprzężone skośnie, a H _∂Ω różni się od H operatorem Hilberta-Schmidta z gładkim jądrem, wynika z tego, że H _∂Ω + H _∂Ω * jest operatorem Hilberta-Schmidta z gładkim jądrem. Jądro można również obliczyć jawnie, używając obciętych transformat Hilberta dla ∂Ω:

${\ Displaystyle \ Displaystyle {C (s, t) = {1 \ ponad \ pi i} \ lewo ({{\ kropka {z}} (t) \ ponad z (t) -z (s)} - {{ \overline {{\kropka {z}}(s)}} \over {\overline {z(t)}}-{\overline {z(s)}}}\right),}}$

i można bezpośrednio zweryfikować, że jest to funkcja gładka na T × T .

Relacja Plemelj-Sokhotski

Zobacz też: Twierdzenie Sokhotskiego – Plemelja

Niech C ₋ i C ₊ będą operatorami całkowymi Cauchy'ego dla Ω i Ω ^c . Następnie

${\ Displaystyle \ Displaystyle {C _ {\ pm} \ circ H = \ pm iC_ {\ pm}.}}$

Ponieważ operatory C ₋ , C ₊ i H są ograniczone, wystarczy to sprawdzić na funkcjach wymiernych F z wyłączonymi biegunami ∂Ω i znikającymi w ∞ za pomocą twierdzenia Hartogsa-Rosenthala. Funkcję wymierną można zapisać jako sumę funkcji F = F ₋ + F ₊ gdzie F ₋ ma bieguny tylko w Ω ^{c ,} a F ₊ ma bieguny tylko w Niech f , f _± będą ograniczeniami f , f _± do ∂Ω. Z całkowego wzoru Cauchy'ego

${\ Displaystyle \ Displaystyle {C _ {\ pm} f_ {\ pm} = F_ {\ pm}, \, \, \, C_ {\ pm} f_ {\mp}=0.}}$

Z drugiej strony łatwo to sprawdzić

${\ Displaystyle \ Displaystyle {Hf_ {\ pm} = \ pm if_ {\ pm}.}}$

Rzeczywiście, na mocy twierdzenia Cauchy'ego, ponieważ F _- jest holomorficzny w Ω,

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ int _ {\ częściowe \ Omega, \, \, | zw | \ geq \ varepsilon }{ f_ {-} (z) \ ponad zw} \, dz = - \ int _ {| zw |=\varepsilon ,\,\,z\in \Omega }{F_{-}(z) \over zw}\,dz.}}$

Ponieważ ε dąży do 0, druga całka dąży do π i f _- ( w ) przez rachunek pozostałości . Podobny argument stosuje się do f ₊ , przyjmując kontur kołowy po prawej stronie wewnątrz Ω ^c .

Z ciągłości wynika, że ​​H działa jak mnożenie przez i na H ² ₋ i jak mnożenie przez − i na H ² ₊ . Wynika z tego, że te przestrzenie są domknięte, a ich suma gęsta

${\ Displaystyle \ Displaystyle {H ^ {2} = -I.}}$

Co więcej, H ² ₋ i H ² ₊ muszą być ± i przestrzeniami własnymi H , więc ich suma jest całością L ² (∂Ω). Relacja Plemelja -Sokhotskiego dla f w L ² (∂Ω) jest relacją

${\ Displaystyle \ Displaystyle {-iHf = C_ {-} f | _ {\ częściowe \ Omega} -C_ {+} f | _ {\ częściowe \ Omega}.}}$

Zostało to sprawdzone dla f w przestrzeniach Hardy'ego H ² _± (∂Ω), więc jest prawdziwe również dla ich sumy. Idempotent Cauchy'ego E jest zdefiniowany przez

${\ Displaystyle \ Displaystyle {H = i (2E-I).}}$

Zakres E to zatem H ² _- (∂Ω), a zakres I - E to H ² ₊ (∂Ω). Z góry

${\ Displaystyle \ Displaystyle {Ef = C_ {-} f | _ {\ częściowe \ Omega}, \, \, \, \ (IE) f = C_ {+} f | _ {\ częściowe \ Omega}.} }$

Operatory na krzywej zamkniętej

Zobacz także: jądro Szegő i operator Neumanna – Poincarégo

Dwa inne operatory zdefiniowane na zamkniętej krzywej ∂Ω można wyrazić za pomocą transformat Hilberta i Cauchy'ego H i E .

Rzut Szegő P jest zdefiniowany jako rzut ortogonalny na przestrzeń Hardy'ego H ² (∂Ω). Ponieważ E jest idempotentem o zakresie H ² (∂Ω), P jest dane wzorem Kerzmana-Steina :

${\ Displaystyle \ Displaystyle {P = E (I + EE ^ {*}) ^ {- 1}.}}$

Rzeczywiście, ponieważ E - E * jest skośnie sprzężone, jego widmo jest czysto urojone, więc operator I + E - E * jest odwracalny. To jest natychmiastowe

${\ Displaystyle \ Displaystyle {EP = P, \, \, \, PE = E.}}$

Stąd PE * = P. Więc

${\ Displaystyle \ Displaystyle {P (I + EE ^ {*}) = P + EP = E.}}$

Ponieważ operator H + H * jest operatorem Hilberta-Schmidta z gładkim jądrem, to samo dotyczy E - E *.

Ponadto, jeśli J jest sprzężonym operatorem liniowym koniugacji zespolonej, a U operatorem mnożenia przez jednostkowy wektor styczny:

${\ Displaystyle \ Displaystyle {Jf (t) = {\ overline {f (t)}}, \, \, \, Uf (t) = {\ kropka {z}} (t) \ cdot f (t). }}$

wtedy wzór na obciętą transformatę Hilberta na ∂Ω natychmiast daje następującą tożsamość dla przylegających

${\ Displaystyle \ Displaystyle {(H ^ {\ varepsilon}) ^ {*} = JUH ^ {\ varepsilon} U ^ {*} J.}}$

Przyjmując, że ε dąży do 0, wynika z tego

${\ Displaystyle \ Displaystyle {H ^ {*} = JUHU ^ {*} J}}$

i stąd

${\ Displaystyle \ Displaystyle {IE ^ {*} = JUEU ^ {*} J.}}$

Porównanie z transformatą Hilberta dla koła pokazuje, że komutatory H i E z dyfeomorfizmami koła są operatorami Hilberta – Schmidta. Podobnymi ich komutatorami z operatorem mnożenia odpowiadającym gładkiej funkcji f na okręgu są również operatory Hilberta – Schmidta. Aż do stałej jądro komutatora z H jest dane funkcją wygładzającą

${\ Displaystyle \ Displaystyle {A (s, t) = {f (s) -f (t) \ ponad z (s) -z (t)}.}}$

Neumanna – Poincarégo T jest zdefiniowany na funkcjach rzeczywistych f as

${\ Displaystyle \ Displaystyle {Tf (w) = {1 \ ponad 2 \ pi} \ int _ {\ częściowe \ Omega} \ częściowe _ {n} (\ log | zw |) f (z) = {1 \ ponad 2}\Re (Hf)(w).}}$

Pisząc h = f + ig ,

${\ Displaystyle \ Displaystyle {2Th = \ Re (Hf) + i \ Re (Hg) = {1 \ ponad 2} (Hf + JHf + iHg + iJHg) = {1 \ ponad 2} (H + JHJ) h} }$

aby

${\ Displaystyle \ Displaystyle {T = {1 \ ponad 4} (H + JHJ) = {1 \ ponad 4} (H+UH^{*}U^{*}),}}$

operator Hilberta-Schmidta.

Klasyczna definicja przestrzeni Hardy'ego

Klasyczna definicja przestrzeni Hardy'ego to przestrzeń funkcji holomorficznych F na Ω, dla których funkcje F _s = F | _{∂Ω s} mają ograniczoną normę w L ² (∂Ω). Argument oparty na twierdzeniu o jądrze Carathéodory'ego pokazuje, że warunek ten jest spełniony, gdy istnieje rodzina krzywych Jordana w Ω, ostatecznie zawierająca w swoim wnętrzu dowolny podzbiór zwarty, na którym ograniczone są średnie całkowe F.

Aby udowodnić, że klasyczna definicja przestrzeni Hardy'ego daje przestrzeń H ² (∂Ω), weźmy F jak wyżej. Powiedzmy, że pewien podciąg h _n = F _{s n} jest słabo zbieżny w L ² (∂Ω) do h . Wynika z tego, że Ch = F w Ω. W rzeczywistości, jeśli C _n jest operatorem całki Cauchy'ego odpowiadającym Ω _{s n} , to wtedy

${\ Displaystyle \ Displaystyle {Ch (a) -F (a) = Ch (a) -C_ {n} h_ {n} (a) = C (h-h_ {n}) (a) + [(C- C_{n})h_{n}](a).}}$

Ponieważ pierwszy wyraz po prawej stronie jest zdefiniowany przez sparowanie h − h _n z ustaloną funkcją L ² , dąży on do zera. Jeśli z _n ( t ) jest liczbą zespoloną odpowiadającą v _{s n} , to

${\ Displaystyle \ Displaystyle {[(C-C_ {n}) h_ {n}] (a) = {1 \ ponad 2 \ pi i} \ int h_ {n} (t) \ lewo ({{\ kropka { z}}(t) \over z(t)-a}-{{\kropka {z}}_{n}(t) \over z_{n}(t)-a}\right)\,dt. }}$

Ta całka dąży do zera, ponieważ normy ^L2 hn są jednostajnie ograniczone _, podczas gdy wyrażenie w nawiasach w całce dąży jednostajnie do 0, a zatem w ^L2 .

Zatem F = Ch . Z drugiej strony, jeśli E jest idempotentem Cauchy'ego o zakresie H ² (∂Ω), to C ∘ E = C . Stąd F = Ch = C ( Eh ). Jak już pokazano, F _s dąży do Ch w L ² (∂Ω). Ale podsekwencja ma słabą tendencję do h . Stąd Ch = h , a zatem obie definicje są równoważne.

Uogólnienia

Teoria dla wielokrotnie połączonych ograniczonych domen z gładkimi granicami wynika łatwo z przypadku prosto połączonego. Istnieją analogi operatorów H , E i P . Na danym składniku granicy osobliwe wkłady w H i E pochodzą z całki osobliwej na tym składniku brzegowym, więc techniczne części teorii są bezpośrednimi konsekwencjami przypadku po prostu połączonego.

Osobliwe operatory całkowe na przestrzeniach funkcji ciągłych Höldera omówiono w Gakhov (1990) . Ich działanie na przestrzenie Lp ⁱ Sobolewa jest omówione w Mikhlin & Prössdorf (1986) .

Notatki

•   Bell, SR (1992), Transformacja Cauchy'ego, teoria potencjału i mapowanie konforemne , Studies in Advanced Mathematics , CRC Press, ISBN 0-8493-8270-X
•   Bell, SR (2016), Transformacja Cauchy'ego, teoria potencjału i mapowanie konforemne , Studies in Advanced Mathematics (wyd. 2), CRC Press, ISBN 9781498727211
•   Conway, John B. (1995), Funkcje jednej zmiennej zespolonej II , Teksty magisterskie z matematyki, tom. 159, Springer, s. 197, numer ISBN 0387944605
•   Conway, John B. (2000), Kurs teorii operatorów , Studia podyplomowe z matematyki , tom. 21, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , s. 175–176, ISBN 0821820656
• David, Guy (1984), „Opérateurs intégraux singuliers sur surees courbes du plan complexe”, Ann. nauka École Norma. Pić małymi łykami. , 17 : 157–189, doi : 10.24033/asens.1469
• Duren, Peter L. (1970), Teoria przestrzeni ^Hp , Czysta i stosowana matematyka, tom. 38, Prasa Akademicka
•   Gakhov, FD (1990), Problemy z wartościami brzegowymi. Przedruk tłumaczenia z 1966 r ., Dover Publications, ISBN 0-486-66275-6
•   Gamelin, Theodore W. (2005), Algebry jednolite (wyd. 2), American Mathematical Society , s. 46–47, ISBN 0821840495
•   Garnett, JB (2007), ograniczone funkcje analityczne , Graduate Texts in Mathematics, tom. 236, Springera, ISBN 978-0-387-33621-3
•   Gohberg, Izrael; Krupnik, Naum (1992), Jednowymiarowe liniowe osobliwe równania całkowe. I. Wprowadzenie , Teoria operatorów: postępy i zastosowania, tom. 53, Birkäuser, ISBN 3-7643-2584-4
• Goluzin, GM (1969), Geometryczna teoria funkcji zmiennej zespolonej , Tłumaczenia monografii matematycznych, tom. 26, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne
•   Katznelson, Yitzhak (2004), Wprowadzenie do analizy harmonicznej , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54359-0
•   Kerzman, N.; Stein, EM (1978), „Jądro Cauchy'ego, jądro Szegö i funkcja mapowania Riemanna”, Math. Ann. , 236 : 85–93, doi : 10.1007/bf01420257 , S2CID 121336615
•   Muskhelishvili, NI (1992), Osobliwe równania całkowe. Problemy brzegowe teorii funkcji i ich zastosowanie w fizyce matematycznej , Dover, ISBN 0-486-66893-2
•   Mikhlin, Solomon G .; Prössdorf, Siegfried (1986), operatory całkowe liczby pojedynczej , Springer-Verlag, ISBN 3-540-15967-3
•   Pressley, Andrew; Segal, Graeme (1986), grupy pętli , Oxford University Press, ISBN 0-19-853535-X
•   Segal, Graeme (1981), „Jednostkowe reprezentacje niektórych nieskończenie wymiarowych grup” , Comm. Matematyka fizyka , 80 (3): 301–342, doi : 10.1007/bf01208274 , S2CID 121367853
•   Shapiro, HS (1992), Funkcja Schwarza i jej uogólnienie na wyższe wymiary , University of Arkansas Lecture Notes in the Mathematical Sciences, tom. 9, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-57127-X
•   Titchmarsh, EC (1939), Teoria funkcji (wyd. 2), Oxford University Press, ISBN 0-19-853349-7
•   Torchinsky, Alberto (2004), Real-Variable Methods in Harmonic Analysis , Dover, ISBN 0-486-43508-3