Płaska zbieżność

W matematyce płaska zbieżność jest pojęciem zbieżności podrozmaitości przestrzeni euklidesowej . Został po raz pierwszy wprowadzony przez Hasslera Whitneya w 1957 r., a następnie rozszerzony na prądy całkowe przez Federera i Fleminga w 1960 r. Stanowi fundamentalną część dziedziny teorii miary geometrycznej . Pojęcie to zostało zastosowane do znalezienia rozwiązań problemu Plateau . W 2001 roku Ambrosio i Kirchheim rozszerzyli pojęcie prądu całkowego na dowolne przestrzenie metryczne .

Prądy integralne

K - $jest$ prąd T przestrzeni zwartej k - formy. $Na$ przykład, biorąc Lipschitza z rozmaitości do przestrzeni , całkę T ( ω ) zdefiniowane przez całkowanie wycofania różniczkowej postaci k , ω , po N . Prądy mają pojęcie granicy $rozmaitością$ która jest zwykłą granicą, gdy N jest z granicą) i pojęcie masy, ( T ), (która jest objętością obrazu z N. ). Całkowity prąd prostowniczy definiuje się jako policzalną sumę prądów powstałych w tym zakresie. Prąd całkowy to całkowity prąd prostowniczy, którego granica ma skończoną masę. Jest głębokim twierdzeniem Federera-Fleminga, że ​​granica jest wtedy również prądem całkowym.

Płaska norma i płaska odległość

Płaska norma | T | k - wymiarowego prądu całkowego T jest infimum M ( ZA ) + M ( b ), gdzie infimum przejmuje wszystkie prądy całkowe A i B takie, że ${\ Displaystyle T = A + \ częściowe B}$ .

Płaska odległość między dwoma prądami całkowymi wynosi zatem d _F ( T , S ) = | T - S |.

Twierdzenie o zwartości

Federer-Fleming udowodnił, że jeśli ktoś ma ciąg prądów całkowych, $których$${$ leżą w zwartym zbiorze K jednolitą górną granicą na $\displaystyle M(T_{i})+M(\częściowy T_{i})}$ , to podsekwencja zbiega się w płaskim sensie do prądu całkowego.

Twierdzenie to zastosowano do badania ciągów podrozmaitości o ustalonej granicy, których objętość zbliżała się do infimum po wszystkich objętościach podrozmaitości o danej granicy. To stworzyło kandydata na słabe rozwiązanie problemu Plateau .

•    Federer, Herbert (1969), Geometryczna teoria miary , seria Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, tom. Zespół 153, Nowy Jork: Springer-Verlag New York Inc., s. xiv + 676, ISBN 978-3-540-60656-7 , MR 0257325
• Federer, H. (1978), „Wykłady kolokwium z teorii miary geometrycznej” , Bull. Amer. Matematyka soc. , 84 (3): 291–338, doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14462-0

•    Morgan, Frank (2009), Teoria miary geometrycznej: przewodnik dla początkujących (wyd. Czwarte), San Diego, Kalifornia: Academic Press Inc., s. VIII + 249, ISBN 978-0-12-374444-9 , MR 2455580
• Ambrosio, Luigi; Kirchheim, Bernd (2000), „Prądy w przestrzeniach metrycznych”, Acta Mathematica , 185 : 1–80, doi : 10.1007 / bf02392711