Płaskość (teoria systemów)

Płaskość w teorii systemów jest właściwością systemu, która rozszerza pojęcie sterowalności z systemów liniowych na nieliniowe systemy dynamiczne . System, który ma właściwość płaskości, nazywany jest systemem płaskim . Systemy płaskie mają (fikcyjną) płaską wartość wyjściową , której można użyć do jawnego wyrażenia wszystkich stanów i danych wejściowych w postaci płaskiej wartości wyjściowej i skończonej liczby jej pochodnych.

Definicja

System nieliniowy

${\ Displaystyle {\ kropka {\ mathbf {x}}} (t) = \ mathbf {f} (\ mathbf {x} (t), \ mathbf {u} (t)), \ quad \ mathbf {x} (0)=\mathbf {x} _{0},\quad \mathbf {u} (t)\in R^{m},\quad \mathbf {x} (t)\in R^{ n},{\text{Rank}}{\frac {\częściowo \mathbf {f} (\mathbf {x},\mathbf {u})}{\częściowo \mathbf {u}}}=m}$

jest płaska, jeśli istnieje wyjście

${\ Displaystyle \ mathbf {y} (t) = (y_ {1} (t), ..., y_ {$

który spełnia następujące warunki:

Sygnały $\ Displaystyle y_ {i}, i = 1, ..., m}$ $\ Displaystyle x_ {i}, i = 1, ..., n}$ są reprezentowalne jako funkcje stanów $i = 1, ..., m}$ i dane wejściowe i skończoną liczbę pochodnych względem czasu $, \ alfa _ {i}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {y} = \ Phi (\ mathbf {x}, \ mathbf {u}, {\ kropka {\ mathbf {u}}}, ..., \ mathbf {u} ^ { (\ alfa )})}$ : .
Stany $n}$ i dane wejściowe $i = 1, ..., m}$ $i = 1, ..., m}$ są reprezentowalne jako funkcje wyjść $1, ..., m}$ i jego pochodnych względem czasu .
Składniki są $różniczkowo niezależne, to znaczy nie spełniają$ równania różniczkowego postaci ${\ Displaystyle \ phi (\ mathbf { y} ,{\dot {\mathbf {y}}},\mathbf {y} ^{(\gamma)})=\mathbf {0}}$ .

Jeśli te warunki są spełnione przynajmniej lokalnie, to (prawdopodobnie fikcyjne) wyjście nazywa się wyjściem płaskim , a system jest płaski .

Związek ze sterowalnością układów liniowych

$mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t),\quad \mathbf {x} (0)=\mathbf {x} _{0}} z tymi samymi wymiarami sygnału$ ZA ${\ Displaystyle {\ kropka {\ mathbf {x}}} (t) = \ mathbf {A$ } dla $jest$ system nieliniowy jest płaski, wtedy i tylko wtedy, sterowalny . W przypadku układów liniowych obie właściwości są równoważne, a więc wymienne.

Znaczenie

Właściwość płaskości jest przydatna zarówno do analizy, jak i syntezy regulatorów dla nieliniowych układów dynamicznych. Jest to szczególnie korzystne przy rozwiązywaniu problemów planowania trajektorii i asymptotycznej wartości zadanej po regulacji.

Literatura

M. Fliess, JL Lévine, P. Martin i P. Rouchon: Płaskość i wada systemów nieliniowych: teoria wprowadzająca i przykłady. International Journal of Control 61( 6 ), s. 1327-1361, 1995 [1]
A. Isidori, CH Moog i A. De Luca. Wystarczający warunek pełnej linearyzacji poprzez dynamiczne sprzężenie zwrotne stanu. 25 CDC IEEE, Ateny, Grecja, s. 203 - 208, 1986 [2]

Zobacz też