Parzyste i nieparzyste liczby porządkowe

W matematyce parzyste i nieparzyste liczby porządkowe rozszerzają pojęcie parzystości od liczb naturalnych do liczb porządkowych . Są przydatne w niektórych dowodach indukcji pozaskończonej .

Literatura zawiera kilka równoważnych definicji parzystości porządkowej α:

• Każda granica porządkowa (w tym 0) jest parzysta. Następnik porządkowej jest nieparzysty i odwrotnie.
• Niech α = λ + n , gdzie λ jest graniczną liczbą porządkową, a n jest liczbą naturalną. Parzystość α jest parzystością n .
• Niech n będzie skończonym wyrazem postaci normalnej Cantora α. Parzystość α jest parzystością n .
• Niech α = ωβ + n , gdzie n jest liczbą naturalną. Parzystość α jest parzystością n .
• Jeśli α = 2β, to α jest parzysta. W przeciwnym razie α = 2β + 1 i α jest nieparzyste.

Inaczej niż w przypadku parzystych liczb całkowitych , nie można scharakteryzować parzystych liczb porządkowych jako liczb porządkowych postaci β2 = β + β. Mnożenie porządkowe nie jest przemienne, więc ogólnie 2β ≠ β2. W rzeczywistości parzystej liczby porządkowej ω + 4 nie można wyrazić jako β + β, a liczba porządkowa

(ω + 3)2 = (ω + 3) + (ω + 3) = ω + (3 + ω) + 3 = ω + ω + 3 = ω2 + 3

nie jest równy.

Prostym zastosowaniem parzystości porządkowej jest prawo idempotencji dla dodawania kardynalnego (biorąc pod uwagę twierdzenie o dobrym porządku ). Biorąc pod uwagę nieskończoną liczbę kardynalną κ lub ogólnie dowolną graniczną liczbę porządkową κ, κ jest rzędem izomorficznym zarówno ze swoim podzbiorem parzystych liczb porządkowych, jak i podzbiorem nieparzystych liczb porządkowych. Stąd mamy sumę kardynalną κ + κ = κ.