Pierścień pustelnika

W algebrze termin pierścień Hermite'a (po Charlesie Hermite'u ) został zastosowany do trzech różnych obiektów.

Według Kaplansky'ego (1949) (s. 465), pierścień jest prawy Hermite'a , jeśli na każde dwa elementy aib pierścienia istnieje element d pierścienia i odwracalna macierz 2 na 2 M nad pierścieniem, taka że (ab)M=(d 0) . (Termin lewy Hermite jest definiowany podobnie.) Macierze nad takim pierścieniem można zapisać w postaci normalnej Hermite'a przez prawe pomnożenie przez kwadratową macierz odwracalną ( Kaplansky (1949) , s. 468.) Lam (2006) (dodatek do §I.4) nazywa tę właściwość K-Hermite , używając zamiast tego Hermite w znaczeniu podanym poniżej.

Według Lam (1978) (§I.4, s. 26), pierścień jest prawy Hermite'a , jeśli dowolny skończenie wygenerowany stabilnie wolny prawy moduł nad pierścieniem jest wolny. Jest to równoważne wymaganiu, aby dowolny wektor wierszowy (b ₁ ,...,b _n ) elementów pierścienia, który generuje go jako moduł prawy (tj. b ₁ R+...+b _n R=R ) mógł być uzupełnione do (niekoniecznie kwadratowej) odwracalnej macierzy przez dodanie pewnej liczby wierszy. (Kryterium pozostania Hermite można zdefiniować podobnie.) Lissner (1965) (s . 528) wcześniej nazwał pierścień przemienny o tej właściwości pierścieniem H.

Według Cohna (2006) (§0.4), pierścień jest hermitowski , jeśli oprócz tego, że każdy stabilnie wolny (lewy) moduł jest wolny, ma IBN .

Wszystkie pierścienie przemienne, które są hermitowskie w sensie Kaplansky'ego, są również hermitowskie w sensie Lama, ale odwrotność niekoniecznie jest prawdziwa. Wszystkie domeny Bézout są hermitowskie w sensie Kaplansky'ego, a pierścień przemienny, który jest hermitowski w sensie Kaplansky'ego, jest również pierścieniem Bézout ( Lam (2006) , s. 39-40.)

Hipoteza pierścienia Hermite'a , wprowadzona przez Lam (1978) (s. xi), stwierdza, że jeśli R jest przemiennym pierścieniem Hermite'a, to R [ x ] jest pierścieniem Hermite'a.

Cohn, PM (2000), „Od pierścieni Hermite'a do domen Sylwestra”, Proceedings of the American Mathematical Society , 128 (7): 1899–1904, doi : 10.1090 / S0002-9939-99-05189-8 , ISSN 0002-9939 , MR 1646314
Cohn, PM (2006), Bezpłatne pierścienie idealne i lokalizacja w pierścieniach ogólnych , Cambridge University Press, ISBN 9780521853378
Kaplansky, Irving (1949), „Elementarne dzielniki i moduły”, Transactions of the American Mathematical Society , 66 : 464–491, doi : 10.2307/1990591 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1990591 , MR 0031470
Lam, TY (1978), przypuszczenie Serre'a , notatki z wykładów z matematyki, tom. 635, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0068340 , ISBN 978-3-540-08657-4 , MR 0485842
Lam, TY (2006), Serre's Problem on Projective Modules , Springer Monographs in Mathematics , Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-540-34575-6 , ISBN 978-3-540-23317-6
Lissner, David (1965), „Zewnętrzne pierścienie produktowe”, Transactions of the American Mathematical Society , 116 : 526–535, doi : 10.2307/1994132 , ISSN 0002-9947 , MR 0186687