Główny wykres

Ten artykuł dotyczy grafów zdefiniowanych na podstawie skończonych grup. Aby zapoznać się z wykresami, których nie można rozłożyć na iloczyn mniejszych grafów, zobacz Produkt kartezjański grafów .

W matematyce teorii grafów i grup skończonych graf pierwszy to graf nieskierowany zdefiniowany na podstawie grupy . Wykresy te zostały wprowadzone w artykule JS Williamsa z 1981 roku, przypisanym niepublikowanej pracy z 1975 roku autorstwa KW Gruenberga i O. Kegla.

Definicja

Główny wykres grupy ma wierzchołek dla każdej liczby pierwszej, która dzieli kolejność ( liczbę elementów) danej grupy, oraz krawędź łączącą każdą parę liczb pierwszych ${\ displaystyle p}$ i ${\ displaystyle q}$ w którym istnieje element grupowy z kolejnością ${\ displaystyle pq}$ .

Równoważnie istnieje krawędź od do ${\ displaystyle$$q},$ ilekroć dana grupa zawiera elementy dojeżdżające do pracy $}$ porządku lub gdy dana grupa zawiera $\ displaystyle p$ zawiera cykliczną grupę rzędu $podgrup$ .

Nieruchomości

Pewne skończone grupy proste można rozpoznać po stopniach wierzchołków ich grafów pierwszych. Połączone składowe grafu pierwszego mają średnicę co najwyżej pięć, a dla grup rozwiązywalnych co najwyżej trzy . Gdy graf pierwszy jest drzewem , ma co najwyżej osiem wierzchołków, a co najwyżej cztery w przypadku grup rozwiązywalnych.

Powiązane wykresy

Zbadano również odmiany grafów pierwszych, które zastępują istnienie cyklicznej podgrupy rzędu $grafie pierwszym istnieniem podgrupy innego typu.$ Podobne wyniki uzyskano również z pokrewnej rodziny grafów, uzyskanych ze skończonej grupy na podstawie stopni jej znaków , a nie rzędów jej elementów.