Pletyzm

W algebrze pletyzm jest operacją na funkcjach symetrycznych wprowadzoną przez Dudleya E. Littlewooda , który opisał ją jako { λ } ⊗ { μ }. Słowo „pletyzm” dla tej operacji (od greckiego słowa πληθυσμός oznaczającego „mnożenie”) wprowadził później Littlewood ( 1950 , s. 289, 1950b , s. 274), który powiedział, że nazwa została zasugerowana przez ML Clarka.

Jeśli funkcje symetryczne są utożsamiane z operacjami w pierścieniach lambda , to pletyzm odpowiada złożeniu operacji.

W teorii reprezentacji

Niech V będzie przestrzenią wektorową nad liczbami zespolonymi , uważaną za reprezentację ogólnej grupy liniowej GL( V ). Każdy diagram Younga λ odpowiada funktorowi Schura L _λ (-) w kategorii reprezentacji GL( V ). Mając dwa diagramy Younga λ i μ, rozważmy rozkład L _λ (L _μ ( V )) na prostą sumę nieredukowalne reprezentacje grupy. Z teorii reprezentacji $każda$ liniowej wiemy, że suma $jest$ diagramem Tak więc dla niektórych nieujemnych krotności istnieje izomorfizm za $mu, \ nu}}$

${\ Displaystyle L _ {\ lambda} (L _ {\ mu} (V)) = \ bigoplus _ {\ nu} L_ {\ nu} (V) ^ {\ oplus a_ {\ lambda, \ mu, \ nu}} .}$

Problemem (zewnętrznego) pletyzmu jest znalezienie wyrażenia dla krotności ${\ Displaystyle a_ {\ lambda, \ mu, \ nu}}$ .

Sformułowanie to jest ściśle związane z pytaniem klasycznym. Charakter GL( V ) L _λ ( V ) jest funkcją symetryczną w zmiennych dim( V ), znaną jako wielomian Schura s λ _{odpowiadający} diagramowi Younga λ. Wielomiany Schura stanowią bazę w przestrzeni funkcji symetrycznych. Stąd, aby zrozumieć pletyzm dwóch funkcji symetrycznych wystarczyłaby znajomość ich wyrażeń w tej bazie oraz wyrażenie na pletyzm dwóch dowolnych wielomianów Schura { s _λ }⊗{ s _μ } . Drugim elementem danych jest właśnie charakter L _λ ( L _μ ( V )).

•   Littlewood, DE (1936), „Wielomiany towarzyszące i niezmienne macierze”, J. London Math. soc. , 11 (1): 49–55, doi : 10.1112/jlms/s1-11.1.49 , Zbl 0013.14602
•    Littlewood, DE (1944), „Teoria niezmienna, tensory i postacie grupowe”, Philosophical Transactions of the Royal Society A , 239 : 305–365, doi : 10.1098 / rsta.1944.0001 , JSTOR 91389 , MR 0010594
•    Littlewood, Dudley E. (1950), Teoria znaków grupowych i macierzowe reprezentacje grup , AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, ISBN 978-0-8218-4067-2 , MR 0002127
•   Littlewood, DE (1950b), A University Algebra , Melbourne, Londyn, Toronto: William Heinemann, Ltd., MR 0045079