Połączenie (ramy algebraiczne)

Geometria układów kwantowych (np. geometria nieprzemienna i supergeometria ) jest wyrażana głównie w kategoriach algebraicznych modułów i algebr . Połączenia na modułach są uogólnieniem połączenia liniowego na wiązce wektorów gładkich zapisanymi jako połączenie Koszula na wiązce ${\ Displaystyle E \ do X}$ zapisywanej jako połączenie Koszula na ( $C ^ {\ infty} (X)}$ -moduł sekcji mi $\ Displaystyle E \ do X}$ .

Algebra przemienna

Niech będzie $pierścieniem$ i $modułem$ _ _ _ _ _ _ Istnieją różne równoważne definicje połączenia na ${\ displaystyle M}$ .

Pierwsza definicja

Jeśli ${\ Displaystyle k \ do A}$ jest homomorfizmem pierścienia, to -liniowe połączenie jest $displaystyle$ $k}$ -liniowym morfizmem

{\ Displaystyle \ nabla: M \ do \ Omega _ {A / k} ^ {1} \ czasami _ {A} M}

co spełnia tożsamość

{\ Displaystyle \ nabla (am) = da \ otimes m + a \ nabla m}

Połączenie rozciąga się dla $wszystkich$ mapę

\ Displaystyle \ nabla: \ Omega _ {A / k} ^ {p} \ otimes _ {A} M \ do \ Omega _{A/k}^{p+1}\czasami _{A}M}

satysfakcjonujące ${\ Displaystyle \ nabla (\ omega \ otimes f) = d \ omega \ otimes f + (-1) ^ {p} \ omega \klin \nabla f}$ . Mówi się ${ 2}:M\to \Omega _{A/k}^{2}\otimes M}$ że połączenie jest całkowalne, jeśli $,$ jeśli krzywizna znika.

Druga definicja

Niech $ZA$ modułem wyprowadzeń pierścienia $}$ . Połączenie na module A jest definiowane jako morfizm modułu A. ${\ displaystyle M}$

{\ Displaystyle \ nabla: D (A) \ do \ operatorname {różnica} _ {1} (M, M); u \ mapsto \ nabla _ {u}}

operatory różniczkowe pierwszego rzędu są $}$ z regułą Leibniza ${\ displaystyle \ nabla _ {u}$

{\ Displaystyle \ nabla _ {u} (ap) = u (a) p + a \ nabla _ {u} (p), \ quad a \ w A, \ quad p \ w M.}

Połączenia w module przez pierścień przemienny zawsze istnieją.

Krzywizna połączenia jest zdefiniowana jako operator różniczkowy rzędu zerowego ${\ displaystyle \ nabla}$

{\ Displaystyle R (u, u') = [\ nabla _ {u}, \ nabla _ {u'} ]-\nabla _{[u,u']}\,}

na module dla wszystkich $}$ $\ Displaystyle u, u' \ w D (A)$ .

Jeśli ${\ displaystyle E \ do X}$ jest wiązką wektorów, istnieje zgodność jeden do jednego między połączeniami liniowymi na ${\ displaystyle E \ do X}$ ${\ displaystyle E \ do X$ i połączeniami mi → ${\ Displaystyle \ nabla}$ na -module sekcji mi $} do$ ${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (X)}$ . Ściśle mówiąc, odpowiada kowariantnej różniczce połączenia na $X}$ $do$ .

Stopniowana algebra przemienna

Pojęcie połączenia na modułach w pierścieniach przemiennych jest bezpośrednio rozszerzone na moduły w stopniowanej algebrze przemiennej . Tak jest w przypadku superpołączeń w supergeometrii stopniowanych rozmaitości i wiązek superwektorów . Superpołączenia zawsze istnieją.

Algebra nieprzemienna

Jeśli jest $nieprzemiennym$ , połączenia na lewym i prawym module A są definiowane podobnie do tych na modułach nad pierścieniami przemiennymi. Jednak te połączenia nie muszą istnieć.

W przeciwieństwie do połączeń na lewym i prawym module, istnieje problem, jak zdefiniować połączenie na bimodule R - S na nieprzemiennych pierścieniach R i S . Istnieją różne definicje takiego połączenia. Wspomnijmy o jednym z nich. Połączenie na bimodule jest definiowane jako morfizm dwumodułowy P. $\ displaystyle P}$

{\ Displaystyle \ nabla: D (A) \ ni u \ do \ nabla _ {u} \ w \ operatorname {różnic} _{1}(P,P)}

co jest zgodne z regułą Leibniza

{\ Displaystyle \ nabla _ {u} (apb) = u (a) pb + a \ nabla _ {u} (p) b + apu (b), \ quad a \ w R, \ quad b \ w S, \quad p\w P.}

Zobacz też

Notatki

J. Koszul, Homologie et cohomologie des algebres de Lie, Bulletin de la Société Mathématique 78 (1950) 65
Koszul, J., Wykłady na temat wiązek włókien i geometrii różniczkowej (Tata University, Bombaj, 1960)
Bartocci, C., Bruzzo, U., Hernandez Ruiperez, D., The Geometry of Supermanifolds (Kluwer Academic Publ., 1991) ISBN 0-7923-1440-9
Dubois-Violette, M., Michor, P., Połączenia na centralnych bimodułach w nieprzemiennej geometrii różniczkowej, J. Geom. fizyka 20 (1996) 218. arXiv : q-alg/9503020
G. Landi, Wprowadzenie do przestrzeni nieprzemiennych i ich geometrii , wykł. Uwagi Fizyka, Nowa seria m: Monografie, 51 (Springer, 1997) arXiv : hep-th/9701078 , iv+181 stron.
Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , Połączenia w klasycznej i kwantowej teorii pola (World Scientific, 2000) ISBN 981-02-2013-8

Linki zewnętrzne

Sardanashvily, G. , Wykłady z geometrii różniczkowej modułów i pierścieni (Lambert Academic Publishing, Saarbrücken, 2012); ar Xiv : 0910.1515