Pochodna Diniego

W matematyce , a konkretnie w analizie rzeczywistej , pochodne Diniego (lub pochodne Diniego ) są klasą uogólnień pochodnej . Zostały one wprowadzone przez Ulisse Dini , który badał funkcje ciągłe, ale nieróżniczkowalne.

Górna pochodna Diniego , zwana także pochodną prawą górną , funkcji ciągłej

${\ Displaystyle f: {\ mathbb {R}} \ rightarrow {\ mathbb {R}},}$

jest oznaczony przez f ′ + i zdefiniowany przez

${\ Displaystyle f'_ {+} (t) = \ limsup _ {h \ do {0+}} {\frac {f(t+h)-f(t)}{h}},}$

gdzie lim sup jest granicą supremum , a granicą jest granica jednostronna . Niższa pochodna Diniego , f ′ − , jest określona przez

${\ Displaystyle f'_ {-} (t) = \ liminf _ {h \ do {0 +}} {\frac {f(t)-f(th)}{h}},}$

gdzie lim inf jest dolną granicą .

Jeśli f jest określone w przestrzeni wektorowej , to górna pochodna Diniego w t w kierunku d jest określona przez

${\ Displaystyle f'_ {+} (t, d) = \ limsup _ {h \ do {0+}} {\ Frac {f (t + hd) -f (t)} {h}}.}$

Jeśli f jest lokalnie Lipschitzem , to f ′ + jest skończone. Jeśli f jest różniczkowalna w t , to pochodna Diniego w t jest zwykłą pochodną w t .

Uwagi

• Funkcje są definiowane w kategoriach infimum i supremum , aby pochodne Diniego były jak najbardziej „kuloodporne”, tak aby pochodne Diniego były dobrze zdefiniowane dla prawie wszystkich funkcji, nawet dla funkcji, które nie są konwencjonalnie różniczkowalne. Wynikiem analizy Diniego jest to, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie t na prostej rzeczywistej ( ℝ ), tylko wtedy, gdy istnieją wszystkie pochodne Diniego i mają tę samą wartość.

• Czasami używa się notacji D ⁺ f ( t ) zamiast f ′ + ( t ) i D _- f ( t ) zamiast f ′ - ( t ) .
• Również,

${\ Displaystyle D ^ {+} f (t) = \ limsup _ {h \ do {0+}}} \frac {f(t+h)-f(t)}{h}}}$

I

${\ Displaystyle D_ {-} f (t) = \ liminf _ {h \ do {0+}} {\ frac {f(t)-f(th)}{h}}}$ .

• Tak więc, używając notacji D pochodnych Diniego, znak plus lub minus wskazuje granicę lewą lub prawą, a umieszczenie znaku wskazuje granicę dolną lub najwyższą .

• Istnieją dwie dalsze pochodne Diniego, zdefiniowane jako

${\ Displaystyle D_ {+} f (t) = \ liminf _ { h\do {0+}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}}$

I

${\ Displaystyle D ^ {-} f (t) = \ limsup _ {h \ do {0+}}} \frac {f(t)-f(th)}{h}}}$ .

które są takie same jak pierwsza para, ale z odwróconymi supremum i infimum . Tylko w przypadku średnio źle zachowujących się funkcji dwie dodatkowe pochodne Diniego nie są potrzebne. W przypadku szczególnie źle zachowanych funkcji, jeśli wszystkie cztery pochodne Diniego mają tę samą wartość ( ${\ Displaystyle D ^ {+ }f(t)=D_{+}f(t)=D^{-}f(t)=D_{-}f(t)} ) to funkcja f jest różniczkowalna w zwykłym$ sensie w punkcie t .

• Na rozszerzonych liczbach rzeczywistych zawsze istnieje każda z pochodnych Diniego; jednak czasami mogą przyjmować wartości +∞ lub −∞ (tj. pochodne Diniego zawsze istnieją w sensie rozszerzonym ).

Zobacz też

• Twierdzenie Denjoya-Younga-Saksa - Twierdzenie matematyczne o pochodnych Diniego
• Pochodna (uogólnienia) - Fundamentalna konstrukcja rachunku różniczkowego Strony wyświetlające krótkie opisy celów przekierowania
• Półróżniczkowalność

• Łukaszenko, TP (2001) [1994], „pochodna Diniego” , Encyklopedia matematyki , EMS Press .
•   Royden, HL (1968). Analiza rzeczywista (wyd. 2). MacMillana. ISBN 978-0-02-404150-0 .
•   Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B.; Bruckner, Andrew M. (2008). Elementarna analiza rzeczywista . ClassicalRealAnalysis.com [pierwsze wydanie opublikowane przez Prentice Hall w 2001 r.]. s. 301–302. ISBN 978-1-4348-4161-2 .

Ten artykuł zawiera materiał z pochodnej Dini na PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution/Share-Alike License .