Półróżniczkowalność

W rachunku różniczkowym , gałęzi matematyki , pojęcia jednostronnej różniczkowalności i półróżniczkowalności funkcji f zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych są słabsze niż różniczkowalność . W szczególności mówi się , że funkcja f jest różniczkowalna w prawo w punkcie a , jeśli, z grubsza mówiąc, pochodną można zdefiniować, gdy argument funkcji x przesuwa się do od prawej, a różniczkowalna w lewo w a , jeśli pochodna może być zdefiniowana jako x przesuwa się do a z lewej strony.

Sprawa jednowymiarowa

Ta funkcja nie ma pochodnej w zaznaczonym punkcie, ponieważ nie jest tam ciągła . Jednak $\partial _{+}f(a)$ prawą pochodną we wszystkich punktach, przy

W matematyce pochodna lewa i prawa pochodna są pochodnymi (szybkościami zmian funkcji) zdefiniowanymi dla ruchu tylko w jednym kierunku (w lewo lub w prawo, to znaczy do niższych lub wyższych wartości) przez argument funkcji.

Definicje

Niech f oznacza funkcję o wartościach rzeczywistych zdefiniowaną na podzbiorze I liczb rzeczywistych.

  Jeśli a ∈ I jest punktem granicznym I ∩ [ a ,∞) i jednostronną granicą

${\ Displaystyle \ częściowe _ {+} f (a): = \ lim _ {\ scriptstyle x \to a^{+} \na szczycie \scriptstyle x\in I}{\frac {f(x)-f(a)}{xa}}}$

istnieje jako liczba rzeczywista, to f nazywamy różniczkowalną w prawo w punkcie a , a granicę ∂ ₊ f ( a ) nazywamy pochodną prawostronną f w punkcie a .

  Jeśli a ∈ I jest punktem granicznym I ∩ (–∞, a ] i jednostronną granicą

${\ Displaystyle \ częściowe _ {-} f (a): = \ lim _ {\ scriptstyle x \to a^{-} \na szczycie \scriptstyle x\in I}{\frac {f(x)-f(a)}{xa}}}$

istnieje jako liczba rzeczywista, to f nazywamy różniczkowalną w lewo w a , a granicę ∂ _– f ( a ) nazywamy lewą pochodną f w a .

  Jeśli a ∈ I jest punktem granicznym I ∩ [ a ,∞) i I ∩ (–∞, a ] i jeśli f jest różniczkowalna w lewo i w prawo w a , to f nazywamy półróżniczkowalną w a .

Jeśli lewa i prawa pochodna są równe, to mają taką samą wartość jak zwykła („dwukierunkowa”) pochodna. Można również zdefiniować pochodną symetryczną , która jest równa średniej arytmetycznej lewej i prawej pochodnej (gdy obie istnieją), więc pochodna symetryczna może istnieć, gdy zwykła pochodna nie istnieje.

Uwagi i przykłady

• Funkcja jest różniczkowalna w punkcie wewnętrznym a swojej dziedziny wtedy i tylko wtedy, gdy jest częściowo różniczkowalna w a i lewa pochodna jest równa prawej pochodnej.
• Przykładem funkcji półróżniczkowalnej, która nie jest różniczkowalna, jest funkcja wartości bezwzględnej ${\ Displaystyle f (x) = | x |}$ , w a = 0. Łatwo znajdujemy ${\ Displaystyle \ częściowe _ {-} f (0 )=-1,\częściowo _{+}f(0)=1.}$
• Jeśli funkcja jest półróżniczkowalna w punkcie a , oznacza to, że jest ciągła w punkcie a .
• Funkcja wskaźnika 1 _{[0, ∞)} jest różniczkowalna w prawo przy każdym rzeczywistym a , ale nieciągła przy zerze (należy zauważyć, że ta funkcja wskaźnika nie jest różniczkowalna w lewo przy zerze).

Aplikacja

f , o wartościach rzeczywistych , zdefiniowana w przedziale I prostej rzeczywistej, ma wszędzie pochodną zerową, to jest stała, jak pokazuje zastosowanie twierdzenia o wartości średniej . Założenie o różniczkowalności można osłabić do ciągłości i jednostronnej różniczkowalności f . Wersja dla funkcji różniczkowalnych w prawo jest podana poniżej, wersja dla funkcji różniczkowalnych w lewo jest analogiczna.

Twierdzenie — Niech f będzie ciągłą funkcją o wartościach rzeczywistych , zdefiniowaną na dowolnym przedziale I prostej rzeczywistej. Jeśli f jest różniczkowalna w prawo w każdym punkcie a ∈ I , który nie jest supremumem przedziału i jeśli ta pochodna w prawo jest zawsze równa zeru, to f jest stała .

Dowód

Dla dowodu przez sprzeczność załóżmy, że istnieje a < b w I takie, że f ( a ) ≠ f ( b ) . Następnie

${\ Displaystyle \ varepsilon: = {\ Frac {| f (b) -f (a) |} {2 (ba)}}> 0.}$

Zdefiniuj c jako infimum wszystkich tych x w przedziale ( a , b ] dla których iloraz różnicowy f przekracza ε w wartości bezwzględnej, tj.

$\ Displaystyle c = \ inf \ {\, x \ in (a, b ]\mid |f(x)-f(a)|>\varepsilon (xa)\,\}.}$

Z ciągłości f wynika, że ​​c < b i | fa ( do ) – fa ( za ) | = ε ( do – za ) . W c prawa pochodna f wynosi zero z założenia, stąd istnieje d w przedziale ( c , b ] gdzie | f ( x ) – f ( c ) | ≤ ε ( x – c ) dla wszystkich x w ( c , d ] Stąd, przez nierówność trójkąta ,

${\ Displaystyle | f (x) -f (a) | \ równoważnik | f (x) -f (c) | + | f (c) -f (a) | \ równoważnik \ varepsilon (xa)}$

dla wszystkich x w [ c , d ) , co jest sprzeczne z definicją c .

Operatory różniczkowe działające w lewo lub w prawo

Innym powszechnym zastosowaniem jest opisywanie pochodnych traktowanych jako operatory binarne w notacji infiksowej , w której pochodne mają być stosowane do lewego lub prawego operandu . Jest to przydatne na przykład podczas definiowania uogólnień nawiasu Poissona . Dla pary funkcji f i g lewa i prawa pochodna są odpowiednio zdefiniowane jako

${\ Displaystyle f {\ stackrel {\ strzałka w lewo} {\ częściowe}} _ {x} g = {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} \ cdot sol}$

${\ Displaystyle f {\ stackrel {\ rightarrow} {\ częściowe}} _ {x} g = f \ cdot {\ Frac {\ częściowe g} {\ częściowe x}}.}$

W notacji nawiasowej operator pochodnej może działać na prawym argumencie jako pochodna regularna lub po lewej stronie jako pochodna ujemna.

Obudowa o wyższych wymiarach

^{Powyższą definicję można uogólnić na funkcje} f o wartościach rzeczywistych zdefiniowane na podzbiorach Rn przy użyciu słabszej wersji pochodnej kierunkowej . Niech a będzie punktem wewnętrznym dziedziny f . Wtedy f nazywamy półróżniczkowalną w punkcie a jeśli dla każdego kierunku u ∈ R ⁿ granica

${\ Displaystyle \ częściowy _ {u} f (a) = \ lim _ {h \ do 0 ^ {+} }{\frac {f(a+h\,u)-f(a)}{h}}}$

gdzie $rzeczywista$ jako liczba

Półróżniczkowalność jest zatem słabsza niż różniczkowalność Gateaux , dla której przyjmuje się granicę powyżej h → 0 bez ograniczania h tylko do wartości dodatnich.

$_$ funkcja _ ${\ Displaystyle (0,0)}$ , ale nie jest tam różniczkowalna Gateaux. Rzeczywiście, ${\ Displaystyle f (hx, hy) = | h | f(x,y){\text{ i dla }}h\geq 0,f(hx,hy)=hf(x,y),f(hx,hy)/h=f(x,y)}$ gdzie ${\ Displaystyle a = 0, u = (x, y), \ częściowe _ {u} f (0) = f (x, y)$

(Zauważ, że to uogólnienie nie jest równoważne z pierwotną definicją dla n = 1 , ponieważ koncepcja jednostronnych punktów granicznych została zastąpiona silniejszą koncepcją punktów wewnętrznych).

Nieruchomości

• Każda funkcja wypukła na wypukłym otwartym podzbiorze R n ^jest częściowo różniczkowalna.
• Podczas gdy każda półróżniczkowalna funkcja jednej zmiennej jest ciągła; nie jest to już prawdą dla kilku zmiennych.

Uogólnienie

Zamiast funkcji o wartościach rzeczywistych można rozważyć funkcje przyjmujące wartości w R ⁿ lub w przestrzeni Banacha .

Zobacz też

• Pochodna
• Kierunkowa pochodna
• Pochodna częściowa
• Gradient
• Pochodna Gateaux
• Pochodna Frécheta
• Pochodna (uogólnienia)
• Formuła przestrzeni fazowej # Produkt gwiezdny
• Pochodne Diniego

•   Preda, V.; Chiţescu, I. (1999). „Kwalifikacja ograniczeń w problemach optymalizacji wielokryterialnej: przypadek półróżnicowy”. J. Optim. aplikacja teoretyczna . 100 (2): 417–433. doi : 10.1023/A:1021794505701 . S2CID 119868047 .