Podstawa Żanety

W matematyce podstawa Janeta jest postacią normalną dla układów liniowych jednorodnych równań różniczkowych cząstkowych (PDE), która usuwa nieodłączną arbitralność każdego takiego układu. Został wprowadzony w 1920 roku przez Maurice'a Janet'a . Po raz pierwszy została nazwana podstawą Janet przez Fritza Schwarza w 1998 roku.

Lewe strony takich układów równań można uważać za wielomiany różniczkowe pierścienia, a postać normalną Janet za szczególną podstawę ideału, który generują. Przez nadużycie językowe ta terminologia będzie stosowana zarówno do oryginalnego systemu, jak i do ideału wielomianów różniczkowych generowanych przez lewe strony. Baza Janet jest poprzedniczką bazy Gröbnera wprowadzonej przez Bruno Buchbergera dla ideałów wielomianowych. Aby wygenerować bazę Janet dla dowolnego systemu liniowych PDE, należy podać ranking jego pochodnych; wtedy odpowiednia baza Janet jest niepowtarzalna. Jeśli system liniowych PDE jest podany na podstawie Janeta, jego wymiar różniczkowy można łatwo określić; jest miarą stopnia nieokreśloności jego ogólnego rozwiązania. Aby wygenerować rozkład Loewy'ego systemu liniowych PDE, należy najpierw określić jego bazę Janet.

Generowanie bazy Janet

Każdy system liniowych jednorodnych PDE jest wysoce nieunikalny, np. dowolna liniowa kombinacja jego elementów może być dodana do systemu bez zmiany jego zbioru rozwiązań. A priori nie wiadomo, czy ma jakieś rozwiązania nietrywialne. Mówiąc bardziej ogólnie, nie jest znany stopień dowolności jego rozwiązania ogólnego, tj. ile może zawierać nieokreślonych stałych lub funkcji. Te pytania były punktem wyjścia pracy Janet; rozważył układy liniowych PDE w dowolnej liczbie zmiennych zależnych i niezależnych i wygenerował dla nich postać normalną. Tutaj głównie liniowe PDE w płaszczyźnie o współrzędnych ${\ displaystyle x}$ i $zostaną$ ; liczba nieznanych funkcji wynosi jeden lub dwa. Większość opisanych tutaj wyników można w oczywisty sposób uogólnić na dowolną liczbę zmiennych lub funkcji. Aby wygenerować jednoznaczną reprezentację dla danego układu liniowych PDE, należy najpierw zdefiniować ranking jego pochodnych.

Definicja : Ranking pochodnych to całkowite uporządkowanie takie, że dla dowolnych dwóch pochodnych , $Displaystyle$$\ delta _ {1}}$ δ $\ Displaystyle \ delta _ {2}$ } i dowolny operator wyprowadzenia relacje $Displaystyle \ delta \ równoważnik$$teta \ delta}$ i $_$ _

Pochodna jest nazywana wyższą niż ${\ Displaystyle \ delta _ {1}}$$_ { 1}}$$2$ > . Najwyższa pochodna równania nazywana jest pochodną wiodącą . Dla pochodnych do rzędu dwóch pojedynczej funkcji $y}$$zależności$ i $displaystyle$ { \ z dwiema możliwymi kolejnościami są ${\ displaystyle x> y}$

kolejność LEX ${\ Displaystyle z_ {xx}> z_ {xy}> z_ {x}> z_ {yy}> z_ {y}> z}$ i porządek GRLEX ${\ Displaystyle z_ {xx}> z_ {xy}> z_ {yy}> z_ {x}> z_ {y}> z}$ .

Tutaj zwykły zapis ${\ Displaystyle \ częściowe _ {x} z = z_ {x}, \ częściowe _ {y} z = z_ {y}, \ ldots }$ jest używany. Jeśli liczba funkcji jest większa niż jeden, uporządkowania te należy odpowiednio uogólnić, np. można zastosować uporządkowania $} .$ T P $TOP$ Pierwszą podstawową operacją, którą należy zastosować przy generowaniu bazy Janet, jest redukcja równania mi $\ displaystyle e_ {1}}$ wrt innym mi $\ displaystyle e_ {2}}$ . W języku potocznym oznacza to, co następuje: Ilekroć można otrzymać pochodną $2$$\ displaystyle e_ {2}}$ to różnicowanie jest wykonywane, a mi wynik jest odejmowany od ${\ displaystyle e_ {1}}$ . Redukcja w systemie PDE oznacza redukcję wszystkich elementów systemu. System liniowych PDE nazywa się autoredukowanym , jeśli wykonano wszystkie możliwe redukcje.

Drugą podstawową operacją generowania bazy Janet jest włączenie warunków całkowalności . Uzyskuje ${2}}$ je w następujący sposób: Jeśli dwa równania $e_$ \ są takie, że przez odpowiednie zróżnicowanie można otrzymać dwa nowe równania z podobnymi wiodącymi pochodnymi, przez krzyżowe mnożąc jego wiodące współczynniki i odejmując otrzymane równania otrzymujemy nowe równanie, zwane warunkiem całkowalności. Jeżeli przez redukcję nie zniknie pozostałe równania układu, to zostaje włączone jako nowe równanie do układu.

Można pokazać, że powtarzanie tych operacji zawsze kończy się po skończonej liczbie kroków z jednoznaczną odpowiedzią, którą dla systemu wejściowego nazywamy bazą Janeta. Janet zorganizowała je według następującego algorytmu.

$_$ Janet system Janeta $zwracany$ .

S1: ( Autoredukcja ) Przypisz ${\ Displaystyle S: = \ operatorname {Autoredukcja} (S)}$

S2: ( Zakończenie ) Przypisz ${\ Displaystyle S: = \ nazwa operatora {CompleteSystem} (S)}$

S3: ( Warunki całkowalności ) Znajdź wszystkie pary terminów wiodących ${\ displaystyle v_ {i}}$ z ${\ displaystyle e_ {i}}$ i ${\ displaystyle v_ {j}}$ z $\ displaystyle e_ {j}}$ niemnożnikiem i $jot$${\ Displaystyle x_ {j_ {1}}, \ ldots, x_ {j_ {l}}}$ prowadzi do

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe v_ {i}} {\ częściowe x_ { i_{k}}}}={\frac {\częściowy ^{p_{1}+\cdots +p_{l}}v_{j}}{\częściowy x_{j_{1}}^{p_{1} }\cdots \częściowe x_{j_{l}}^{p_{l}}}}}$$

i określić warunki całkowalności

$${\ Displaystyle c_ {i, j} = \ nazwa operatora {Lcoef} (e_ {j}) \ cdot {\ Frac {\ częściowe e_ {i}}} {\ częściowe x_ {i_ {k}}}} - \ nazwa operatora { Lcoef} (e_{i})\cdot {\frac {\częściowe ^{p_{1}+\cdots +p_{l}}e_{j}}{\częściowe x_{j_{1}}^{p_{ 1}}\cdots \częściowe x_{j_{l}}^{p_{l}}}}}$$

S4: ( Redukcja warunków całkowalności ). do ${\ Displaystyle c_ {i, j}}$ przypisz do $, j}: = \ operatorname {Zmniejsz} ( c_ {i, j}, S)}$

S5: ( Zakończenie? ) Jeśli wszystkie do $\ displaystyle c_ {i, j}}$ są zerowe powrót ${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle S: = S \ puchar \ {c_ {i, j} \ mid c_ {$ jot ∣ do ja , , reorder $S$ properly and goto S1

Tutaj $Autoreduce }$$Displaystyle$ argument ze wszystkimi możliwymi redukcjami, . w celu ułatwienia określenia warunków całkowalności. W tym celu zmienne dzielą się na mnożniki i niemnożniki ; szczegóły można znaleźć w powyższych odnośnikach. Po pomyślnym zakończeniu baza Janet dla systemu wejściowego zostanie zwrócona.

Przykład 1 : Niech system

$${\ Displaystyle \ lewo \ {e_ {1} \ równoważne z_{xy}-{\frac {x^{2}}{y^{2}}}z_{x}-{\frac {xy}{y^{2}}}z=0,e_{2 }\równoważnik z_{x}+{\frac {1}{x}}z_{y}+xz=0\prawo\}}$$

być podane przy zamawianiu GRLEX i ${\ displaystyle x> y}$ . Krok S1 zwraca system autoredukcji

${\ Displaystyle \ lewo \ {e_ {3} \ równoważnik z_ {yy} + {\ Frac {1} {y ^ {2}}} (xy ^ {3} -x ^ {2} -y) z_ {y }-{\frac {1}{y}}(x^{3}-x+y)z=0,e_{2}=z_{x}+{\frac{1}{y}}z_{y }+xz=0\prawo\}.}$

Kroki S3 i S4 generują warunek całkowalności ${\ Displaystyle c_ {3,2} \ equiv {\ Frac {\ częściowe e_ {3}} {\ częściowe x}} - {\ frac {\ częściowe ^ {2} e_ {2}} {\ częściowe y ^ {2}}}}$ i redukuje je do ${\ displaystyle z = 0}$ , tj. podstawy Janet dla pierwotnie podany system to ${\ Displaystyle \ {z = 0 \}}$ z trywialnym rozwiązaniem ${\ displaystyle z = 0}$ .

Następny przykład obejmuje dwie nieznane funkcje $}$$obie$$y$ od $y$ { displaystyle .

Przykład 2 : Rozważ system

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Duży \ {} & f_ {1} \ równoważnik w_ {xx} -2z_ {xy} - {\ Frac {1} {2x}} w_ {x} + {\ Frac { 1}{2x^{2}}}w=0,f_{2}\równoważnik w_{xy}-{\frac {1}{2}}z_{yy}-{\frac {1}{2x}} w_{y}-6x^{2}z_{x},\\[5pt]&f_{3}\równoważnik w_{yy}+4x^{2}w_{x}-8x^{2}z_{y} -8xw=0,f_{4}\równoważnik z_{xx}+{\frac {1}{2x}}z_{x}=0{\duży \}}\end{wyrównane}}}$

w GRLEX, zamawianie ${\ Displaystyle w> z, x> y} .$ System jest już autoredukowany, tzn. krok S1 zwraca go bez zmian. Krok S3 generuje dwa warunki całkowalności

${\ Displaystyle c_ {1,2} \ equiv {\ Frac {\ częściowe f_ {1}} {\ częściowe y}} - {\ Frac {\ częściowe f_ {2}} {\ częściowe x}} {\ tekst { i }}c_{2,3}\equiv {\frac {\częściowe f_{2}}{\częściowe y}}-{\frac {\częściowe f_{3}}{\częściowe x}}.}$

Po redukcji w etapie S4 są

${\ Displaystyle c_ {1, 2}=z_{xyy}-6xz_{x}=0,c_{2,3}=z_{rrrr}+3x^{2}z_{xy}-24xz_{y}-12w=0.}$

W kroku S5 są one włączane do systemu i algorytmy rozpoczynają ponownie od kroku S1 z systemem rozszerzonym. Po kilku kolejnych iteracjach w końcu baza Janet

$${\ Displaystyle \ lewo \ {z_ {y} + {\ Frac {1} {2x}} w = 0,z_{x}=0,w_{y}=0,w_{x}-{\frac {1}{x}}w=0\right\}}$$

jest uzyskiwany. $_$ rozwiązanie _ ${\ Displaystyle C_ {1}}$ i ${\ Displaystyle C_ {2}}$ .

Zastosowanie zasad Janet

Najważniejszym zastosowaniem podstawy Janeta jest jej użycie do decydowania o stopniu nieokreśloności układu liniowych jednorodnych równań różniczkowych cząstkowych. Odpowiedź w powyższym przykładzie 1 jest taka, że ​​rozważany system dopuszcza tylko trywialne rozwiązanie. W drugim Przykładzie 2 otrzymujemy dwuwymiarową przestrzeń rozwiązań. Ogólnie rzecz biorąc, odpowiedź może być bardziej skomplikowana, w ogólnym rozwiązaniu może być nieskończenie wiele stałych swobodnych; można je uzyskać z rozkładu Loewy'ego odpowiedniej bazy Janet. Ponadto baza Janet modułu umożliwia odczytanie bazy Janet dla modułu syzygy.

Algorytm Janet został zaimplementowany w Maple.

Linki zewnętrzne

• www.alltypes.de – Implementacja bazy Janet