Loewy rozkład

W badaniu równań różniczkowych rozkład Loewy'ego rozbija każde liniowe równanie różniczkowe zwyczajne (ODE) na tak zwane największe całkowicie redukowalne składniki. Został wprowadzony przez Alfreda Loewy'ego .

Rozwiązywanie równań różniczkowych jest jedną z najważniejszych dziedzin matematyki . Szczególnie interesujące są rozwiązania w formie zamkniętej . Rozbicie ODE na największe nieredukowalne komponenty redukuje proces rozwiązywania pierwotnego równania do rozwiązywania nieredukowalnych równań najniższego możliwego rzędu. Ta procedura jest algorytmiczna , więc gwarantowana jest najlepsza możliwa odpowiedź dla rozwiązania równania redukowalnego. Szczegółową dyskusję można znaleźć m.in.

Wyniki Loewy'ego zostały rozszerzone na liniowe równania różniczkowe cząstkowe (PDE) w dwóch zmiennych niezależnych. W ten sposób dostępne stały się algorytmiczne metody rozwiązywania dużych klas liniowych PDE.

Rozkład równań różniczkowych zwyczajnych liniowych

Niech $\ textstyle D \ equiv {\ Frac {d} {dx}}}$ oznacza pochodną względem zmiennej ${\ displaystyle x}$ . Operator różniczkowy rzędu jest wielomianem postaci $_$

$${\ Displaystyle L \ równoważnik D ^ {n} + a_ {1} D ^ {n-1} + \ cdots + a_ {n-1}D+a_{n}}$$

gdzie współczynniki $}$ z jakiegoś funkcyjnego pola $L$$_$ _ Zwykle jest to pole funkcji wymiernych w zmiennej $x$ tj. ${\ Displaystyle a_ {i} \ in \ mathbb {Q} (x)$ . jeśli ${\ Displaystyle y}$ jest nieokreślony z , ${\ Displaystyle Ly} staje się$$y$ różniczkowym $} displaystyle Ly=0}$ to równanie różniczkowe odpowiadające ${\ displaystyle L}$ .

Operator rzędu ${\ displaystyle$$n}$ nazywany jest redukowalnym , jeśli można go przedstawić jako iloczyn dwóch operatorów i $L_ {1}}$ i ${\ displaystyle L_ {2} }$ , oba rzędu niższego niż ${\ displaystyle n}$ . Następnie $. zestawienie$ się , tj iloczyn operatora $\ Displaystyle Da_ {i} = a_ {i} D + a_ {i} '}$ ; ${\ Displaystyle L_ {1}}$ nazywany jest lewym czynnikiem ${\ Displaystyle L}$ , ${\ Displaystyle L_ {2}}$ prawym czynnikiem. przyjmuje się, że dziedziną współczynników czynników jest pole podstawowe , prawdopodobnie rozszerzone o pewne liczby algebraiczne , tj. ${\ displaystyle L$${\ Displaystyle {\ bar {\ mathbb {Q}}} (x)}$ jest dozwolone. Jeśli operator nie dopuszcza żadnego właściwego czynnika, nazywa się to nieredukowalnym .

Dla dowolnych dwóch operatorów ${\ Displaystyle \ operatorname {Lclm} (L_ { 1}, L_ {2})}$ L $\ Displaystyle L_ {2}$$najmniej$ wspólna lewa wielokrotność ${2}}$ operatorem najniższego rzędu, takim, że zarówno jak { $L_$ dzielą go od prawej strony. Największy wspólny prawy dzielnik ${\ Displaystyle \ operatorname {Gcrd} (L_ {1}, L_ {2})}$ jest operatorem najwyższego rzędu, który dzieli zarówno ${\ Displaystyle L_ {1}}$ jak i ${\ displaystyle L_ {2}}$ od prawej. Jeśli operator może być reprezentowany jako $operatorów$ , nazywa się go całkowicie redukowalnym . Z definicji operator nieredukowalny nazywany jest całkowicie redukowalnym.

Jeśli operator nie jest całkowicie redukowalny, jego nieredukowalnych właściwych $czynników$ jest dzielony i ta sama procedura jest powtarzana ilorazem . Ze względu na obniżanie rzędu w każdym kroku, postępowanie to kończy się po skończonej liczbie iteracji i uzyskaniu pożądanego rozkładu. Na podstawie tych rozważań Loewy uzyskał następujący fundamentalny wynik.

Twierdzenie 1 (Loewy 1906) - Niech $\ textstyle D = {\ Frac {d} {dx}}}$ będzie pochodną i ${\ Displaystyle a_ {i} \ in \ mathbb {Q} (x)}$ . Operator różniczkowy

$${\ Displaystyle L \ równoważnik D ^ {n} + a_ {1} D ^ {n-1} + \ cdots + a_ {n-1}D+a_{n}}$$

rzędu ${\ displaystyle n} można zapisać$$jednoznacznie$ jako iloczyn całkowicie redukowalnych czynników maksymalnego rzędu $})}}$$d_ {k}}$ nad ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (x)}$ w formie

$${\ Displaystyle L = L_ {m} ^ {(d_ {m})} L_ {m-1} ^ {(d_{m-1})}\ldots L_{1}^{(d_{1})}}$$

z ${\ Displaystyle d_ {1} + \ ldots + d_ {m} = n}$ . Czynniki są unikalne. ${\ Displaystyle L_ {k} ^ {(d_ {k})}}$$} ^ {(d_ {k})}}$ re , ${\ Displaystyle k = 1, \ ldots, m}$ można zapisać jako

$${\ Displaystyle L_ {k} ^ {(d_ {k} )}=\operatorname {Lclm} \left(l_{j_{1}}^{(e_{1})},l_{j_{2}}^{(e_{2})},\ldots,l_{ j_{k}}^{(e_{k})}\prawo)}$$

mi ${\ Displaystyle e_ {1} + e_ {2} + \ kropki + e_ {k} = d_ {k}$ ; ${\ Displaystyle l_ {j_ {i}} ^ {(e_ {i})}}$ dla ${\ Displaystyle i = 1, \ ldots, k}$ oznacza nieredukowalny operator rzędu nad ${\ displaystyle e_ {i}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (x)}$ .

Rozkład określony w $twierdzeniu$ nazywany jest rozkładem Loewy'ego . Zawiera szczegółowy opis przestrzeni funkcyjnej zawierającej rozwiązanie redukowalnego liniowego równania różniczkowego ${\ displaystyle Ly = 0}$ .

Dla operatorów ustalonego rzędu możliwe dekompozycje Loewy'ego, różniące się liczbą i kolejnością czynników, mogą być wymienione jawnie; niektóre czynniki mogą zawierać parametry. Każda alternatywa jest nazywana rodzajem dekompozycji Loewy'ego . Pełna odpowiedź na ${\ displaystyle n = 2}$ jest szczegółowo opisana w następującym wniosku do powyższego twierdzenia.

Wniosek 1 Niech $.$ operatorem drugiego rzędu Jego możliwe rozkłady Loewy'ego są oznaczone przez ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {0} ^ {2}, \ ldots, {\ mathcal {L}} _ {3} ^ { 2}}$ , można je opisać następująco; ${\ Displaystyle l ^ {(i)}}$ i ${\ Displaystyle l_ {j} ^ {(i)}}$ są nieredukowalnymi operatorami rzędu ${\ Displaystyle ja}$ ; do {\ displaystyle $}$ jest stałą.

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i {\ mathcal {L}} _ {1} ^ {2}: L = l_ {2} ^ {(1)} l_ {1} ^ {(1)}; \ \&{\mathcal {L}}_{2}^{2}:L=\nazwa operatora {Lclm} \left(l_{2}^{(1)},l_{1}^{(1)}\ prawo);\\&{\mathcal {L}}_{3}^{2}:L=\operatorname {Lclm} \left(l^{(1)}(C)\right).\end{wyrównane }}}$$

$.$ operatora to $z$ najwyższą Nieredukowalny operator drugiego rzędu ma typ rozkładu. ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {0} ^ {2}}$ .

Rozkłady ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {0} ^ {2}}$ , ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {2} ^ {2}}$ i ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {3} ^ {2}}$ są całkowicie redukowalne.

Jeśli rozkład typu ma ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {i} ^ {2}}$ , ja $\ Displaystyle i = 1,2}$ lub ${\ Displaystyle 3}$ uzyskano dla równania drugiego rzędu $.$ można podać jawnie

$re$ 2 Niech będzie operatorem różniczkowym drugiego rzędu, $\ textstyle D \ equiv {\ Frac {d} {dx}}}$ , ${\ displaystyle y}$ różniczkowym nieokreślonym, ${\ Displaystyle a_ {i} \ in \ mathbb {Q} (x)}$ za . Zdefiniuj ${\ textstyle \ varepsilon _ {i} (x) \ równoważnik \ exp {\ lewo (- \ int a_ {i} \, dx \ prawo)}} dla ja = 1 , 2$ { $, 2}$ i ${\ textstyle \ varepsilon (x, C) \ równoważnik \ exp {\ lewo (- \ int a (C) \,$ , do {\ displaystyle $}$ jest parametrem ; do $\ Displaystyle {\ bar {C}}}$ i ${\ Displaystyle {\ bar {\ bar {C}}}}$ są dowolnymi liczbami, ${\ displaystyle {\ bar {C}}\neq {\bar {\bar {C}}}}$ . Dla trzech nietrywialnych dekompozycji Wniosku 1 $się$$i$ systemu .

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {1} ^ {2}: Ly = (D + a_ {2}) (D + a_ {1}) y = 0;}$$

$${\ Displaystyle y_ {1} = \ varepsilon _ {1} (x), \ quad y_ {2} = \ varepsilon _ {1} (x) \ int {\ Frac {\ varepsilon _ {2} (x)} {\varepsilon_{1}(x)}}\,dx.}$$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {2} ^ {2}: Ly = \ operatorname {Lclm} (D + a_ {2}, D + a_ {1}) y = 0;}$$

$${\ Displaystyle y_ {i} = \ varepsilon _ {i} (x);}$$

${\ displaystyle a_ {1}}$${\ displaystyle a_ {2}}$ jest równoważne z .

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {3} ^ {2}: Ly = \ nazwa operatora {Lclm} (D + a (C)) y = 0;}$$

$${\ Displaystyle y_ {1} = \ varepsilon (x, {\ bar {C}})}$$

$${\ Displaystyle y_ {2} = \ varepsilon (x, {\ bar {\ bar {C}}}).}$$

$)$ funkcje wymierne nazywane są równoważnymi istnieje inna funkcja wymierna $\ Displaystyle p, q \ in \ mathbb {Q} ($ takie, że

$${\ Displaystyle pq = {\ Frac {r'} {r}}.}$$

Pozostaje pytanie, jak uzyskać rozkład na czynniki dla danego równania lub operatora. Okazuje się, że dla znalezienia ody liniowej czynniki sprowadzają się do określenia racjonalnych rozwiązań równań Riccatiego lub ody liniowej; oba można określić algorytmicznie. Dwa poniższe przykłady pokazują, w jaki sposób stosuje się powyższy wniosek.

Przykład 1 Równanie 2.201 ze zbioru Kamkego. ma rozkład ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {2} ^ {2}}$

$${\ Displaystyle y'' + \ lewo (2 + {\ Frac {1} {x}} \ prawej) y' - {\ Frac {4} {x ^ {2}}} y = \ nazwa operatora {Lclm } \left(D+{\frac {2}{x}}-{\frac {2x-2}{x^{2}-2x+{\frac {3}{2}}}},D+2+{ \frac {2}{x}}-{\frac {1}{x+{\frac {3}{2}}}}\right)y=0.}$$

Współczynniki ${\ textstyle a_ {1} = 2 + {\ Frac {2} {x}} - {\ Frac {1} {x + {\ Frac {3} {2}}}}}$ i ${\ textstyle a_ {2} = {\ Frac {2} {x}} - {\ Frac {2x -2}{x^{2}-2x+{\frac {3}{2}}}}}$ to wymierne rozwiązania równania Riccatiego ${\ textstyle a'-a ^ {2} + \ lewo (2 + {\ Frac {1} {x}} \ prawo) + {\ Frac { 4}{x^{2}}}=0}$ dają podstawowy system

$${\ Displaystyle y_ {1} = {\ Frac {2} {3}} - {\ Frac {4} {3x}} + {\ Frac {1} {x^{2}}},}$$

$${\ Displaystyle y_ {2} = {\ Frac {2} {x}} + {\ Frac {3} {x ^ {2}}} e ^ {-2x}.}$$

Przykład 2 Równanie z rozkładem typu ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {3} ^ {2}}$

$${\ Displaystyle y'' - {\ Frac {6} {x ^ {2}}} y =\operatorname {Lclm} \left(D+{\frac {2}{x}}-{\frac {5x^{4}}{x^{5}+C}}\right)y=0.}$$

Współczynnik czynnika pierwszego rzędu jest racjonalnym rozwiązaniem za $^ {2}}} = 0}$ . Po integracji system podstawowy ${\ textstyle y_ {1} = x ^ {3}}$ i ${\ textstyle y_ {2} = {\ frac {1} {x ^ {2} }}}}$ dla do $\ displaystyle C = 0}$ i odpowiednio uzyskuje się ${\ displaystyle C \ do \ infty} .$

Wyniki te pokazują, że faktoryzacja zapewnia algorytmiczny schemat rozwiązywania redukowalnych odów liniowych. Ilekroć równanie rzędu 2 rozkłada się na czynniki zgodnie z jednym z typów zdefiniowanych powyżej, elementy systemu podstawowego są jawnie znane, tzn. faktoryzacja jest równoznaczna z jego rozwiązaniem.

Podobny schemat można zastosować dla liniowych odów dowolnego rzędu, chociaż liczba alternatyw znacznie rośnie wraz z porządkiem; dla zamówienia odpowiedź jest podana szczegółowo w. ${\ displaystyle n = 3}$

Jeśli równanie jest nierozkładalne, może się okazać, że jego grupa Galois jest nietrywialna, wtedy mogą istnieć rozwiązania algebraiczne. Jeśli grupa Galois jest trywialna, może być możliwe wyrażenie rozwiązań w postaci funkcji specjalnej, takiej jak np. funkcje Bessela lub Legendre'a , patrz lub.

Podstawowe fakty z algebry różniczkowej

Aby uogólnić wynik Loewy'ego na liniowe PDE, konieczne jest zastosowanie bardziej ogólnego ustawienia algebry różniczkowej . Dlatego poniżej podano kilka podstawowych pojęć, które są wymagane do tego celu.

Pole nazywane jest polem różniczkowym $,$ jeśli jest wyposażone w wyprowadzenia . Operator na polu $nazywany$$\ Displaystyle$ operatorem wyprowadzenia, jeśli $δ$ i ${\ Displaystyle \ delta (ab) = \ delta (a) b + a \ delta (b)}$ dla wszystkich elementów ${\ Displaystyle a,b\in {\mathcal {F}}}$ . Pole z pojedynczym operatorem wyprowadzenia jest nazywane zwykłym polem różniczkowym ; jeśli istnieje skończony zbiór zawierający kilka komutujących operatorów wyprowadzania, to pole nazywamy ciałem różniczkowym cząstkowym .

Tutaj operatory różniczkowe z pochodnymi ${\ textstyle \ częściowe _ {x} = {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe x}}}$ i ${\ textstyle \ częściowe _ {y }={\frac {\partial }{\partial y}}}$ ze współczynnikami z pewnego ciała różniczkowego są brane pod uwagę. Jej elementy mają postać ${\ textstyle \ suma _ {i, j} r_ {i, j} (x, y) \ częściowe _ {x} ^ {i} \ częściowe _ {y} ^ {j}}$ ; prawie $_$ . Pole współczynnika jest nazywane polem podstawowym . Jeśli głównym problemem są metody konstruktywne i algorytmiczne, to jest to ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (x, y)}$ . Odpowiedni pierścień operatorów różniczkowych jest oznaczony przez ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} = \ mathbb {Q} (x, y) [\ częściowe _ {x}, \ częściowe _ {y}]}$ lub ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} = {\ mathcal {F}} [\ częściowe _ {x}, \ częściowe _ {y}]}$ . Pierścień nieprzemienny, $za$${\textstyle \partial _{x}a=a\partial _{x}+{\frac {\partial a}{\partial x}}}$ i podobnie dla pozostałych zmiennych; ${\ displaystyle a}$ pochodzi z pola podstawowego.

Dla operatora ${\ textstyle L = \ suma _ {i + j \ równoważnik n} r_ {i, j} (x y) \ częściowe _ {x} ^ {i} \ częściowe _ {y} ^ {j}}$ rzędu ${\ displaystyle n}$ symbol L jest jednorodnym algebraicznym wielomianem ${j}}$${\ textstyle \ operatorname {symb} (L) \ równoważnik \ suma _ {i + j = n} r_ {i, j} (x, y) X$${\ displaystyle Y}$$^$ gdzie algebraiczne nieokreślone i

Niech ${\ displaystyle I}$ będzie lewym ideałem, który jest generowany przez ${\ displaystyle l_ {i} \ in {\ mathcal {D}}}$ , ${\ displaystyle i = 1 ,\lddots ,p}$ . Następnie pisze się ${\ Displaystyle I = \ langle l_ {1}, \ ldots, l_ {p} \ rangle}$ . Ponieważ właściwe ideały nie są tutaj brane pod uwagę, czasami ${\ Displaystyle I}$ nazywa się po prostu ideałem.

Relacja między lewymi ideałami w $systemami$ liniowych PDE jest ustalona w następujący sposób. Elementy $z$ stosowane do pojedynczej różnicy nieokreślonej $\$ . W ten sposób ideał odpowiada systemowi PDE ${\ Displaystyle I = \ l_ {1}, l_ {2}, \ ldots \ rangle$${\ Displaystyle l_ {1} z = 0}$ , ${\ Displaystyle l_ {2} z = 0, \ ldots}$ dla pojedynczej funkcji ${\ displaystyle z}$ .

Generatory ideału są wysoce nieunikalne; jego elementy można przekształcić na nieskończenie wiele sposobów, biorąc ich liniowe kombinacje lub ich pochodne bez zmiany ideału. Dlatego M. Janet wprowadził postać normalną dla układów liniowych PDE (patrz podstawa Janet ). Są różniczkowym analogiem do baz Gröbnera algebry przemiennej (które zostały pierwotnie wprowadzone przez Bruno Buchbergera ); dlatego są one czasami nazywane różniczkową podstawą Gröbnera .

Aby wygenerować bazę Janet, należy zdefiniować ranking instrumentów pochodnych. Jest to całkowite uporządkowanie takie, że dla dowolnych pochodnych ${\ Displaystyle \ delta _ {2}$ dowolnego operatora wyprowadzenia $} \ Displaystyle \ theta }$$Displaystyle$$\ delta _ {1}}$ i 2 relacje ${\ Displaystyle \ delta \ preceq \ theta \ delta}$ i $_$ _ Tutaj stosowane są stopniowane uporządkowania terminów leksykograficznych $\ displaystyle grlex} .$ Dla pochodnych cząstkowych pojedynczej funkcji ich definicja jest analogiczna do uporządkowania jednomianowego w algebrze przemiennej . Pary S w algebrze przemiennej odpowiadają warunkom całkowalności.

$zakres }}} .$$_$ generatory ideału podstawę $ja$${\ Displaystyle I = {{\ duży \ langle}} {\ duży \ langle}} l_ {1}, \ ldots, l_ {p} {{\ duży \ rangle}} {\ duży \$ stosowany jest

Przykład 3 Rozważ ideał

$${\ Displaystyle I = {\ Duży \ langle} l_ {1} \ równoważnik \ częściowy _ {xx} - {\ Frac {1} {x}} \ częściowy _ {x} - {\ Frac {y} {x ( x+y)}}\częściowe _{y},\;l_{2}\równoważnik \częściowe _{xy}+{\frac {1}{x+y}}\częściowe _{y},\;l_ {3}\equiv \partial _{yy}+{\frac {1}{x+y}}\partial _{y}{\Duży \rangle }}$$

sol ${\ displaystyle grlex}$ kolejność terminów z $succ y}$ . Jego generatory są automatycznie redukowane. Jeśli warunek całkowalności

$${\ Displaystyle l_ {1, y} = l_ {2,x}-l_{2,y}={\frac {y+2x}{x(x+y)}}\częściowa _{xy}+{\frac {y}{x(x+y) }}\częściowe _{yy}}$$

jest zmniejszona w stosunku do , otrzymuje się nowy generator $\ displaystyle \ częściowy _ {y}}$${$ Dodając go do generatorów i wykonując wszystkie możliwe redukcje, dany ideał jest reprezentowany jako ${\ textstyle I = \ lewo \ langle \ lewo \ langle \ częściowe _ {xx}-{\frac {1}{x}}\częściowy _{x},\częściowy _{y}\right\rangle \right\rangle }$ . Jego generatory są autoredukowane i spełniony jest pojedynczy warunek całkowalności, tzn. tworzą bazę Janet.

$,$ ideał może się okazać, że jest on właściwie zawarty w jakimś większym ideale $współczynnikami$ w $;$ podstawowym wtedy nazywa się dzielnikiem $I$$\ displaystyle$ } . Ogólnie rzecz biorąc, dzielnik w pierścieniu operatorów różniczkowych cząstkowych nie musi być główny.

Największy wspólny prawy dzielnik (Gcrd) $\$$J$ { \ displaystyle I }, jak ${$ displaystyle $}$ w tym. Jeśli mają reprezentację, ${\ Displaystyle I \ równoważnik \ langle f_ {1}, \ ldots, f_ {p} \ rangle}$ i $g_ {q} \ rangle,}$ , ${\ Displaystyle f_ {i}}$${\ Displaystyle g_ {j} \ in {\ mathcal {D}}}$ dla wszystkich $Displaystyle$ jot {\ $}$ suma jest generowana przez połączenie generatorów ja $\ displaystyle I}$ i ${\ displaystyle J}$ . Przestrzeń rozwiązań równań odpowiadających ${\ displaystyle \ operatorname {Gcrd} (I, J)}$ jest przecięciem przestrzeni rozwiązań jego argumentów.

Najmniejsza wspólna lewa wielokrotność (Lclm) lub lewe przecięcie dwóch ideałów i ${\$$Displaystyle J}$ jest największym ideałem z właściwością, że jest zawarta zarówno w ${\ displaystyle I},$ jak i $styl wyświetlania J}$${\ displaystyle I$ . Przestrzeń rozwiązań ${\ Displaystyle \ operatorname {Lclm} (I, J) z = 0}$ jest najmniejszą przestrzenią zawierającą przestrzenie rozwiązań jej argumentów.

$dzielnika$ jest tak zwany dzielnik Laplace'a operatora , strona 34. Jest on zdefiniowany w następujący sposób.

Definicja Niech $cząstkowym$ operatorem różniczkowym na płaszczyźnie; definiować

$${\ Displaystyle {\ mathfrak {l}} _ {m} \ równoważnik \ częściowy _ {x ^ {m} }+a_{m-1}\częściowo _{x^{m-1}}+\kropki +a_{1}\częściowo _{x}+a_{0}}$$

I

$${\ Displaystyle {\ mathfrak {k}} _ {n} \ równoważnik \ częściowy _ {y ^ {n} }+b_{n-1}\częściowo _{y^{n-1}}+\kropki +b_{1}\częściowo _{y}+b_{0}}$$

być zwykłymi operatorami różniczkowymi względem lub $displaystyle$$y}$ ; ${\ Displaystyle a_ {i}, b_ {i} \ in \ mathbb {Q} (x, y)}$ dla wszystkich ja; ${\ displaystyle m}$ i ${\ displaystyle n}$ są liczbami naturalnymi nie mniejszymi niż 2. Załóżmy współczynniki ${\ displaystyle a_ {i}}$ , ${\ Displaystyle i = 0, \ ldots, m-1}$ są takie, że ${\ Displaystyle L}$ i ${\ Displaystyle {\ mathfrak {l}} _ {m}}$ tworzą Janet podstawa. Jeśli najmniejszą liczbą całkowitą o tej właściwości, $to$${\ Displaystyle \ mathbb {L} _ {x ^ {m}} (L) \ equiv {\ langle \ langle} L, {\ mathfrak {l}} _ {m} {\ rangle \ rangle}} nazywa$ się Dzielnik Laplace'a L $\ Displaystyle L}$ . Podobnie, jeśli ${\ Displaystyle b_ {j}}$ , ${\ Displaystyle j = 0, \ ldots, n-1}$ są takie, że ${\ Displaystyle L}$ i ${\ displaystyle {\ mathfrak {k}} _ {n}}$ tworzą podstawę Janet i ${\ Displaystyle n}$ jest minimalne, więc ${\ Displaystyle \ mathbb {L} _ {y ^ {n}} (L) \ równoważnik {\ langle \ langle } L, {\ mathfrak {k}} _ {n} {\ rangle \ rangle}}$ jest również nazywany dzielnikiem Laplace'a z ${\ displaystyle L}$ .

Aby istniał dzielnik Laplace'a, współczynniki operatora $muszą$ pewne ograniczenia. Algorytm wyznaczania górnej granicy dzielnika Laplace'a nie jest obecnie znany, dlatego ogólnie istnienie dzielnika Laplace'a może być nierozstrzygalne.

Rozkład równań różniczkowych cząstkowych liniowych drugiego rzędu na płaszczyźnie

Stosując powyższe koncepcje, teorię Loewy'ego można uogólnić na liniowe PDE. Tutaj $\ displaystyle y}$ on stosowany do poszczególnych liniowych PDE drugiego rzędu na płaszczyźnie o współrzędnych ${$ y oraz głównych ideałów generowanych przez odpowiednie operatory.

Równania drugiego rzędu były szeroko rozważane w literaturze XIX wieku. Zwykle rozróżnia się $\ displaystyle \ częściowe _ {xx}$ z wiodącymi pochodnymi lub $}$ Ich ogólne rozwiązania zawierają nie tylko stałe, ale także nieokreślone funkcje o różnej liczbie argumentów; określenie ich jest częścią procedury rozwiązania. Dla równań z wiodącą pochodną ${\ Displaystyle \ częściowe _ {xx}}$ Wyniki Loewy'ego można uogólnić w następujący sposób.

Twierdzenie 2 Niech operator różniczkowy $zdefiniowany$ przez

$${\ Displaystyle L \ równoważnik \ częściowy _ {xx} + A_ {1} \ częściowy _ {xy}+A_{2}\częściowe _{yy}+A_{3}\częściowe _{x}+A_{4}\częściowe _{y}+A_{5}}$$

gdzie ${\ Displaystyle A_ {i} \ in \ mathbb {Q} (x, y)}$ dla wszystkich ${\ displaystyle i}$ .

Niech ${\ Displaystyle l_ {i} \ równoważnik \ częściowy _ {x} + a_ {i} \ częściowy _ {y} + b_ {i}}$ dla ${\ Displaystyle i = 1}$${\ Displaystyle i = 2}$ ja i ${\ Displaystyle l (\ Phi) \ równoważnik \ częściowy _ {x} + a \ częściowy _ {y} + b (\ Phi)} być operatorami pierwszego rzędu$ z ${\ Displaystyle a_ {i}, b_ {i}, a \ in \ mathbb {Q} (x, y)}$ ; ${\ displaystyle \ Phi}$ jest nieokreśloną funkcją pojedynczego argumentu. Wtedy $Loewy'ego$ według jednego z następujących typów.

• ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {xx} ^ {1}: L = l_ {2} l_ {1};}$
• ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {xx} ^ {2}: L = \ nazwa operatora {Lclm} (l_ {2}, l_ {1});}$
• ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {xx} ^ {3}: L = \ operatorname {Lclm} (l (\ Phi)).}$

Typ rozkładu operatora to rozkład o najwyższej wartości $}$$i$$\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {xx} ^ {$ . Jeśli $rzędu$ w polu podstawowym, jego typ rozkładu jest zdefiniowany jako ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {xx} ^ {0}$ . dekompozycje ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {xx} ^ {0}}$ L ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {xx} ^ {2}}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {xx} ^ {3}}$ całkowicie dający się zredukować.

Aby zastosować ten wynik do rozwiązania dowolnego równania różniczkowego z udziałem operatora, $pytanie$ , czy jego czynniki pierwszego rzędu można określić algorytmicznie. Kolejny wniosek dostarcza odpowiedzi dla czynników o współczynnikach albo w ciele podstawowym, albo w uniwersalnym rozszerzeniu pola.

Wniosek 3 Ogólnie rzecz biorąc, prawe czynniki pierwszego rzędu liniowego pde w polu bazowym nie mogą być wyznaczane algorytmicznie. Jeśli wielomian symbolu jest rozdzielny, można wyznaczyć dowolny czynnik. Jeśli generalnie ma podwójny pierwiastek, nie jest możliwe wyznaczenie właściwych czynników w polu podstawowym. Zawsze można rozstrzygnąć o istnieniu czynników w polu uniwersalnym, czyli o absolutnej nieredukowalności.

Powyższe twierdzenie można zastosować do rozwiązywania równań redukowalnych w postaci zamkniętej. Ponieważ w grę wchodzą tylko główne dzielniki, odpowiedź jest podobna jak w przypadku zwykłych równań drugiego rzędu.

Twierdzenie 1 Niech redukowalne równanie drugiego rzędu

$${\ Displaystyle Lz \ równoważnik z_ {xx} + A_ {1} z_ { xy}+A_{2}z_{yy}+A_{3}z_{x}+A_{4}z_{y}+A_{5}z=0}$$

gdzie ${\ Displaystyle A_ {1}, \ ldots, A_ {5} \ w \ mathbb {Q} (x, y)}$ .

l $\ częściowy _ {y} + b_ {i}}$ , ${\ Displaystyle a_ {i}, b_ {i} \ in \ mathbb {Q} (x, y)}$ dla ${\ Displaystyle i = 1,2}$ ; ${\ Displaystyle \ varphi _ {i} (x, y) = \ operatorname {const}}$ jest wymierną pierwszą całką z ${\ Displaystyle {\frac {dy}{dx}}=a_{i}(x,y)}$ ; ${\ Displaystyle {\ bar {y}} \ równoważnik \ varphi _ {i} (x, y)}$ i odwrotność ${\ Displaystyle y = \ psi _ {i} (x, {\ bar {y}})}$ ; zakłada się, że zarówno ${\ displaystyle \ varphi _ {i}},$ jak i ${\ displaystyle \ psi _ {i}}$ istnieją. Ponadto zdefiniuj

$${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} _ {i} (x, y) \ równoważnik \ lewo. \ exp \ lewo (- \ int b_ {i} (x, y) {\ duży |} _ {y = \psi _{i}(x,{\bar {y}})}dx\right)\right|_{{\bar {y}}=\varphi _{i}(x,y)}}$$

dla ${\ Displaystyle i = 1,2}$ .

Podstawowy system różniczkowy ma następującą strukturę dla różnych dekompozycji na składowe pierwszego rzędu.

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {xx} ^ {1}: z_ {1} (x,y)={\mathcal {E}}_{1}(x,y)F_{1}(\varphi _{1}),}$$

$${\ Displaystyle Z_ {2} (x, y) = {\ mathcal {E}} _ {1} (x, y) {\ Displaystyle \ int} {\ Frac {{\ mathcal {E}} _ {2} (x,y)}{{\mathcal {E}}_{1}(x,y)}}F_{2}{\big (}\varphi _{2}(x,y){\big)} {\big |}_{y=\psi _{1}(x,{\bar {y}})}dx{\duże |}_{{\bar {y}}=\varphi _{1}( x, y)};}$$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {xx} ^ {2}: z_ {i} (x, y) = {\ mathcal {E}} _ {i} (x, y) F_ {i} \big (}\varphi _{i}(x,y){\big )},i=1,2;}$$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {xx }^{3}:z_{i}(x,y)={\mathcal {E}}_{i}(x,y)F_{i}{\big (}\varphi (x,y){\ duży )},i=1,2.}$$

są nieokreślonymi funkcjami pojedynczego argumentu; fa $\ displaystyle F_ {i}}$${\ Displaystyle \ varphi}$ , ${\ Displaystyle \ varphi _ {1}}$ i ${\ Displaystyle \ varphi _ {2}}$ są racjonalne we wszystkich argumentach; zakłada się, że istnieje. ${\ displaystyle \ psi _ {1}}$ Ogólnie są one określone przez współczynniki ${\ Displaystyle \ varphi _ {1} \ neq \ varphi _ {2}}$${\ Displaystyle A_ {1}}$ , ${\ Displaystyle A_ {2}}$ i ${\ Displaystyle A_ {3}}$ podanego równania.

Typowym przykładem liniowego pde, w którym stosuje się rozkład na czynniki, jest równanie omówione przez Forsytha, tom. VI, strona 16,

Przykład 5 (Forsyth 1906) Rozważ równanie różniczkowe ${\ textstyle z_ {xx} -z_ {yy} + {\ frac {4} {x + y}} z_{x}=0}$ . Po faktoryzacji reprezentacji

$${\ Displaystyle Lz \ równoważnik l_ {2} l_ {1} z =\left(\częściowa _{x}+\częściowa _{y}+{\frac {2}{x+y}}\right)\left(\częściowa _{x}-\częściowa _{y}+ {\frac {2}{x+y}}\right)z=0}$$

jest uzyskiwany. Następuje

$${\ Displaystyle \ varphi _ {1} (x, y) = x + y, \ psi _ {1} (x, y) = {\ bar {y}} -x, {\ mathcal {E}} _ { 1}(x,y)=\exp {\left({\frac {2y}{x+y}}\right)},}$$

$${\ Displaystyle \ varphi _ {2} (x, y) = xy, \ psi _ {2} (x, y) = x - {\ bar {y}}, {\ mathcal {E}} _ {2} (x,y)=-{\frac {1}{x+y}}.}$$

W konsekwencji różnicowy system podstawowy jest

$${\ Displaystyle z_ {1} (x, y) = \ exp {\ lewo ({\ Frac {2y} x+y}}\right)}F(x+y),}$$

$${\ Displaystyle z_ {2} (x, y) = {\ Frac {1} {x + y}} \ exp {\ lewo ({\ Frac {2y} {x + y}} \ prawej)} \ int \ exp {\left({\frac {2x-{\bar {y}}}{\bar {y}}}\right)}G(2x-{\bar {y}})dx{\duży |}_ {{\bar {y}}=x+y}.}$$

${\ displaystyle F}$$nieokreślonymi$ są funkcjami .

$,$ rzędu operatora jest jego możliwe rozkłady obejmujące tylko główne dzielniki można opisać w następujący

Twierdzenie 3 Niech operator różniczkowy będzie zdefiniowany przez. ${\ displaystyle L}$

$${\ Displaystyle L \ równoważnik \ częściowy _ {xy} + A_ {1} \ częściowy _ {x} + A_ {2} \ częściowy _ { y}+A_{3}}$$

gdzie ${\ Displaystyle A_ {i} \ in \ mathbb {Q} (x, y)}$ dla wszystkich ${\ displaystyle i}$ .

Niech ${\ Displaystyle l \ równoważnik \ częściowy _ {x} + A_ {2}}$ i ${\ Displaystyle k \ równoważnik \ częściowy _ {y} + A_ {1 }}$ to operatory pierwszego rzędu. ${\ displaystyle L}$ ma rozkłady Loewy'ego obejmujące główne dzielniki pierwszego rzędu o następującej postaci.

• ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {xy} ^ {1}: L = kl;}$
• ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {xy} ^ {2}: L = lk;}$
• ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {xy} ^ {3}: L = \ nazwa operatora {Lclm} (k, l).}$

Typ rozkładu operatora to rozkład o $}$ wartości $}$$Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {xy} ^ {i$ \ Rozkład typu jest całkowicie redukowalny ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {xy} ^ {3}}$

Ponadto istnieje pięć innych możliwych typów rozkładu obejmujących inne niż główne dzielniki Laplace'a, jak pokazano poniżej.

Twierdzenie 4 Niech operator różniczkowy $zdefiniowany$ przez

$${\ Displaystyle L \ równoważnik \ częściowy _ {xy} + A_ {1} \ częściowy _ {x} + A_ {2} \ częściowy _ { y}+A_{3}}$$

gdzie ${\ Displaystyle A_ {i} \ in \ mathbb {Q} (x, y)}$ dla wszystkich ${\ displaystyle i}$ .

${\ Displaystyle \ mathbb {L} _ {x ^ {m}} (L)}$ i ${\ Displaystyle \ mathbb {L} _ {y ^ {n}} ( L)}$ jak również i $\ Displaystyle {\$${k}} _ {n}} są$ powyżej; ponadto $za {\ Displaystyle l \ równoważnik \ częściowy _ {x} + a$ , ${\ Displaystyle k \ równoważnik \ częściowy _ {y} + b}$ , ${\ Displaystyle a, b \ in \ mathbb {Q} (x, y)}$ . ma $rozkłady$ obejmujące dzielniki Laplace'a według jednego z następujących typów; ${\ displaystyle m}$ i ${\ displaystyle n}$ słuchać ${\ displaystyle m, n \ geq 2}$ .

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {xy} ^ {4}: L = \ nazwa operatora {Lclm} \ lewo (\ mathbb {L} _ {x ^ {m}} (L), \ mathbb {L } _{y^{n}}(L)\prawo);}$$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {xy} ^ {5}: L = Exquo {\ duży (} L, \ mathbb {L} _ {x ^ {m}} (L) {\ duży)} \mathbb {L} _{x^{m}}(L)={\begin{pmatrix}1&0\\0&\częściowe _{y}+A_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} L\\{\mathfrak {l}}_{m}\end{pmatrix}};}$$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {xy} ^ {6}: L = Exquo {\ duży (} L, \ mathbb {L} _ {y ^ {n}} (L) {\ duży)} \mathbb {L} _{y^{n}}(L)={\begin{pmatrix}1&0\\0&\częściowa _{x}+A_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} L\\{\mathfrak {k}}_{n}\end{pmatrix}};}$$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {xy} ^ {7}: L = \ nazwa operatora {Lclm} {\ duży (} k, \ mathbb {L} _ {x ^ {m}} (L) { \duży )};}$$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {xy} ^ {8}: L = \ nazwa operatora {Lclm} {\ duży (} l, \ mathbb {L} _ {y ^ {n}} (L) { \duży )}.}$$

Jeśli nie ma właściwego czynnika pierwszego $rzędu$ i można wykazać, że dzielnik Laplace'a nie istnieje, jego typ rozkładu definiuje się jako $\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {xy }^{0}}$ . ${\ mathcal {L}} _ {xy} ^ {0}}$ Displaystyle , ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {xy} ^ {4}}$ , ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {xy} ^ {7}}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {xy} ^ {8}}$ są całkowicie redukowalne.

Równanie, które nie pozwala na rozkład obejmujący główne dzielniki, ale jest całkowicie redukowalne w odniesieniu do innych niż główne dzielników Laplace'a typu, zostało ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {xy} ^ {4}}$ rozważane przez Forsytha.

Przykład 6 (Forsyth 1906) Zdefiniuj

$${\ Displaystyle L \ równoważnik \ częściowy _ {xy} + {\ Frac {2} {xy} }\częściowy _{x}v-{\frac {2}{xy}}\częściowy _{y}-{\frac {4}{(xy)^{2}}}}$$

generowanie głównego ideału ${\ Displaystyle \ langle L \ rangle}$ . Czynnik pierwszego rzędu nie istnieje. Istnieją jednak dzielniki Laplace'a

$${\ Displaystyle \ mathbb {L} _ {x ^ {2}} (L) \equiv {{\Duży \langle }{\Duży \langle }}\częściowy _{xx}-{\frac {2}{xy}}\częściowy _{x}+{\frac {2}{(xy) ^{2}}},L{{\Duży \rangle }{\Duży \rangle }}}$$

I

$${\ Displaystyle \ mathbb {L} _ {y ^ {2}} (L) \ równoważnik {{\ duży \ langle}} {\ duży \ langle}} L, \ częściowy _ {yy} + {\ frac {2} {xy}}\częściowy _{y}+{\frac {2}{(xy)^{2}}}{{\Duży \rangle }{\Duży \rangle }}.}$$

Ideał wygenerowany przez ${\ displaystyle L}$ ma reprezentację ${\ Displaystyle \ langle L \ rangle = \ operatorname {Lclm} {\ big (}\mathbb {L} _{x^{2}}(L),\mathbb {L} _{y^{2}}(L){\big )}} , czyli jest całkowicie redukowalny$ ; jego typ rozkładu to ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {xy} ^ {4}}$ . Dlatego równanie $system$

$${\ Displaystyle z_ {1} (x, y) = 2 (xy) fa (y )+(xy)^{2}F'(y)}$$

I

$${\ Displaystyle z_ {2} (x, y) = 2 (yx) G (x) + (yx) ^ {2} G '(x).}$$

Dekompozycja liniowych PDE rzędu wyższego niż 2

Okazuje się, że operatory wyższego rzędu mają bardziej skomplikowane dekompozycje i jest więcej alternatyw, wiele z nich pod względem dzielników niegłównych. Rozwiązania odpowiednich równań stają się bardziej złożone. W przypadku równań trzeciego rzędu na płaszczyźnie można znaleźć dość kompletną odpowiedź. Typowy przykład równania trzeciego rzędu, który ma również znaczenie historyczne, pochodzi od Blumberga.

Przykład 7 (Blumberg 1912) W swojej rozprawie Blumberg rozważał operator trzeciego rzędu

$${\ Displaystyle L \ równoważnik \ częściowy _ {xxx} + x \ częściowy _ {xxy} + 2 \ częściowy _ {xx} + 2 (x + 1) \ częściowy _ {xy} + \ częściowy _ {x} + ( x+2)\częściowe _{y}.}$$

Pozwala na dwa czynniki pierwszego rzędu ${\ Displaystyle l_ {1} \ równoważnik \ częściowy _ {x} + 1}$ i ${\ Displaystyle l_ {2} \equiv \częściowy _{x}+x\częściowy _{y}}$ . Ich przecięcie nie jest główne; definiowanie

$${\ Displaystyle L_ {1} \ równoważnik \ częściowy _ {xxx} -x ^ {2} \ częściowy _ {xyy} + 3 \ częściowy _ {xx} + (2x + 3) \ częściowy _ {xy} -x ^ {2}\częściowe _{yy}+2\częściowe _{x}+(2x+3)\częściowe _{y}}$$

$${\ Displaystyle L_ {2} \ równoważnik \ częściowy _ {xxy} + x \ częściowy _ {xyy} - {\ Frac {1} {x}} \ częściowy _ {xx} - {\ Frac {1} {x} }\częściowa _{xy}+x\częściowa _{y}y-{\frac {1}{x}}\częściowa _{x}-\left(1+{\frac {1}{x}}\ po prawej)\częściowo _{y}{{\big \rangle }{\big \rangle }}.}$$

można to zapisać jako ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Lclm} (l_ {2}, l_ {1}) = {\ langle \ langle} L_{1},L_{2}{\rangle \rangle }}$ . W konsekwencji rozkład Loewy'ego operatora Blumbergsa jest

$${\ Displaystyle L = {\ rozpocząć {pmatrix} 1&x \\ 0&\ częściowe _ {x} + 1 + {\ Frac {1} {x}} \ koniec {pmatrix}} {\ rozpocząć {pmatrix} L_ {1} \\L_{2}\end{pmacierz}}.}$$

Daje to następujący podstawowy układ różniczkowy dla równania różniczkowego ${\ displaystyle Lz = 0}$ .

• ${\ Displaystyle z_ {1} (x, y) = F (y- {\ Frac {1} {2}} x ^ {2}) }$ ,
• ${\ Displaystyle z_ {2} (x, y) = G (y) e ^ {- x}}$ ,
• ${\ Displaystyle Z_ {3} (x, y) = \ int xe ^ {- x} H \ lewo ({\ bar {y}} + {\ Frac {1} {2} }}x^{2}\right)dx{\Duży |}_{{\bar {y}}=y-{\frac {1}{2}}x^{2}}}$

${\ displaystyle F, G}$ i ${\ displaystyle H}$ są funkcjami nieokreślonymi.

Rozkłady na czynniki i dekompozycje Loewy'ego okazały się niezwykle użyteczną metodą wyznaczania rozwiązań liniowych równań różniczkowych w postaci zamkniętej, zarówno dla równań zwyczajnych, jak i cząstkowych. Powinno być możliwe uogólnienie tych metod na równania wyższego rzędu, równania z większą liczbą zmiennych i układ równań różniczkowych.