Podstawowe pole wektorowe

W nauce matematyki , a zwłaszcza geometrii różniczkowej , podstawowe pola wektorowe są instrumentem opisującym nieskończenie małe zachowanie gładkiego działania grupy Liego na gładkiej rozmaitości . Takie pola wektorowe znajdują ważne zastosowania w badaniu teorii Liego , geometrii symplektycznej i badaniu działań grup hamiltonowskich .

Motywacja

Ważne dla zastosowań w matematyce i fizyce jest pojęcie przepływu w rozmaitości. W szczególności, jeśli jest gładką rozmaitością $i$ jest $X}$ polem wektorowym , ktoś jest zainteresowany znalezieniem krzywych całkowych do $displaystyle$ . Dokładniej, biorąc pod uwagę, że interesują nas krzywe $\ in M$ ${\ Displaystyle \ gamma _ {p}: \ mathbb {R} \ do M}$ takie, że

{\ Displaystyle \ gamma _ {p} '(t) = X _ {\ gamma _ {p} (t)}, \ qquad \gamma _{p}(0)=p,}

dla których rozwiązania lokalne są gwarantowane przez twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności równań różniczkowych zwyczajnych . Jeśli $}$ ponadto kompletnym polem wektorowym , to przepływ $dyfeomorfizmem$ zdefiniowany jako zbiór wszystkich krzywych całkowych dla , jest X $}$ $\$ $X$ . Przepływ ${\ Displaystyle \ phi _ {X}: \ mathbb {R} \ razy M \ do M}$ podane przez ${\ Displaystyle \ phi _ {X} (t, p ) = \ gamma _ {p} (t)}$ jest w rzeczywistości działaniem addytywnej grupy Lie ${\ Displaystyle (\ mathbb {R}, +)}$ na ${\ Displaystyle M}$ .

I odwrotnie, każde płynne działanie definiuje kompletne pole wektorowe za pomocą równania ${\ Displaystyle A: \ mathbb {R} \ razy M \ do$ $M$

{\ Displaystyle X_ {p} = \ lewo. {\ Frac {d} {dt}} \ prawo | _ {t = 0} A (t, p).}

$M}$ zatem prosty wynik, że istnieje bijektywna zgodność między $działaniami$ na i kompletnymi polami wektorowymi na $displaystyle$ .

W języku teorii przepływu pole wektorowe $nieskończenie$ jest małym generatorem . Intuicyjnie zachowanie przepływu w każdym punkcie odpowiada „kierunkowi” wskazanemu przez pole wektorowe. Naturalnym jest pytanie, czy można ustalić podobną zgodność między polami wektorowymi a bardziej arbitralnymi działaniami grupy Liego na ${\ displaystyle M}$ .

Definicja

Niech $będzie$ grupą Liego z odpowiednią algebrą Liego $g}}}$ . Ponadto niech będzie gładką rozmaitością obdarzoną płynnym działaniem $M \ do M$ $razy$ . mapę taką, że ${p}: G \ do$ ${\ Displaystyle A_ {p} (g) = A (g, p)}$ , zwany mapą orbity odpowiadającą $}$ ${\ displaystyle$ . Dla ${\ Displaystyle X \ in {\ mathfrak {g}}}$ , podstawowe pole wektorowe $jest$ X $\ Displaystyle X}$ dowolną z następujących równoważnych definicji :

${\ Displaystyle X_ {p} ^ {\ #} = d_ {e} A_ {p} (X)}$
${\ Displaystyle X_ {p} ^ {\ #} = d_ {(e, p)} A \ lewo (X, 0_ {T_ {p }M}\prawo)}$
${\ Displaystyle X_ {p} ^ {\ #} = \ lewo. {\ Frac {d} {dt}} \ prawo | _ {t = 0} A \ lewo(\wyr(tX),p\prawo)}$

gdzie jest $T_ {p}$ gładkiej mapy $i$ jest wektorem zerowym w przestrzeni wektorowej $M$ .

Mapa ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} \ do \ Gamma (TM), X \ mapsto X ^ {\ #}}$ może być następnie pokazana jako kłamstwo homomorfizm algebry .

Aplikacje

Grupy kłamstw

Algebrę Liego grupy Liego $}$ zidentyfikować za pomocą lewych lub prawych niezmiennych pól wektorowych na ${\ displaystyle G$ . Dobrze znanym wynikiem jest to, że takie pola wektorowe są izomorficzne z przestrzenią styczną w tożsamości. $\ displaystyle T_ {e} G}$ W rzeczywistości, jeśli pozwolimy działać na siebie poprzez $mnożenie$ w prawo, odpowiednie podstawowe pola wektorowe są dokładnie niezmiennymi w lewo polami wektorowymi

Hamiltonowskie akcje grupowe

W motywacji wykazano, że istnieje bijektywna zgodność między gładkimi $działaniami$ pełnymi polami wektorowymi. Podobnie istnieje bijektywna zgodność między działaniami symplektycznymi (indukowane dyfeomorfizmy są wszystkie symplektomorfizmami ) a kompletnymi symplektycznymi polami wektorowymi .

Ściśle pokrewną ideą są pola wektorowe Hamiltona . $H:M\do \mathbb {R}$ $pod$ rozmaitość symplektyczną $,$ , że , jeśli istnieje funkcja gładka satysfakcjonujące

{\ Displaystyle dH = \ jota _ {X_ {H}} \ omega}

$wnętrza$ mapa jest produktem . $displaystyle$ to definicję akcji Hamiltona w następujący sposób: Jeśli $grupą$ Kłamstwa z algebrą Liego ZA $}$ to działanie grupowe $M$ gładkiej rozmaitości $\ displaystyle M}$ , to mówimy, że $Displaystyle$ hamiltonowską akcją grupową, jeśli istnieje taka mapa momentu $\ mu: M \ to {\ mathfrak {g}} ^ {*}}$ że dla każdego ${\ Displaystyle X \ w {\ mathfrak {g}}$ }

{\ Displaystyle d \ mu ^ {X} = \ jota _ {X ^ {\ #}} \ omega,}

gdzie ${\ Displaystyle \ mu ^ {X}: M \ do \ mathbb {R}, p \ mapsto \ langle \ mu (p), X \ rangle }$ $#$ jest podstawowym polem wektorowym $\ Displaystyle X}$