Podstawowy lemat teorii sit

W teorii liczb podstawowym lematem teorii sit jest dowolny z kilku wyników, które systematyzują proces stosowania metod sitowych do poszczególnych problemów. Halberstam i Richert piszą:

Ciekawą cechą literatury sitowej jest to, że chociaż często stosuje się metodę Bruna , istnieje tylko kilka prób sformułowania ogólnego twierdzenia Bruna (takiego jak Twierdzenie 2.1); w rezultacie istnieje zaskakująco wiele artykułów, które szczegółowo powtarzają etapy argumentacji Bruna.

Diamond i Halberstam przypisują terminologię Fundamental Lemma Jonasowi Kubiliusowi .

Wspólna notacja

Używamy tych oznaczeń:

• ${\ displaystyle A}$ to zbiór dodatnich liczb $całkowitych$ i jest $}$ liczb całkowitych podzielnych przez $displaystyle d$
• ${\ Displaystyle w (d)}$ i ${\ Displaystyle R_ {d}}$ są funkcjami, które szacują liczbę elementów ${\ Displaystyle A}$$displaystyle A}$ re $Displaystyle d}$$\$ , które są podzielne przez $wzorem$ zgodnie ze

${\ Displaystyle \ lewo \ vert A_ {d} \ prawo \ vert = {\ Frac {w (d)} {d}} X + R_ {d}.} Zatem w ( re ) /$

re $}$$)$$błąd$ reprezentuje przybliżoną gęstość członków podzielną przez $reprezentuje$ a lub resztę.

• $P}$$Displaystyle$ to zbiór liczb pierwszych i iloczynem tych liczb pierwszych $leq z}$
• ${\ Displaystyle S (A, P, z)}$$elementów$$liczba$$styl wyświetlania \leq z}$ przez żadną liczbę pierwszą w ≤ $\ displaystyle P}$
• ${\ displaystyle \ kappa}$ jest stałą, zwaną gęstością przesiewania, która pojawia się w poniższych założeniach. Jest to średnia ważona liczby klas reszt odsianych przez każdą liczbę pierwszą.

Podstawowy lemat sita kombinatorycznego

Ten preparat pochodzi od Tenenbauma. Inne sformułowania znajdują się w Halberstam & Richert , w Greaves oraz w Friedlander & Iwaniec . Przyjmujemy założenia:

• ${\ Displaystyle w (d)}$ jest funkcją multiplikatywną .
• Gęstość przesiewania $\leq \eta \leq \xi }$$,$ dla pewnej stałej i liczb rzeczywistych i ${$$\ Displaystyle$$\ xi}$ z ${\ Displaystyle$ :

${\ Displaystyle \ prod _ {\ eta \ równoważnik p \ równoważnik \ xi} \ lewo (1- {\ Frac {w (p)}} {p}} \ prawej) ^ {- 1}< \ lewo ({\ frac {\ln \xi }{\ln \eta }}\right)^{\kappa}\left(1+{\frac {C}{\ln \eta }}\right).}$

$naszej$ parametr , który jest do Mamy jednakowo w ${\ displaystyle A}$ , ${\ displaystyle X}$ , ${\ displaystyle z}$ i $}$ u

${\ Displaystyle S (a, P, z) = X \ prod _ {p \ równoważnik z, p \ w P} \ lewo (1- {\ Frac {w (p)}} {p}} \ prawej) \ { 1+O(u^{-u/2})\}+O\left(\suma _{d\równoważnik z^{u},d|P(z)}|R_{d}|\right). }$

W aplikacjach wybieramy, $.$ uzyskać najlepszy termin błędu W sicie jest to związane z liczbą poziomów zasady włączania-wyłączania .

Podstawowy lemat sita Selberga

Ten preparat pochodzi z firmy Halberstam & Richert . Inne sformułowanie znajduje się w Diamond & Halberstam .

Przyjmujemy założenia:

• ${\ Displaystyle w (d)}$ jest funkcją multiplikatywną .
• Gęstość przesiewania $\leq \eta \leq \xi }$$,$ dla pewnej stałej i liczb rzeczywistych i ${$$\ Displaystyle$$\ xi}$ z ${\ Displaystyle$ :

${\ Displaystyle \ qquad \ suma _ {\ eta \ równoważnik p \ równoważnik \ xi} {\ Frac {w (p) \ ln p} {p} }< \ kappa \ ln {\ Frac {\ xi} } eta }}+C.}$

• ${\ Displaystyle {\ Frac {w (p)}} {p} <1-c}$ dla niektórych małych stałych $displaystyle$ wszystkich $p}$ .
• $R (d) | \ równoważnik w (d)}$$|$$dla$ wszystkich kwadratów których czynniki pierwsze są .

Podstawowy lemat ma prawie taką samą postać jak dla sita kombinatorycznego. Napisz ${\ Displaystyle u = \ ln {X} / \ ln {z}}$ . Z tego wniosek:

${\ Displaystyle S (a, P, z) = X \ prod _ {p \ równoważnik z, \ p \ w P} \ lewo (1- {\ Frac {w (p)}} {p}} \ prawej) \ {1+O(e^{-u/2})\}.}$

Zauważ, że $nie$$przez$ już niezależnym parametrem do naszej dyspozycji, ale jest kontrolowany .

Należy zauważyć, że składnik błędu jest tutaj słabszy niż w przypadku podstawowego lematu sita kombinatorycznego. Halberstam i Richert zauważają: „Tak więc nie jest prawdą stwierdzenie, jak od czasu do czasu twierdzono w literaturze, że sito Selberga jest zawsze lepsze niż sito Bruna”.