Podstawowy schemat grupowy

W matematyce podstawowym schematem grupowym jest schemat grupowy kanonicznie powiązany ze schematem nad schematem Dedekinda (np. widmo pola lub widmo dyskretnego pierścienia wartościowania ). Jest to uogólnienie podstawowej grupy etale . Chociaż jego istnienie zostało przypuszczone przez Alexandra Grothendiecka , pierwszy dowód na jego istnienie należy, dla schematów zdefiniowanych na polach, do Madhav Nori . Dowód jego istnienia dla schematów zdefiniowanych w schematach Dedekinda pochodzi od Marco Antei, Michela Emsalema i Carlo Gasbarriego.

Historia

Podstawową grupą ( topologiczną) związaną z przestrzenią topologiczną jest grupa klas równoważności pod wpływem homotopii pętli zawartych w przestrzeni. Chociaż nadal jest badana pod kątem klasyfikacji rozmaitości algebraicznych , nawet w geometrii algebraicznej , w wielu zastosowaniach grupa podstawowa okazała się niewystarczająca do klasyfikacji obiektów, takich jak schematy , które są czymś więcej niż tylko przestrzeniami topologicznymi. Ta sama przestrzeń topologiczna może mieć rzeczywiście kilka różnych struktur schematów, ale jej podstawowa grupa topologiczna zawsze będzie taka sama. Dlatego konieczne stało się stworzenie nowego obiektu uwzględniającego istnienie snopka strukturalnego wraz z przestrzenią topologiczną. Doprowadziło $to$ do powstania podstawowej grupy etale , rzutowej granicy wszystkich skończonych grup działających na pokryciach etale danego . Niemniej jednak w charakterystyce pozytywnej ta ostatnia ma oczywiste ograniczenia, ponieważ nie uwzględnia istnienia schematów grupowych $,$ które nie są etalne (np. gdy cechą $jest$ $displaystyle p> 0} ) i$ $które$ działają na torsory nad , co naturalnym uogólnieniem pokrycia. To właśnie z tego pomysłu Grothendieck żywił nadzieję na stworzenie nowej, prawdziwie fundamentalnej grupy ( po francusku un vrai groupe fondamental ), której istnienie przewidział już na początku lat 60. w swoim słynnym SGA 1, Chapitre X. Musiało upłynąć więcej niż dziesięć lat, zanim wyszły na jaw pierwsze wyniki dotyczące istnienia podstawowego schematu grupowego. Jak wspomniano we wstępie, wynik ten był zasługą Madhav Nori, który w 1976 roku opublikował swoją pierwszą konstrukcję tego nowego obiektu dla schematów zdefiniowanych na polach ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X, x)}$ . Jeśli chodzi o nazwę, zdecydował się porzucić prawdziwą nazwę grupy fundamentalnej i nazwał ją, tak jak ją znamy dzisiaj, schematem grupy fundamentalnej . Jest również często oznaczany jako $,$ gdzie $oznacza$ podstawowych i do jego współczesnych uogólnień. Wykazanie istnienia $określonych na$ schematach wymiaru 1 musiało Istnieją różne uogólnienia, takie jak schemat grup podstawowych i quasi $skończony$ schemat grup podstawowych ${\ Displaystyle \ pi ^ {S} (X, x)}$ quasi skończony schemat grup podstawowych ${\ Displaystyle \ pi ^ {\ tekst {qf}} (X, x)}$ .

Definicja i konstrukcja

Oryginalna definicja i pierwsza konstrukcja zostały zaproponowane przez Nori dla schematów $.$ polami Następnie zostały one dostosowane do szerszego zakresu schematów. Jak dotąd istnieją jedyne kompletne teorie dla schematów zdefiniowanych na podstawie schematów wymiaru 0 ( spektra pól) lub wymiaru 1 (schematy Dedekinda), więc oto, co zostanie omówione poniżej:

Definicja

Niech $będzie schematem$ $który może być$ ( pola) i morfizmem lokalnie typu skończonego Załóżmy, że $ma$ x $\ Displaystyle x \ w X (S)}$ . Mówimy, że $X$ ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X, x)}$ schemat grupowy, $jeśli$ - - torsor ${\ Displaystyle {\ kapelusz {X}} \ do X}$ z przekrojem ${\ Displaystyle {\ kapelusz {x}} \ w {\ kapelusz {X}} _ {x} (S)} takie, że$ dla dowolnego skończonego ${\ Displaystyle G}$ -torsor ${\ Displaystyle Y \ do X }$ $X$ przekrojem istnieje unikalny morfizm torsorów $Y}$ wysyłanie $do$ \ displaystyle $y}$

Nad polem

$Obecnie istnieje kilka$ $istnienia$ podstawowego schematu grupowego schematu zdefiniowanego polu . Nori zapewnia pierwsze twierdzenie o istnieniu, gdy $Spec}} (k)}$ ${$ { \ $X}$ ${$ zredukowany i połączony schemat. Zakładając istnienie sekcji ${\ Displaystyle x: {\ tekst {Spec}} (k) \ do X}$ , to podstawowy schemat grupowy ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X, x)}$ z in x $displaystyle$ $x}$ jest zbudowany jako schemat grup afinicznych naturalnie powiązany z neutralną kategorią tannakian ponad ) zasadniczo ${\ displaystyle k}$ skończone wiązki wektorów nad ${\ displaystyle X}$ . Nori udowadnia również $zredukowanym$ że podstawowy schemat grupowy istnieje, gdy $dowolnym$ polem i jest dowolnym typem skończonym, i połączonym schematem nad ${\ displaystyle k}$ . Jednak w tej sytuacji nie ma mowy o kategoriach tannakowskich. Od tego czasu dodano kilka innych wyników istnienia, w tym niektóre schematy nieredukowane .

Ponad planem Dedekinda

Niech $będzie$ schematem Dedekinda o wymiarze 1, $połączonym$ $schematem$ wiernym morfizmem lokalnie typu Załóżmy istnienie sekcji ${\ Displaystyle x: S \ do X}$ . Następnie Marco Antei , Michel Emsalem udowodnili $}$ podstawowego schematu schematu nad $S$ i Carlo Gasbarri w następujących sytuacjach:

kiedy dla każdego włókna ${\ Displaystyle s$ $w S}$ \
kiedy dla każdego ${\ Displaystyle$ jest całkowicie zamknięty (np. gdy dla lokalnego pierścienia $\ mathcal {O}} _ {x$ ${\ Displaystyle X}$ jest normalne ).

Jednak w schemacie Dedekinda nie ma potrzeby rozważania tylko schematów grup skończonych : w rzeczywistości schematy grup quasi-skończonych są również bardzo naturalnym uogólnieniem schematów grup skończonych na polach. Właśnie dlatego Antei, Emsalem i Gasbarri również zdefiniowali $quasi$ -skończony podstawowy schemat grupowy w następujący sposób: $, x)}$ $displaystyle S}$ będzie schematem Dedekinda $wiernie$ płaskim morfizmem . Załóżmy, że $ma$ x $\ Displaystyle x \ w X (S)}$ . Mówimy, że $\ Displaystyle \ pi ^ {\ tekst {qf}} (X, x)$ quasi-skończony podstawowy schemat grupowy $x$ { -skończony i płaski ${\ Displaystyle \ pi ^ {\ tekst {qf}} (X, x)}$ - torsor ${\ Displaystyle {\ kapelusz {X}} \ do X}$ ${\ Displaystyle {\ kapelusz {x}} \ w {\ kapelusz {X}} _ {x} (S)}$ ∈ taki, że dla dowolnego quasi-skończonego $\ displaystyle G}$ -torsor ${\ Displaystyle Y \ do X}$ z przekrojem ${\ Displaystyle y \ w Y_ {x} (S)}$ istnieje unikalny morfizm torsorów ${\ Displaystyle {\ kapelusz {X}} \ do Y}$ wysyłanie ${\ Displaystyle {\ kapelusz {x}}}$ do ${\ Displaystyle y}$ . $\displaystyle X_{s}}$ istnienie , gdy $każdego$ $włókna$ $}$ są całkowe i normalne.

Nieruchomości

Powiązania z podstawową grupą etale

Można wziąć pod uwagę największy iloraz pro-étale ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X, x)}$ . Kiedy schemat podstawowy $π$ widmem algebraicznie zamkniętego pola, $)$ pokrywa się z podstawową grupą podstawową $\ Displaystyle \ pi ^ {\ tekst {ét$ . $_ {\text{ét}}(X,x)}$ grupa $)$ z .

Formuła produktu

Dla dowolnych ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X, x) \ razy _ {k} \ pi _ {1} (X, x) \ simeq \pi _{1}(X\razy _{k}Y,x\razy _{k}y)}$ $algebraicznie$ $zamkniętym$ polu formuła iloczynu, czyli $($ . Wynik ten został przypuszczony przez Nori i udowodniony przez Vikrama Mehtę i Subramaniana.

Zobacz też

Notatki

^. ^ ^abcd ^Nori ^, Madhav V. (1976) „O reprezentacjach grupy fundamentalnej” (PDF) . Compositio Mathematica . 33 (1): 29–42. MR 0417179 . Zbl 0337.14016 .
^. ^ ^{abc Nori,}^Madhav V. (1982) „Podstawowy schemat grupowy”. Proceedings Nauki matematyczne . 91 (2): 73–122. doi : 10.1007/BF02967978 . S2CID 121156750 .
^ Szamuely, Tamás (2009). Grupy Galois i grupy podstawowe . doi : 10.1017/CBO9780511627064 . ISBN 9780521888509 .
^ ^a ^b ^c ^d ^e Antei, Marco; Emsalem, Michel; Gasbarri, Carlo (2020). „Sur l'existence du schéma en groupes fondamental”. Épijournal de Géométrie Algébrique . ar Xiv : 1504.05082 . doi : 10.46298/epiga.2020.volume4.5436 . S2CID 227029191 .
^ Antei, Marco; Emsalem, Michel; Gasbarri, Carlo (2020). „Erratum dla„ Wysokości wiązek wektorowych i podstawowego schematu grupowego krzywej„ ”. Dziennik matematyczny Duke'a . 169 (16). doi : 10.1215/00127094-2020-0065 . S2CID 225148904 .
^ Langer, Adrian (2011). „Na ${\ displaystyle S}$ ”. Annales de l'Institut Fourier . 61 (5): 2077–2119. ar Xiv : 0905.4600 . doi : 10.5802/aif.2667 . S2CID 53506862 .
^ Bosch, Zygfryd; Lütkebohmert, Werner; Raynaud, Michel (1990). Modele Nerona . doi : 10.1007/978-3-642-51438-8 . ISBN 978-3-642-08073-9 .
Bibliografia _ Milne, JS (1982). Cykle Hodge'a, motywy i odmiany Shimura . Notatki z wykładów z matematyki. Tom. 900. doi : 10.1007/978-3-540-38955-2 . ISBN 978-3-540-11174-0 .
Bibliografia _ Subramanian, S. (2002). „O podstawowym schemacie grupowym”. Inventiones Mathematicae . 148 (1): 143–150. Bibcode : 2002InMat.148..143M . doi : 10.1007/s002220100191 . S2CID 121329868 .

[:Nori-1] . ^ ^abcd ^Nori ^, Madhav V. (1976) „O reprezentacjach grupy fundamentalnej” (PDF) . Compositio Mathematica . 33 (1): 29–42. MR 0417179 . Zbl 0337.14016 .

[:Nori_2-2] . ^ ^{abc Nori,}^Madhav V. (1982) „Podstawowy schemat grupowy”. Proceedings Nauki matematyczne . 91 (2): 73–122. doi : 10.1007/BF02967978 . S2CID 121156750 .

[3] Szamuely, Tamás (2009). Grupy Galois i grupy podstawowe . doi : 10.1017/CBO9780511627064 . ISBN 9780521888509 .

[:Dedekind-4] Antei, Marco; Emsalem, Michel; Gasbarri, Carlo (2020). „Sur l'existence du schéma en groupes fondamental”. Épijournal de Géométrie Algébrique . ar Xiv : 1504.05082 . doi : 10.46298/epiga.2020.volume4.5436 . S2CID 227029191 .

[5] Antei, Marco; Emsalem, Michel; Gasbarri, Carlo (2020). „Erratum dla„ Wysokości wiązek wektorowych i podstawowego schematu grupowego krzywej„ ”. Dziennik matematyczny Duke'a . 169 (16). doi : 10.1215/00127094-2020-0065 . S2CID 225148904 .

[:Langer-6] Langer, Adrian (2011). „Na ${\ displaystyle S}$ ”. Annales de l'Institut Fourier . 61 (5): 2077–2119. ar Xiv : 0905.4600 . doi : 10.5802/aif.2667 . S2CID 53506862 .

[7] Bosch, Zygfryd; Lütkebohmert, Werner; Raynaud, Michel (1990). Modele Nerona . doi : 10.1007/978-3-642-51438-8 . ISBN 978-3-642-08073-9 .

[8] Bibliografia _ Milne, JS (1982). Cykle Hodge'a, motywy i odmiany Shimura . Notatki z wykładów z matematyki. Tom. 900. doi : 10.1007/978-3-540-38955-2 . ISBN 978-3-540-11174-0 .

[:Vikram-9] Bibliografia _ Subramanian, S. (2002). „O podstawowym schemacie grupowym”. Inventiones Mathematicae . 148 (1): 143–150. Bibcode : 2002InMat.148..143M . doi : 10.1007/s002220100191 . S2CID 121329868 .