Zasadniczo skończona wiązka wektorów

W matematyce zasadniczo skończona wiązka wektorów jest szczególnym typem wiązki wektorów zdefiniowanej przez Madhava V. Nori jako główne narzędzie w konstrukcji podstawowego schematu grupowego . Nawet jeśli definicja nie jest intuicyjna, istnieje ładna charakterystyka, która sprawia, że ​​zasadniczo skończone wiązki wektorowe są całkiem naturalnymi obiektami do badania w geometrii algebraicznej . Następujące pojęcie skończonych wiązek wektorowych pochodzi od André Weila i będzie potrzebne do zdefiniowania zasadniczo skończonych wiązek wektorowych:

Wiązki wektorów skończonych

Niech będzie schematem i wiązką wektorów na $X$$}$$displaystyle$ . fa ${\ Displaystyle f = a_ {0} + a_ {1} x + \ ldots + a_ {n} x ^ {n} \$ definiuje wielomian całkowy z nieujemnymi współczynnikami

${\ Displaystyle f (V): = {\ mathcal {O} }_{X}^{\oplus a_{0}}\oplus V^{\oplus a_{1}}\oplus \left(V^{\otimes 2}\right)^{\oplus a_{2}} \oplus \ldots \oplus \left(V^{\otimes n}\right)^{\oplus a_{n}}}$

Wtedy nazywa się skończonym , jeśli istnieją dwa różne wielomiany $\ geq 0} [x]}$ dla $których$${\ Displaystyle f (V)}$ jest izomorficzny z ${\ Displaystyle g (V)}$ .

Definicja

Następujące dwie definicje są zbieżne, gdy $jest to$ , połączony i właściwy schemat na idealnym polu.

Według Borne i Vistoli

Wiązka wektorów jest $zasadniczo$ skończona $,F_{2}}$ jeśli jest jądrem morfizmu gdzie ${\ Displaystyle u: F_ {1} \$ to skończone wiązki wektorowe.

Oryginalna definicja Nori

Wiązka wektorowa jest zasadniczo skończona , jeśli jest podrzędnym ilorazem skończonej wiązki wektorowej w kategorii wiązek wektorowych nori-semistowalnych .

Nieruchomości

• Niech $\ Displaystyle x \ w X (k$ zredukowanym i połączonym schematem na doskonałym polu wyposażonym w sekcję $k$${$ . Wtedy wiązka wektorów $\$ jest zasadniczo skończona wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończony $displaystyle$ grupowy i $}$$}$ sol ${\ displaystyle$ - torsor $\ do X}$$Displaystyle p:$ taki, że staje się trywialny nad (tj. $)$${\ Displaystyle$ , gdzie ${\ Displaystyle r = rk (V)}$ ).

• Kiedy jest $zredukowanym , połączonym i$${$$displaystyle EF (X)}$ na doskonałym polu mi zasadniczo skończonych wiązek wektorowych dostarczonych ze zwykłym iloczynem tensorowym ${\ Displaystyle \ otimes _ {{\ mathcal {O}} _ {X}}}$ trywialny obiekt ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$$światłowodowy$ funktor kategorią Tannakian .

• π ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X, x)}$$x$$)}$ powiązany z kategorią Tannakian $Displaystyle EF (X$ ) jest nazywany podstawowym schematem grupowym .