Podsumowanie szeregu Grandiego

Główny artykuł: seria Grandiego

Uwagi ogólne

Stabilność i liniowość

Formalne manipulacje, które prowadzą do przypisania 1 - 1 + 1 - 1 + · · · wartości ¹ / ₂ obejmują:

• Dodawanie lub odejmowanie dwóch szeregów wyraz po wyrazie,
• Mnożenie przez skalar wyraz po wyrazie,
• „Przesuwanie” serii bez zmiany sumy i
• Zwiększenie sumy przez dodanie nowego wyrazu na początku szeregu.

To wszystko są legalne manipulacje sumami szeregów zbieżnych, ale 1 − 1 + 1 − 1 + · · · nie jest szeregiem zbieżnym.

Niemniej jednak istnieje wiele metod sumowania, które szanują te manipulacje i które przypisują „sumę” szeregowi Grandiego. Dwie z najprostszych metod to sumowanie Cesàro i sumowanie Abela .

Suma Cezara

Pierwsza rygorystyczna metoda sumowania rozbieżnych szeregów została opublikowana przez Ernesto Cesàro w 1890 r. Podstawowa idea jest podobna do probabilistycznego podejścia Leibniza: zasadniczo suma Cesàro szeregu jest średnią wszystkich jego sum cząstkowych. Formalnie oblicza się dla każdego n średnią σ _n pierwszych n sum cząstkowych i przyjmuje granicę tych średnich Cesàro, gdy n dąży do nieskończoności.

W przypadku szeregu Grandiego sekwencja średnich arytmetycznych jest następująca

1, ¹ / ₂ , ² / ₃ , ² / ₄ , ³ / ₅ , ³ / ₆ , ⁴ / ₇ , ⁴ / ₈ , …

lub, bardziej sugestywnie,

( ¹ / ₂ + ¹ / ₂ ), ¹ / ₂ , ( ¹ / ₂ + ¹ / ₆ ), ¹ / ₂ , ( ¹ / ₂ + ¹ / ₁₀ ), ¹ / ₂ , ( ¹ / ₂ + ¹ / ₁₄ ), ¹ / ₂ , …

Gdzie

${\ Displaystyle \ sigma _ {n} = {\ Frac {1} {2}}}$ nawet dla n i ${\ Displaystyle \ sigma _ {n} = { \frac {1}{2}}+{\frac {1}{2n}}}$ dla nieparzystego n .

Ten ciąg średnich arytmetycznych jest zbieżny do ¹ / ₂ , więc suma Cesàro Σ a _k wynosi ¹ / ₂ . Równoważnie, mówi się, że granica Cesàro ciągu 1, 0, 1, 0, … wynosi ¹ / ₂ .

Suma Cesàro 1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 + · · · wynosi ² ⁄ ₃ . Tak więc sumę Cesàro szeregu można zmienić, wstawiając nieskończenie wiele zer oraz nieskończenie wiele nawiasów.

Szeregi można również zsumować bardziej ogólnymi metodami ułamkowymi (C, a).

Suma Abla

Sumowanie Abela jest podobne do próby zdefiniowania sum rozbieżnych szeregów przez Eulera, ale pozwala uniknąć zastrzeżeń Calleta i N. Bernoulliego poprzez precyzyjne skonstruowanie funkcji, której należy użyć. W rzeczywistości Euler prawdopodobnie chciał ograniczyć swoją definicję do szeregów potęgowych iw praktyce używał jej prawie wyłącznie w formie znanej obecnie jako metoda Abla.

₀₀ Mając dany szereg a + a ₁ + a ₂ + · · ·, tworzymy nowy szereg a + a ₁ x + a ₂ x ² + · · ·. Jeśli ten ostatni szereg zbiega się dla 0 < x <1 do funkcji z granicą, przy której x dąży do 1, to granica ta nazywana jest sumą Abela pierwotnego szeregu, po twierdzeniu Abela , które gwarantuje, że procedura jest zgodna ze zwykłym sumowaniem. W przypadku serii Grandiego tak

${\ Displaystyle A \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ {n} = \ lim _ {x \ rightarrow 1} \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} (- x)^{n}=\lim _{x\rightarrow 1}{\frac {1}{1+x}}={\frac {1}{2}}.}$

Powiązane serie

Odpowiednie obliczenie, że suma Abla 1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 + · · · wynosi ² / ₃ obejmuje funkcję (1 + x )/(1 + x + x ² ).

Ilekroć szereg jest sumowalny Cesàro, jest również sumowalny Abla i ma tę samą sumę. Z drugiej strony, wzięcie iloczynu Cauchy'ego szeregu Grandiego daje szereg, który można sumować według Abela, ale nie sumowalny Cesàro:

1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

ma sumę Abela ¹ / ₄ .

Roztwór

Naprzemienne odstępy

To, że zwykła suma Abela 1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 + · · · wynosi ² / ₃ , można również wyrazić jako ( A , λ ) sumę oryginalnego szeregu 1 - 1 + 1 - 1 + · · · gdzie (λ _n ) = (0, 2, 3, 5, 6, …). Podobnie (A, λ) suma 1 - 1 + 1 - 1 + · · · gdzie (λ _n ) = (0, 1, 3, 4, 6, …) wynosi ¹ ⁄ ₃ .

Odstęp wykładniczy

Sumowalność 1 − 1 + 1 − 1 + · · · można udaremnić, oddzielając jej wyrazy wykładniczo dłuższymi i dłuższymi grupami zer. Najprostszym przykładem do opisania jest szereg, w którym (-1) ⁿ pojawia się w randze 2 ⁿ :

0 + 1 - 1 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 - 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 + · · ·.

Ta seria nie jest sumowalna dla Cesaro. Po każdym niezerowym wyrazie sumy cząstkowe spędzają wystarczająco dużo czasu na utrzymywaniu się na poziomie 0 lub 1, aby średnia suma cząstkowa znalazła się w połowie drogi od poprzedniej wartości. W przedziale 2 ^{2 m −1} ≤ n ≤ 2 ^{2 m} − 1 po wyrażeniu (− 1), n - te średnie arytmetyczne zmieniają się w przedziale

${\ Displaystyle {\ Frac {2} {3}} \ lewo ({\ Frac {2 ^ { 2m}-1}{2^{2m}+2}}\right)\;\mathrm {to} \;{\frac {1}{3}}(1-2^{-2m}),}$

lub około ² ⁄ ₃ do ¹ ⁄ ₃ .

W rzeczywistości szereg rozłożony wykładniczo również nie jest sumowalny według Abela. Jego suma Abla jest granicą, gdy x zbliża się do 1 funkcji

fa ( x ) = 0 + x - x ² + 0 + x ⁴ + 0 + 0 + 0 - x ⁸ + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + x ¹⁶ + 0 + · · ·.

Ta funkcja spełnia równanie funkcyjne:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {rcl} F (x) & = & \ Displaystyle xx ^ {2} + x ^ {4} -x ^ {8} + \ cdots \\ [1em] & = & \ styl wyświetlania x-\lewo[(x^{2})-(x^{2})^{2}+(x^{2})^{4}-\cdots \prawo]\\[1em]&= &\displaystyle xF(x^{2}).\end{tablica}}}$

Z tego równania funkcjonalnego wynika, że ​​F ( x ) z grubsza oscyluje wokół ¹ ⁄ ₂ , gdy x zbliża się do 1. Aby udowodnić, że amplituda oscylacji jest różna od zera, pomaga rozdzielić F na część dokładnie okresową i aperiodyczną:

${\ Displaystyle F (x) = \ psi (x) + \ Phi (x)}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ Phi (x) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {n}} {n !(1+2^{n})}}\left(\log {\frac {1}{x}}\right)^{n}}$

spełnia to samo równanie funkcjonalne co F . Oznacza to teraz, że Ψ( x ) = −Ψ( x ² ) = Ψ( x ⁴ ) , więc Ψ jest funkcją okresową loglog(1/ x ). Ponieważ dy (s.77) mówi o „innym rozwiązaniu” i „zwykle niestałym”, chociaż technicznie nie dowodzi, że F i Φ są różne.</ref> Ponieważ część Φ ma granicę ¹ ⁄ ₂ , F również oscyluje.

Separacja łusek

Mając dowolną funkcję φ(x) taką, że φ(0) = 1, a pochodna φ jest całkowalna po (0, +∞), to uogólniona suma φ szeregu Grandiego istnieje i jest równa ¹ ⁄ ₂ :

${\ Displaystyle S _ {\ varphi} = \ lim _ {\ delta \ downarrow 0} \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ {k} \ varphi (\ delta k) = {\ ułamek {1}{2}}.}$

Sumę Cesaro lub Abela uzyskuje się, pozwalając φ być odpowiednio funkcją trójkątną lub wykładniczą. Jeśli dodatkowo założy się, że φ jest w sposób ciągły , to twierdzenie można udowodnić, stosując twierdzenie o wartości średniej i przekształcając sumę w całkę. Krótko:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {rcl} S _ {\ varphi} & = & \ Displaystyle \ lim _ {\ delta \ downarrow 0} \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} \ lewo [\ varphi (2k\delta )-\varphi (2k\delta +\delta )\right]\\[1em]&=&\displaystyle \lim _{\delta \downarrow 0}\sum _{k=0}^{\ infty }\varphi '(2k\delta +c_{k})(-\delta )\\[1em]&=&\displaystyle -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\ infty }\varphi '(x)\,dx=-{\frac {1}{2}}\varphi (x)|_{0}^{\infty}={\frac {1}{2}}. \end{tablica}}}$

Suma Borela

Suma Borela szeregu Grandiego wynosi ponownie ¹ ⁄ ₂ , ponieważ

${\ Displaystyle 1-x + {\ Frac {x ^ {2}} {2!}} - {\ Frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ Frac {x ^ {4}}{4!}}-\cdots =e^{-x}}$

I

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {-x} e ^ {-x} \, dx = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {-2x} \, dx ={\frac {1}{2}}.}$

Szereg można również zsumować metodami uogólnionymi (B, r).

Widmowa asymetria

Wpisy w szeregu Grandiego można sparować z wartościami własnymi nieskończenie wymiarowego operatora w przestrzeni Hilberta . Nadanie szeregowi takiej interpretacji rodzi ideę asymetrii widmowej , która występuje powszechnie w fizyce. Wartość, do której sumuje się szereg, zależy od asymptotycznego zachowania wartości własnych operatora. Zatem niech na przykład $będzie$ ciągiem zarówno dodatnich, jak i Szereg Grandiego odpowiada sumie formalnej

${\ Displaystyle \ suma _ {n} \ operatorname {sgn} (\ omega _ {n}) \;}$

gdzie ${\ Displaystyle \ operatorname {sgn} (\ omega _ {n}) = \ pm 1}$ jest znakiem wartości własnej. Szeregom można nadać konkretne wartości, biorąc pod uwagę różne granice. Na przykład regulator jądra ciepła prowadzi do sumy

${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do 0} \ suma _ {n} \ nazwa operatora {sgn} (\ omega _ {n}) e ^ {- t | \ omega _ {n}|}}$

który w wielu interesujących przypadkach jest skończony dla niezerowego t i zbiega się do skończonej wartości w granicy.

Metody, które zawodzą

Metoda funkcji całkowych z p _n = exp (− cn ² ) i c > 0.

Metoda stałej momentu z

${\ Displaystyle d \ chi = e ^ {- k (\ log x) ^ {2}} x ^ {- 1} dx}$

i k > 0.

Seria geometryczna

Szeregi geometryczne w ${\ Displaystyle (x-1)}$ ,

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {x}} = 1- (x-1) + (x-1) ^ {2} - (x-1) ^ {3} + (x-1) ^ {4 }-...}$

jest zbieżny dla ${\ displaystyle | x-1 | <1}$ . Formalne podstawienie dałoby ${\ displaystyle x = 2}$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} = 1-1 + 1-1 + 1-...}$

Jednak ${\ displaystyle x = 2}$ znajduje się poza promieniem zbieżności, ${\ displaystyle | x-1| <1}$ , więc nie można wyciągnąć takiego wniosku.

Notatki

• Bromwich, TJ (1926) [1908]. Wprowadzenie do teorii nieskończonych szeregów (wyd. 2e).
•   Davis, Harry F. (maj 1989). Szeregi Fouriera i funkcje ortogonalne . Dover. ISBN 978-0-486-65973-2 .
•   Hardy, GH (1949). Seria rozbieżna . Prasa Clarendona. LCC QA295 .H29 1967 .
•    Kline, Morris (listopad 1983). „Serie Eulera i nieskończone”. Magazyn Matematyczny . 56 (5): 307–314. CiteSeerX 10.1.1.639.6923 . doi : 10.2307/2690371 . JSTOR 2690371 .
•    Saichev, AI & WA Woyczyński (1996). Dystrybucje w naukach fizycznych i inżynierskich, tom 1 . Birkhauser. ISBN 978-0-8176-3924-2 . LCC QA324.W69 1996 .
•   Smail, Lloyd (1925). Historia i streszczenie teorii sumowalnych procesów nieskończonych . University of Oregon Press. LCC QA295 .S64 .
• Weidlich, John E. (czerwiec 1950). Metody sumowania szeregów rozbieżnych . Prace magisterskie ze Stanforda.