Historia serii Grandiego

Główny artykuł: seria Grandiego

Geometria i nieskończone zera

Grandi

Guido Grandi (1671–1742) podobno przedstawił uproszczony opis serii w 1703 r. Zauważył, że wstawianie nawiasów w 1 - 1 + 1 - 1 + · · · dawało różne wyniki: albo

${\ Displaystyle (1-1) + (1-1) + \ cdots = 0}$

Lub

${\ Displaystyle 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + \ cdots = 1.}$

Wyjaśnienie tego zjawiska przez Grandiego stało się dobrze znane ze swojego religijnego podtekstu:

Umieszczając nawiasy w wyrażeniu 1 − 1 + 1 − 1 + · · · na różne sposoby, mogę, jeśli chcę, otrzymać 0 lub 1. Ale wtedy idea stworzenia ex nihilo jest całkowicie prawdopodobna .

W rzeczywistości szereg nie był dla Grandiego bezczynnym tematem i nie sądził, by sumował się do 0 lub 1. Raczej, podobnie jak wielu matematyków, uważał, że prawdziwa wartość szeregu wynosi 1 ^⁄ 2 _dla odmiany powodów.

(1, ¹ ⁄ ₂ ) na wiedźmie Agnesi

Matematyczne traktowanie Grandiego 1 - 1 + 1 - 1 + · · · występuje w jego książce Quadratura circula et hyperbolae per infinitas hyperbolas geometrice Exhibitiona z 1703 roku . Szeroko interpretując pracę Grandiego, wyprowadził 1 - 1 + 1 - 1 + · · · = ¹ / ₂ poprzez rozumowanie geometryczne związane z jego badaniem wiedźmy z Agnesi . XVIII-wieczni matematycy natychmiast przetłumaczyli i podsumowali jego argumentację w kategoriach analitycznych: dla tworzącego się koła o średnicy a równanie wiedźmy y = a ³ /( a ² + x ² ) ma rozwinięcie szeregu

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{a^{2n-1}}}=a-{\frac {x^{2}}{a}}+{\frac {x^{4}}{a^{3}}}-{\frac {x^{6}}{a^{5}}}+\cdots }$

i ustawienie a = x = 1, jeden ma 1 - 1 + 1 - 1 + · · · = ¹ ⁄ ₂ .

• Według Morrisa Kline'a Grandi zaczął od rozwinięcia dwumianowego

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {1 + x}} = 1-x + x ^ { 2}-x^{3}+\cdots }$

i podstawiliśmy x = 1, aby otrzymać 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = ¹ ⁄ ₂ . Grandi „argumentował również, że skoro suma wynosiła zarówno 0, jak i ¹ / ₂ , udowodnił, że świat można stworzyć z niczego”.

Grandi zaproponował nowe wyjaśnienie, że 1 - 1 + 1 - 1 + · · · = ¹ / ₂ w 1710 r., Zarówno w drugim wydaniu Quadratura circula , jak iw nowym dziele De Infinitis infinitorum, et nieskończony parvorum ordinibus disquisitio geometrica . Dwaj bracia odziedziczyli bezcenny klejnot po swoim ojcu, którego wola zabrania im sprzedaży go, więc zgadzają się, że będzie on przebywał w swoich muzeach przez kolejne lata. Jeśli ta umowa będzie obowiązywać przez całą wieczność między potomkami brata, wówczas obie rodziny będą miały połowę posiadania klejnotu, mimo że nieskończenie często przechodzi on z rąk do rąk. Argument ten został później skrytykowany przez Leibniza.

Przypowieść o klejnocie jest pierwszym z dwóch dodatków do dyskusji na temat następstwa, które Grandi dodał do drugiego wydania. Drugi powtarza związek między serią a stworzeniem wszechświata przez Boga:

Sed inquies: aggregatum ex infinitis differentiis infinitarum ipsi DV æqualium, sive continuè, sive alternè sumptarum, est demum summa ex infinitis nullitatibus, seu 0, quomodo ergo quantitatem notabilem aggreget? At repono, eam Infiniti vim agnoscendam, ut etiam quod per se nullum est multiplicando, in aliquid commutet, sicuti finitam magnitudiné dywidendo, in nullam degenerare cogit: unde per infinitam Dei Creatoris potentiam omnia ex nihlo facta, omniaque in nihilum redigi posse: neque adeò absurdum esse, quantitatem aliquam, ut ita dicam, creari per infinitam vel multiplicationem, vel addyment ipsius nihili, aut quodvis kwantowej nieskończoności podziału, aut subductione in nihilum redigit.

Marchettiego

Po opublikowaniu przez Grandiego drugiego wydania Kwadratury , jego rodak Alessandro Marchetti stał się jednym z jego pierwszych krytyków. Jeden z historyków twierdzi, że motywacją Marchettiego była bardziej zazdrość niż jakikolwiek inny powód. Marchetti uznał twierdzenie, że nieskończona liczba zer może sumować się do skończonej ilości, za absurd, i wywnioskował z traktowania Grandiego o niebezpieczeństwie, jakie stwarza rozumowanie teologiczne. Dwaj matematycy zaczęli atakować się nawzajem serią listów otwartych; ich debata zakończyła się dopiero śmiercią Marchettiego w 1714 roku.

Leibniza

Z pomocą i zachętą Antonio Magliabechiego , Grandi wysłał kopię Quadratury z 1703 roku do Leibniza wraz z listem wyrażającym komplementy i podziw dla pracy mistrza. Leibniz otrzymał i przeczytał to pierwsze wydanie w 1705 roku i nazwał je nieoryginalną i mniej zaawansowaną „próbą” swojego rachunku różniczkowego. Traktowanie przez Grandiego 1 - 1 + 1 - 1 + · · · zwróciło uwagę Leibniza dopiero w 1711 r., Pod koniec jego życia, kiedy Christian Wolff wysłał mu list w imieniu Marchettiego, opisując problem i prosząc o opinię Leibniza.

Tło

Już w 1674 roku w mniejszym, mniej znanym piśmie De Triangulo Harmonico na trójkącie harmonicznym Leibniz wymienił 1 - 1 + 1 - 1 + · · · bardzo krótko w przykładzie:

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {1 + 1}} = {\ Frac {1} {1}} - {\ Frac {1} {1}}. \; \ operatorname {Ergo} \; { \frac {1}{1+1}}=1-1+1-1+1-1\;\mathrm {etc.} }$

Przypuszczalnie doszedł do tej serii przez wielokrotne podstawienie:

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {1 + 1}} = 1- (1- {\ Frac {1} {1 + 1}})}$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {1} {1 + 1}} = 1- (1- (1- (1- {\frac {1}{1+1}}))}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {1 + 1}} = 1 - (1- (1 -(1-(1-(1-{\frac {1}{1+1}}))))}}$

I tak dalej.

Szereg 1 − 1 + 1 − 1 + · · · pojawia się także pośrednio w dyskusji z Tschirnhausem w 1676 r.

Leibniz rozważał już rozbieżne szeregi naprzemienne 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - · · · już w 1673 r. W tym przypadku argumentował, że odejmowanie po lewej lub po prawej stronie można uzyskać dodatnie lub ujemne nieskończoność, a zatem obie odpowiedzi są błędne i całość powinna być skończona. Dwa lata później Leibniz sformułował pierwszy test zbieżności w historii matematyki, test szeregów naprzemiennych , w którym pośrednio zastosował współczesną definicję zbieżności.

Rozwiązania

Początek opublikowanego listu Leibniza-Wolffa

W 1710 roku Leibniz opisał serie Grandiego w swojej korespondencji z kilkoma innymi matematykami. Listem, który wywarł największy wpływ, była jego pierwsza odpowiedź do Wolffa, którą opublikował w „ Acta Eruditorum” . W tym liście Leibniz zaatakował problem z kilku punktów widzenia.

Ogólnie rzecz biorąc, Leibniz uważał, że algorytmy rachunku różniczkowego były formą „ślepego rozumowania”, które ostatecznie musiało opierać się na interpretacjach geometrycznych. Dlatego zgodził się z Grandim, że 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = ¹ / ₂ , twierdząc, że relacja jest dobrze uzasadniona, ponieważ istnieje dowód geometryczny.

Z drugiej strony Leibniz ostro skrytykował przykład Grandiego dotyczący wspólnego klejnotu, twierdząc, że seria 1 − 1 + 1 − 1 + · · · nie ma związku z fabułą. Zwrócił uwagę, że przez dowolną skończoną, parzystą liczbę lat bracia mają równe posiadanie, ale suma odpowiednich wyrazów szeregu wynosi zero.

Leibniz uważał, że argument z 1/(1 + x ) jest ważny; wziął to za przykład swojego prawa ciągłości . Skoro zależność 1 − x + x ² − x ³ + · · · = 1/(1 + x ) zachodzi dla wszystkich x mniejszych niż 1, powinna również zachodzić dla x równego 1. Mimo to Leibniz uważał, że sumę szeregu 1 − 1 + 1 − 1 + · · · powinno się umieć znaleźć bezpośrednio, bez konieczności odwoływania się do wyrażenia 1/(1 + x ), z którego pochodzi. Takie podejście może wydawać się oczywiste we współczesnych standardach, ale jest to znaczący krok z punktu widzenia historii sumowania szeregów rozbieżnych. W XVIII wieku badanie szeregów było zdominowane przez szeregi potęgowe, a sumowanie szeregu liczbowego przez wyrażenie go jako f (1) szeregu potęgowego jakiejś funkcji uważano za najbardziej naturalną strategię.

Leibniz zaczyna od zaobserwowania, że ​​​​biorąc parzystą liczbę wyrazów z szeregu, ostatni wyraz to -1, a suma wynosi 0:

1 - 1 = 1 - 1 + 1 - 1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 = 0.

Biorąc nieparzystą liczbę wyrazów, ostatni wyraz wynosi +1, a suma wynosi 1:

1 = 1 - 1 + 1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1.

Otóż ​​nieskończony szereg 1 − 1 + 1 − 1 + · · · nie ma ani parzystej, ani nieparzystej liczby wyrazów, więc nie daje ani 0, ani 1; wyprowadzając serię do nieskończoności, staje się ona czymś pomiędzy tymi dwiema opcjami. Nie ma więcej powodów, dla których szereg powinien przyjmować jedną wartość niż drugą, więc teoria „prawdopodobieństwa” i „prawa sprawiedliwości” nakazują przyjąć średnią arytmetyczną 0 i 1, czyli (0 + 1 ) / 2 = 1/2.

Eli Maor mówi o tym rozwiązaniu: „Takie bezczelne, nieostrożne rozumowanie rzeczywiście wydaje się nam dzisiaj niewiarygodne…” Kline przedstawia Leibniza jako bardziej skrępowanego: „Leibniz przyznał, że jego argument był bardziej metafizyczny niż matematyczny, ale powiedział, że jest bardziej metafizyczny prawdy w matematyce, niż jest to powszechnie uznawane”.

Charles Moore rozmyśla, że ​​Leibniz nie miałby takiego zaufania do swojej strategii metafizycznej, gdyby nie dawała ona takiego samego rezultatu (mianowicie _1/2 ) ^, jak inne podejścia. Z matematycznego punktu widzenia nie był to przypadek: leczenie Leibniza byłoby częściowo uzasadnione, gdy w 1880 r. ostatecznie udowodniono zgodność technik uśredniania i szeregów potęgowych.

Reakcje

Kiedy po raz pierwszy podniósł Leibnizowi kwestię serii Grandiego, Wolff wraz z Marchettim był skłonny do sceptycyzmu. Po przeczytaniu odpowiedzi Leibniza w połowie 1712 r. Wolff był tak zadowolony z rozwiązania, że ​​starał się rozszerzyć metodę średniej arytmetycznej na bardziej rozbieżne szeregi, takie jak 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - · · · . Intuicja Leibniza uniemożliwiła mu tak daleko idące naciąganie rozwiązania i odpisał, że pomysł Wolffa był interesujący, ale nieważny z kilku powodów. Po pierwsze, wyrazy sumowalnego szeregu powinny spaść do zera; nawet 1 − 1 + 1 − 1 + · · · można wyrazić jako granicę takiego szeregu.

Leibniz opisał szeregi Grandiego wraz z ogólnym problemem zbieżności i rozbieżności w listach do Mikołaja I Bernoulliego w 1712 i na początku 1713 roku. J. Dutka sugeruje, że ta korespondencja, wraz z zainteresowaniem Mikołaja I Bernoulliego prawdopodobieństwem, zmotywowała go do sformułowania petersburskiego paradoks , inna sytuacja obejmująca rozbieżne serie, we wrześniu 1713 r.

Według Pierre-Simona Laplace'a w jego Essai Philosophique sur les Probabilités , seria Grandiego była związana z zobaczeniem przez Leibniza „obrazu Stworzenia w jego binarnej arytmetyce”, w związku z czym Leibniz napisał list do jezuickiego misjonarza Claudio Filippo Grimaldiego, nadworny matematyk w Chinach , w nadziei, że zainteresowanie Claudio Filippo Grimaldiego nauką i matematycznym „emblematem stworzenia” może połączyć się i nawrócić naród na chrześcijaństwo . Laplace zauważa: „Zapisuję tę anegdotę tylko po to, by pokazać, jak dalece przesądy dzieciństwa mogą wprowadzić w błąd największych ludzi”.

Rozbieżność

Jakub Bernoulli

Początek Positiones część 3, przedrukowany w 1744 roku

Jacob Bernoulli (1654–1705) zajął się podobną serią w 1696 r. w trzeciej części swojego Positiones arithmeticae de seriebus infinitis . Stosując metodę Nicholasa Mercatora do dzielenia długich wielomianów do stosunku k /( m + n ) , zauważył, że zawsze mamy resztę. Jeśli m > n , to ta reszta maleje i „ostatecznie jest mniejsza niż jakakolwiek dana ilość”, a jedna ma

${\ Displaystyle {\ Frac {k} {m + n}} = {\ Frac {k} {m}} - {\ Frac {kn} {m ^ {2}}} + {\ Frac {kn ^ {2 }}{m^{3}}}-{\frac {kn^{3}}{m^{4}}}+\cdots .}$

Jeśli m = n , to równanie staje się

${\ Displaystyle {\ Frac {k} {2m}} = {\ Frac {k} {m}} - {\ Frac {k} {m}} + {\ Frac {k} {m}} - {\ Frac {k}{m}}+\cdots .}$

Bernoulli nazwał to równanie „nieeleganckim paradoksem”.

Varignon

Pierre Varignon (1654–1722) omówił serię Grandiego w swoim raporcie Précautions à prendre dans l'usage des Suites ou Series infinies résultantes… . Pierwszym celem tego artykułu było zwrócenie uwagi na rozbieżności szeregów Grandiego i rozwinięcie leczenia Jacoba Bernoulliego z 1696 roku.

(Matematyka Varignona…)

Ostateczna wersja artykułu Varignona jest datowana na 16 lutego 1715 r. I ukazała się w tomie Mémories of the French Academy of Sciences , który sam został opublikowany dopiero w 1718 r. Jak na tak stosunkowo późne potraktowanie serii Grandiego, zaskakujące jest, że Raport Varignona nawet nie wspomina o wcześniejszej pracy Leibniza. Ale większość środków ostrożności została napisana w październiku 1712 r., kiedy Varignon przebywał poza Paryżem . Książka Abbé Poignarda z 1704 r. O magicznych kwadratach , Traité des Quarrés sublimes , stał się popularnym tematem w całej Akademii, a drugie poprawione i rozszerzone wydanie ważyło 336 stron. Aby znaleźć czas na przeczytanie Traité , Varignon musiał uciekać na wieś na prawie dwa miesiące, gdzie we względnej izolacji pisał na temat serii Grandiego. Po powrocie do Paryża i zameldowaniu się w Akademii Varignon wkrótce odkrył, że wielki Leibniz rządził na korzyść Grandiego. Po oddzieleniu od swoich źródeł, Varignon nadal musiał zrewidować swój artykuł, sprawdzając i włączając cytat Jacoba Bernoulliego. Zamiast brać pod uwagę pracę Leibniza, Varignon wyjaśnia w dopisku do swojego raportu, że cytat był jedyną poprawką, jakiej dokonał w Paryżu, i że jeśli pojawiły się inne badania na ten temat, jego przemyślenia na ten temat będą musiały poczekać na przyszły raport.

(Listy między Varignonem a Leibnizem…)

W Encyclopédie z 1751 r . Jean le Rond d'Alembert powtarza pogląd, że rozumowanie Grandiego oparte na podziale zostało obalone przez Varignona w 1715 r. (Właściwie d'Alembert przypisuje problem „ Guido Ubaldusowi ”, błądowi, który wciąż jest czasami propagowany Dzisiaj.)

Riccatiego i Bougainville'a

W liście z 1715 r. do Jacopo Riccatiego Leibniz poruszył kwestię serii Grandiego i ogłosił swoje własne rozwiązanie w Acta Eruditorum . Później Riccati skrytykował argument Grandiego w jego Saggio intorno al sistema dell'universo z 1754 roku , mówiąc, że powoduje on sprzeczności. Twierdzi, że równie dobrze można by napisać n − n + n − n + · · · = n /(1 + 1), ale że ta seria ma „taką samą liczbę zer” jak seria Grandiego. Te zera nie mają żadnego zanikającego charakteru n , ponieważ Riccati zwraca uwagę, że równość 1 - 1 = n - n jest gwarantowana przez 1 + n = n + 1. Dochodzi do wniosku, że podstawowym błędem jest użycie szeregu rozbieżnego na początek:

W rzeczywistości nie zdarza się tak, że jeśli zatrzymamy ten szereg, to następne wyrazy można pominąć w porównaniu z wyrazami poprzedzającymi; ta właściwość jest weryfikowana tylko dla szeregu zbieżnego”.

Inna publikacja z 1754 r. Również skrytykowała serię Grandiego na podstawie jej upadku do 0. Louis Antoine de Bougainville krótko omawia tę serię w swoim uznanym podręczniku z 1754 r. Traité du calcul integral . Wyjaśnia, że ​​szereg jest „prawdziwy”, jeśli jego suma jest równa wyrażeniu, z którego jest rozwinięty; w przeciwnym razie jest to „fałszywe”. Zatem szereg Grandiego jest fałszywy, ponieważ 1/(1 + 1) = 1/2 , a jeszcze (1 − 1) + (1 − 1) + · · · = 0 .

Eulera

Leonhard Euler traktuje 1 - 1 + 1 - 1 + · · · wraz z innymi rozbieżnymi seriami w swoim De seriebus divergentibus , artykule z 1746 r., Który został odczytany Akademii w 1754 r. I opublikowany w 1760 r. Identyfikuje serię jako pierwszą rozważaną przez Leibniz i dokonuje przeglądu argumentu Leibniza z 1713 r. opartego na szeregu 1 − a + a ² − a ³ + a ⁴ − a ⁵ + · · · , nazywając to „dość rozsądnym rozumowaniem”, a także wspomina o parzystym / nieparzystym argumencie mediany. Euler pisze, że typowym zarzutem wobec użycia 1/(1 + a ) jest to, że nie jest ono równe 1 − a + a ² − a ³ + a ⁴ − a ⁵ + · · · chyba że a jest mniejsze od 1; w przeciwnym razie wszystko, co można powiedzieć, to to

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {1 + a}} = 1-a + a ^ {2}-a^{3}+\cdots \pm a^{n}\mp {\frac {a^{n+1}}{1+a}},}$

gdzie ostatnia reszta nie znika i nie można jej pominąć, gdy n dąży do nieskończoności. Wciąż pisząc w trzeciej osobie, Euler wspomina o możliwym odrzuceniu zarzutu: zasadniczo, ponieważ nieskończony szereg nie ma ostatniego wyrazu, nie ma miejsca na resztę i należy ją zaniedbać. Po przejrzeniu bardziej rozbieżnych serii, takich jak 1 + 2 + 4 + 8 + · · · , w których ocenia, że ​​​​jego przeciwnicy mają mocniejsze poparcie, Euler stara się zdefiniować problem:

Jednak bez względu na to, jak istotny wydaje się być ten konkretny spór, żadna ze stron nie może zostać skazana za żaden błąd przez drugą stronę, ilekroć w analizie pojawia się użycie takich szeregów, a to powinno być mocnym argumentem, że żadna ze stron nie jest w błędzie, ale że wszelkie nieporozumienia są wyłącznie werbalne. Bo jeśli w obliczeniach dojdę do tego szeregu 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 itd. i jeśli w jego miejsce wstawię 1/2, nikt nie zarzuci mi słusznie błędu, który jednak każdy by miał W miejsce tej serii umieściłem inną liczbę. Stąd nie może pozostać żadna wątpliwość, że w rzeczywistości szereg 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + itd. a ułamek 1/2 są wielkościami równoważnymi i że zawsze można bezbłędnie zastąpić jedną drugą. Tak więc całe pytanie sprowadza się do tego, czy nazywamy ułamek 1/2 poprawną sumą 1 - 1 + 1 - 1 + itd .; i należy się mocno obawiać, że ci, którzy upierają się przy zaprzeczaniu temu, a jednocześnie nie mają odwagi zaprzeczyć równoważności, wdali się w bitwę na słowa. Ale myślę, że wszystkie te kłótnie można łatwo zakończyć, jeśli uważnie zajmiemy się tym, co następuje…

Euler użył również skończonych różnic do ataku 1 − 1 + 1 − 1 + · · · . We współczesnej terminologii wziął transformatę Eulera sekwencji i stwierdził, że jest ona równa ¹ ⁄ ₂ . Jeszcze w 1864 roku De Morgan twierdzi, że „ta transformacja zawsze wydawała się jednym z najsilniejszych założeń na korzyść 1 - 1 + 1 -… bycia ¹ / ₂ ”.

Rozcieńczenie i nowe wartości

Pomimo pewnego tonu swoich artykułów, Euler wyraził wątpliwości co do rozbieżnych serii w swojej korespondencji z Mikołajem I Bernoullim. Euler twierdził, że jego próba definicji nigdy go nie zawiodła, ale Bernoulli wskazał wyraźną słabość: nie precyzuje, jak należy określić „skończone” wyrażenie, które generuje dany nieskończony szereg. Jest to nie tylko praktyczna trudność, ale teoretycznie byłoby fatalne, gdyby szereg został wygenerowany przez rozwinięcie dwóch wyrażeń o różnych wartościach. Traktowanie przez Eulera 1 - 1 + 1 - 1 + · · · opiera się na jego mocnym przekonaniu, że ¹ / ₂ jest jedyną możliwą wartością szeregu; a gdyby był inny?

W liście z 1745 roku do Christiana Goldbacha Euler twierdził, że nie zna żadnego takiego kontrprzykładu, aw każdym razie Bernoulli go nie dostarczył. Kilkadziesiąt lat później, kiedy Jean-Charles Callet w końcu podał kontrprzykład, miał on na celu 1 − 1 + 1 − 1 + · · · . Tło nowej idei zaczyna się od Daniela Bernoulliego w 1771 roku.

Daniela Bernoulliego

• Bernoulli, Daniel (1771). „De summationibus serierum quarunduam incongrue veris earumque interprete atque usu”. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae . 16 : 71–90.

Daniel Bernoulli, który przyjął argument probabilistyczny, że 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = ¹ ⁄ ₂ , zauważył, że wstawiając 0 w szereg w odpowiednich miejscach, można uzyskać dowolną wartość z przedziału od 0 do 1. W szczególności , sugerował to argument

1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 + · · · = ² ⁄ ₃ .

Calleta i Lagrange'a

W memorandum wysłanym do Josepha Louisa Lagrange'a pod koniec stulecia Callet wskazał, że 1 - 1 + 1 - 1 + · · · można również uzyskać z szeregu

${\ Displaystyle {\ Frac {1 + x} {1 + x + x ^ {2}}} = 1-x ^ {2} + x ^ {3} -x ^ {5} + x ^ {6} - x^{8}+\cdots ;}$

podstawienie x = 1 sugeruje teraz wartość ² / ₃ , a nie ¹ / ₂ . Lagrange zatwierdził zgłoszenie Calleta do publikacji w Mémoires Francuskiej Akademii Nauk , ale nigdy nie zostało ono bezpośrednio opublikowane. Zamiast tego Lagrange (wraz z Charlesem Bossutem ) podsumował pracę Calleta i odpowiedział na nią w Mémoires z 1799 roku. Bronił Eulera, sugerując, że seria Calleta powinna być napisana z 0 terminami pozostawionymi w:

${\ Displaystyle 1 + 0-x ^ {2} + x ^ {3} + 0-x ^ {5} + x ^{6}+0-x^{8}+\cdots ,}$

co zmniejsza się do

1 + 0 − 1 + 1 + 0 − 1 + 1 + 0 − 1 + · · ·

Zamiast.

19 wiek

XIX wiek jest pamiętany jako przybliżony okres w dużej mierze udanego zakazu używania szeregów rozbieżnych przez Cauchy'ego i Abla , ale szeregi Grandiego nadal pojawiały się sporadycznie. Niektórzy matematycy nie poszli w ślady Abla, głównie poza Francją, a zwłaszcza matematycy brytyjscy potrzebowali „długiego czasu”, aby zrozumieć analizę pochodzącą z kontynentu.

W 1803 roku Robert Woodhouse zaproponował, że 1 − 1 + 1 − 1 + · · · sumuje się do czegoś, co nazywa się

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {1 + 1}},}$

które można odróżnić od ¹ / ₂ . Ivor Grattan-Guinness komentuje tę propozycję: „…R. Woodhouse… pisał z godną podziwu szczerością o problemach, których nie rozumiał.… Oczywiście nie ma nic złego w definiowaniu nowych symboli, takich jak 1/1 ⁺ 1 _; ale idea jest „formalistyczna” w niepochlebnym sensie i nie odnosi się do problemu zbieżności szeregów”.

Rozumowanie algebraiczne

W 1830 roku matematyk określany tylko jako „MRS” napisał w Annales de Gergonne o technice numerycznego znajdowania punktów stałych funkcji jednej zmiennej. Jeśli można przekształcić problem w postać równania x = A + f(x) , gdzie A można dowolnie wybierać, to

${\ Displaystyle x = A + f (A + f (A + f (\ cdots)})}$

powinno być rozwiązaniem, a obcięcie tego nieskończonego wyrażenia daje sekwencję przybliżeń. I odwrotnie, biorąc pod uwagę szereg x = a − a + a − a + · · · , autor odzyskuje równanie

${\ displaystyle x = ax,}$

do którego rozwiązaniem jest ( ¹ ⁄ ₂ ) a .

MRS zauważa, że ​​przybliżenia w tym przypadku to a , 0, a , 0, …, ale nie ma potrzeby „subtelnego rozumowania” Leibniza. Ponadto argument za uśrednianiem przybliżeń jest problematyczny w szerszym kontekście. W przypadku równań, które nie mają postaci x = A + f(x) , rozwiązania MRS to ułamki ciągłe , pierwiastki ciągłe i inne wyrażenia nieskończone. W szczególności wyrażenie a / ( a / ( a / · · · ))) powinno być rozwiązaniem równania x = za / x . Tutaj MRS pisze, że na podstawie rozumowania Leibniza można pokusić się o stwierdzenie, że x jest średnią z obciętych a , 1, a , 1, …. Ta średnia wynosi (1 + a )/2 , ale rozwiązaniem równania jest pierwiastek kwadratowy z a .

Bernard Bolzano skrytykował algebraiczne rozwiązanie serii MRS. W odniesieniu do kroku

${\ Displaystyle x = aa + aa + \ cdots = a- (aa + a- \ cdots )}$

Bolzano naładowany,

Szeregi w nawiasach najwyraźniej nie mają tego samego zestawu liczb, co pierwotnie wskazane przez x , ponieważ brakuje pierwszego wyrazu a .

Ten komentarz stanowi przykład intuicyjnie atrakcyjnych, ale głęboko problematycznych poglądów Bolzano na temat nieskończoności. Sam Cantor na swoją obronę zwrócił uwagę, że Bolzano działał w czasach, gdy pojęcie liczności zbioru było nieobecne.

De Morgan i spółka

Jeszcze w 1844 r. Augustus De Morgan skomentował, że gdyby można było podać pojedynczy przypadek, w którym 1 - 1 + 1 - 1 + · · · · nie równało się ¹ / ₂ , byłby skłonny odrzucić całą teorię szeregów trygonometrycznych.

Nie spieram się z tymi, którzy odrzucają wszystko, co nie mieści się w opatrzności arytmetyki, ale tylko z tymi, którzy porzucają stosowanie nieskończenie rozbieżnych szeregów, a mimo to wydają się z pewnością stosować szeregi skończenie rozbieżne. Taka wydaje się być praktyka, zarówno w kraju, jak i za granicą. Wydają się doskonale pogodzić z 1 − 1 + 1 − 1 + · · · , ale nie mogą przyjąć 1 + 2 + 4 + · · · = −1 .

Cała struktura szeregów okresowych i całek… rozpadłaby się natychmiast, gdyby wykazano, że 1 − 1 + 1 − 1 + · · · może być jedną wielkością jako graniczną formą ₀ A - A ₁ + A ₂ − · · · i inny jako forma ograniczająca ₀ A − A ₁ + A ₂ − · · ·.

Ten sam tom zawiera artykuły Samuela Earnshawa i JR Younga dotyczące częściowo 1 − 1 + 1 − 1 + · · · . GH Hardy odrzuca oba z nich jako „niewiele więcej niż nonsens”, w przeciwieństwie do „niezwykłej mieszanki ostrości i zamieszania” De Morgana; w każdym razie Earnshaw zwrócił uwagę De Morgana następującymi uwagami:

… nie jest niczym niezwykłym owinięcie tego tematu płaszczem tajemnicy poprzez wprowadzenie zer do rozwinięcia ¹ ⁄ ₁₊₁₊₁ . Ale takie urządzenie, jakkolwiek mogłoby zadowolić oko, nie może zadowolić głowy…

De Morgan wystrzelił w 1864 roku w tym samym czasopiśmie:

Nie pochwalam wprowadzania szyfrów, by zadowolić oko, ale mnie one zawsze się przedstawiały. … ci, którzy odrzucają przypadkowe ulotne rzeczy z rutyny działania, nie mają prawa obciążać tych, którzy nie odrzucają, wprowadzeniem .

Frobenius i współczesna matematyka

Główny artykuł: Podsumowanie serii Grandiego

Ostatni artykuł naukowy motywowany przez 1 − 1 + 1 − 1 + · · · można uznać za pierwszy artykuł we współczesnej historii serii rozbieżnych. Georg Frobenius opublikował artykuł zatytułowany „Ueber die Leibnitzsche Reihe” ( O serii Leibniza ) w 1880 r. Znalazł stary list Leibniza do Wolffa, cytując go wraz z artykułem Josepha Ludwiga Raabe z 1836 r ., który z kolei czerpał z pomysłów Leibniza i Daniela Bernoulliego.

Krótki artykuł Frobeniusa, zaledwie dwustronicowy, rozpoczyna się cytatem z Leibniza, który potraktował 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·. Wywnioskował, że Leibniz faktycznie stwierdzał uogólnienie twierdzenia Abla . Wynik, znany obecnie jako twierdzenie Frobeniusa, ma proste stwierdzenie we współczesnych terminach: każdy szereg, który można zsumować w Cesàro , można również zsumować w Abel do tej samej sumy. Historyk Giovanni Ferraro podkreśla, że ​​Frobenius w rzeczywistości nie sformułował twierdzenia w takich kategoriach, a Leibniz w ogóle go nie sformułował. Leibniz bronił asocjacji szeregu rozbieżnego 1 − 1 + 1 − 1 + · · · o wartości ¹ ⁄ ₂ , podczas gdy twierdzenie Frobeniusa wyrażone jest w postaci ciągów zbieżnych i sformułowania granicy funkcji epsilon-delta .

Wkrótce po twierdzeniu Frobeniusa dokonali dalszych uogólnień Otto Hölder i Thomas Joannes Stieltjes w 1882 r. Ponownie, współczesnemu czytelnikowi ich praca silnie sugeruje nowe definicje sumy rozbieżnych szeregów, ale autorzy ci nie zrobili jeszcze tego kroku. Ernesto Cesàro po raz pierwszy zaproponował systematyczną definicję w 1890 r. Od tego czasu matematycy badali wiele różnych metod sumowania szeregów rozbieżnych. Większość z nich, zwłaszcza te prostsze z paralelami historycznymi, sumuje szeregi Grandiego do ¹ ⁄ ₂ . Inni, zmotywowani pracą Daniela Bernoulliego, sumują serię do innej wartości, a kilku nie sumuje jej wcale.

Notatki

Cytowane źródła pierwotne

Pełne teksty wielu poniższych odnośników są publicznie dostępne w Internecie w Google Books ; archiwum Eulera w Dartmouth College ; DigiZeitschriften, serwis Deutsche Forschungsgemeinschaft ; lub Gallica, usługa Bibliothèque nationale de France .

• Bougainville, Louis Antoine de (1754). Traité du calcul intégral . Guerina i Delatoura.
• De Morgan, August (1844-03-04). „O rozbieżnych seriach i różnych punktach analizy z nimi związanych”. Transakcje Towarzystwa Filozoficznego Cambridge . 8 (2): 182–203.
•        (1864-05-16). „Twierdzenie dotyczące serii neutralnych” . Transakcje Towarzystwa Filozoficznego Cambridge . 11 (1). {{ cite journal }} : CS1 maint: wiele nazwisk: lista autorów ( link )
• Earnshaw, Samuel (1844-12-09). „O wartościach sinusa i cosinusa nieskończonego kąta”. Transakcje Towarzystwa Filozoficznego Cambridge . 8 (3): 255–268. Napisane 9 listopada 1844 r.
• Eulera, Leonharda (1755). Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum .
•        (1760). „De seriebus divergentibus” . Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae . 5 : 205–237. {{ cite journal }} : CS1 maint: wiele nazwisk: lista autorów ( link )
• Frobenius, Ferdynand Georg (1880). „Ueber die Leibnitzsche Reihe” . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 89 : 262–264. Napisany w październiku 1879 r.
• Lagrange, Joseph Louis (1801) [1796]. „Rapport sur un mémoire présenté à la classe par le citoyen Callet” . Mémoires de l'Institut des Sciences, Lettres et Arts. Sciences Mathématiques et Physiques (opublikowane 1799). 3 : 1–11.
•   Leibniz, Gottfried (2003). S. Probst; E. Knobloch; N. Gädeke (red.). Sämtliche Schriften und Briefe, Reihe 7, Band 3: 1672–1676: Differenzen, Folgen, Reihen . Akademie Verlag. ISBN 978-3-05-004003-5 . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2013-10-17 . Źródło 2007-01-23 .
• PANI (1830). „Analizuj algébrique. Uwaga sur quelques wyrażenia algébriques peu connues” . Annales de Gergonne . 20 : 352–366.
•   Raabe, Józef Ludwig (1836). "Über die Summation periodischer Reihen und die Reduction des Integrals" . Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 1836 (15): 355–364. doi : 10.1515/crll.1836.15.355 . S2CID 121199648 .
• Varignon, Pierre (1715). „Précautions à prendre dans l'usage des Suites ou Series infinies résultantes, tant de la distribution infinie des ułamki, que du Développement à l'infini des puissances d'exposants négatifs entiers” . Histoire de l'Académie Royale des Sciences : 203–225.
• Młody, John Radford (1846-12-07). „O zasadzie ciągłości w odniesieniu do niektórych wyników analizy”. Transakcje Towarzystwa Filozoficznego Cambridge . 8 (4): 429–440.

Cytowane źródła wtórne

• Bagni, Giorgio T. (2005-06-30). „Nieskończone serie od historii do edukacji matematycznej” (PDF) . International Journal for Mathematics Teaching and Learning . Zarchiwizowane od oryginału (PDF) w dniu 29.12.2006.
•        . "Appunti di Storia dla Didattica della Matematica" . {{ cite web }} : CS1 maint: wiele nazw: lista autorów ( link )
• Barbeau, EJ; PJ Leah (maj 1976). „Artykuł Eulera z 1760 r. O szeregach rozbieżnych” . Historia Matematyki . 3 (2): 141–160. doi : 10.1016/0315-0860(76)90030-6 .
• Bromwich, TJ (1926) [1908]. Wprowadzenie do teorii nieskończonych szeregów (wyd. 2e).
•   Kantor, Moritz (1965) [1901]. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik: Dritter Band Vom Jahre 1668 bis zum Jahre 1758 (wyd. 2e). Nowy Jork: Johnson Reprint Corporation. LCC QA21.C232 1965 .
•   Dutka, Jacques (marzec 1988). „O paradoksie petersburskim”. Archiwum Historii Nauk Ścisłych . 39 (1): 13–39. doi : 10.1007/BF00329984 . S2CID 121413446 .
•   Ferraro, Giovanni (czerwiec 1999). „Pierwsza współczesna definicja sumy szeregu rozbieżnego: aspekt powstania matematyki XX wieku”. Archiwum Historii Nauk Ścisłych . 54 (2): 101–135. doi : 10.1007/s004070050036 . S2CID 119766124 .
•        (2000). „Symbole analityczne i figury geometryczne w rachunku różniczkowym XVIII wieku”. Studia z historii i filozofii nauki . 32 (3): 535–555. doi : 10.1016/S0039-3681(01)00009-7 . {{ cite journal }} : CS1 maint: wiele nazwisk: lista autorów ( link )
•         (2002). „Zbieżność i formalna manipulacja szeregami od początków rachunku różniczkowego do około 1730 r.”. Roczniki nauki . 59 (2): 179–199. doi : 10.1080/00033790010028179 . S2CID 143992318 . {{ cite journal }} : CS1 maint: wiele nazwisk: lista autorów ( link )
•        (2005). „Zbieżność i manipulacja formalna w teorii szeregów od 1730 do 1815” . Historia Matematyki . 34 : 62. doi : 10.1016/j.hm.2005.08.004 . {{ cite journal }} : CS1 maint: wiele nazwisk: lista autorów ( link )
•        i Marco Pansa (luty 2003). „Rozwój w serie i powrót z serii: notatka o podstawach analizy XVIII wieku” . Historia Matematyki . 30 (1): 17–46. doi : 10.1016/S0315-0860(02)00017-4 . {{ cite journal }} : CS1 maint: wiele nazwisk: lista autorów ( link )
• Gerhardt CI (1860). Briefwechsel zwischen Leibniz und Christian Wolf aus den handschriften der Koeniglichen Bibliothek zu Hannover . Halle: HW Schmidt.
•   Grattan-Guinness, Ivor (1970). Rozwój podstaw analizy matematycznej od Eulera do Riemanna . MIT Press. ISBN 978-0-262-07034-8 .
•   Hardy, GH (1949). Seria rozbieżna . Prasa Clarendona. LCC QA295 .H29 1967 .
• Hitt, Fernando (2005). „L'Argumentation, la preuve et la demonstration dans la construction des mathématiques: des entités konfliktelles? Une lettre de Godefroy Guillaume Leibnitz à Chrétien Wolf (1713)” (PDF ) . GDM 2005: Raisonnement mathématique i formacja citoyenne . Zarchiwizowane od oryginału (PDF) w dniu 15.04.2015 r . Źródło 2015-04-10 .
•   Kline, Morris (1990) [1972]. Myśl matematyczna od starożytności do czasów współczesnych (3-tomowe wydanie ppk). Oksford UP. ISBN 978-0-19-506136-9 .
•          (listopad 1983). „Serie Eulera i nieskończone”. Magazyn Matematyczny . 56 (5): 307–314. CiteSeerX 10.1.1.639.6923 . doi : 10.2307/2690371 . JSTOR 2690371 . {{ cite journal }} : CS1 maint: wiele nazwisk: lista autorów ( link )
• Knobloch, Eberhard (2006). „Poza granicami kartezjańskimi: przejście Leibniza od matematyki algebraicznej do matematyki„ transcendentalnej ”” . Historia Matematyki . 33 : 113–131. doi : 10.1016/j.hm.2004.02.001 .
•   Knopp, Konrad (1990) [1922]. Teoria i zastosowanie nieskończonych szeregów . Dover. ISBN 978-0-486-66165-0 .
•   Maor, Eli (1987). Do nieskończoności i poza nią: kulturowa historia nieskończoności . Birkäuser. ISBN 978-3-7643-3325-6 .
•   Markuszewicz, AI (1967). Seria: podstawowe pojęcia z ekspozycją historyczną (angielskie wydanie trzecie poprawione (1961) w wydaniu rosyjskim). Pub Hindustan. Korporacja LCC QA295 .M333 1967 .
•   Mazzone, Silvia; Clara Silvia Roero (1997). Jacob Hermann i rozpowszechnienie rachunku Leibniza we Włoszech . Leo S. Olschki. ISBN 978-88-222-4555-7 .
•   Moore, Karol (1938). Szeregi sumowalne i czynniki zbieżności . AMS. LCC QA1 .A5225 V.22 .
• Pansa, Marco (1992). „La forma della quantità”. Cahiers d'Histoire de Philosophie des Sciences . 38 . Tom 1, część III, rozdz. 1, „La questione della serie di Grandi (1696 - 1715)”, s. 296–345.
•   Reiff, Richard (1969) [1889]. Geschichte der unendlichen Reihen . Martin Sändig oHG. LCC QA295 .R39 1969 . Niemieckojęzyczna praca Reiffa „Historia nieskończonych serii” jest często cytowana przez inne źródła, gdy zajmują się historią serii Grandiego. Hardy (s. 21) nazywa to „przydatnym, ale mało inspirującym i nie zawsze dokładnym”.
• Sandifer, Ed (czerwiec 2006). „Seria rozbieżna” (PDF) . Jak to zrobił Euler . MAA Online. Zarchiwizowane od oryginału (PDF) w dniu 20.03.2013 r . Źródło 2007-01-08 .
• Sbaragli, Silvia (2004). „Przekonania nauczyciela o nieskończoności matematycznej” (PDF) . Zarchiwizowane od oryginału (PDF) w dniu 31.10.2008 . Źródło 2007-01-30 .
•    Schubring, Gert (2005). Konflikty między uogólnieniem, rygorem i intuicją: koncepcje liczb leżące u podstaw rozwoju analizy w XVII-XIX-wiecznej Francji i Niemczech . Skoczek. ISBN 978-0-387-22836-5 . LCC QA300 .S377 2005 .
•   Smail, Lloyd (1925). Historia i streszczenie teorii sumowalnych procesów nieskończonych . University of Oregon Press. LCC QA295 .S64 .
•     DJ Struik , redaktor, Książka źródłowa z matematyki, 1200-1800 (Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1986). ISBN 0-691-08404-1 , ISBN 0-691-02397-2 (pbk). Zob. w szczególności s. 178–180 w odniesieniu do versiery (tj. wiedźmy z Agnesi ) i Marii Gaetana Agnesi (1718–1799) z Mediolanu, siostry kompozytorki Marii Teresy Agnesi , pierwszej ważnej kobiety matematyka od czasów Hypatii (V w. n.e.) ).
• Upham, Thomas Cogswell; Dugalda Stewarta (1831). Elementy filozofii mentalnej . Hillard, Gray & Co.
• Weidlich, John E. (czerwiec 1950). Metody sumowania szeregów rozbieżnych . Praca magisterska ze Stanforda.

Dalsza lektura

•   Ewy, Howard W. (2002). W kręgach matematycznych: wybór opowiadań i anegdot matematycznych . Stowarzyszenie Matematyczne Ameryki. ISBN 978-0-88385-542-3 .