Podwójny jednolity wielościan

Podwójny jednolity wielościan jest podwójnym jednolitym wielościanem . Tam, gdzie jednolity wielościan jest przechodni przez wierzchołek , podwójny jednolity wielościan jest przechodni przez ścianę .

Wyliczenie

Wielościany przechodnie przez ścianę obejmują zbiór 9 regularnych wielościanów, dwa skończone zbiory zawierające 66 nieregularnych wielościanów i dwa nieskończone zbiory:

• 5 foremnych wypukłych brył platońskich , które są dualne względem siebie (regularny czworościan jest swoim własnym dualem).
• 4 regularne gwiazdy Keplera-Poinsota , które są dualne względem siebie.
• 13 wypukłych katalońskich brył , które są podwójne do jednorodnych wypukłych brył Archimedesa .
• 53 gwiazdowe wielościany, które są podwójne do jednolitych wielościanów gwiazdowych .
• Nieskończona seria bipiramid , które są podwójne do jednorodnych pryzmatów , zarówno wypukłych, jak i gwiaździstych.
• Nieskończone serie trapezów , które są podwójne do jednolitych antygraniastosłupów , zarówno wypukłych, jak i gwiazdowych.

Pełny zestaw opisał Wenninger wraz z instrukcjami konstruowania modeli w swojej książce Dual Models .

Konstrukcja Dormana Luke'a

W przypadku jednorodnego wielościanu każdą ścianę podwójnego wielościanu można wyprowadzić z odpowiadającej mu figury wierzchołków wielościanu za pomocą konstrukcji Dormana Luke'a .

Jako przykład, poniższa ilustracja przedstawia rysunek wierzchołka (czerwony) ośmiościanu sześciennego, który jest używany do wyprowadzenia odpowiadającej mu ściany (niebieski) dwunastościanu rombowego .

Konstrukcja Dormana Luke'a przebiega w następujący sposób:

1. Zaznacz punkty A , B , C , D każdej krawędzi połączonej z wierzchołkiem V (w tym przypadku punkty środkowe) tak, że VA = VB = VC = VD .
2. Narysuj figurę wierzchołka ABCD .
3. Narysuj okrąg na ABCD .
4. Narysuj linię styczną do okręgu opisanego na każdym rogu A , B , C , D .
5. Zaznacz punkty E , F , G , H , w których spotykają się dwie sąsiednie styczne.

Odcinki linii EF , FG , GH , HE są już narysowane jako części linii stycznych. Wielokąt EFGH jest ścianą wielościanu podwójnego, który odpowiada pierwotnemu wierzchołkowi V .

W tym przykładzie rozmiar figury wierzchołka został dobrany tak, aby jego okrąg opisany leżał na międzysferze ośmiościanu sześciennego, który również staje się międzysferą podwójnego dwunastościanu rombowego. Konstrukcję Dormana Luke'a można zastosować tylko wtedy, gdy wielościan ma taką interkulę, że figura wierzchołka ma okrąg opisany. Na przykład można go zastosować do jednolitych wielościanów .

Zobacz też

• Lista jednolitych wielościanów

Notatki

•   Cundy, H.Martyn ; Rollett, AP (1961), Modele matematyczne (wyd. 2), Oxford: Clarendon Press, MR 0124167 .
•   Gailiunas, P.; Sharp, J. (2005), „Dwoistość wielościanów”, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology , 36 (6): 617–642, doi : 10.1080/00207390500064049 , S2CID 120818796 .
•   Wenninger, Magnus (1974). Modele wielościanów . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 0-521-09859-9 .
•   Wenninger, Magnus (1983). Modele dualne . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 0-521-54325-8 .