Polimatroid

W matematyce polimatroid jest politopem powiązanym z funkcją submodularną . Pojęcie to zostało wprowadzone przez Jacka Edmondsa w 1970 roku . Jest również opisywane jako wielozbiórowy analog matroidu .

Definicja

Niech $_$$zbiorem$ skończonym i niemalejącą , _ _ , dla każdego $\ Displaystyle$$subseteq$ dla mi { ${\ Displaystyle A, B \ subseteq E}$ mamy ${\ Displaystyle f (A) + f (B )\geq f(A\kubek B)+f(A\nasadka B)}$ . Definiujemy polimatroid powiązany z następującym Polytope : ${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle P_ {f} = {\ Duży \ {}{\textbf {x}} \ in \ mathbb {R} _ {+ }^{E}~{\Big |}~\sum _{e\in U}{\textbf {x}}(e)\leq f(U),\forall U\subseteq E{\Big \}} }$ .

Kiedy pozwolimy, aby wpisy funkcji $}$ ujemne, oznaczamy ten politetop przez i nazywamy go rozszerzonym polimatroidem powiązanym z $EP_ {f$$displaystyle$$f}$ .

Równoważna definicja

Niech będzie zbiorem skończonym i ${\ displaystyle {\textbf {u}}, {\textbf {v}}\in \mathbb {R} ^{E$$}$ . Nazywamy modułem sumą wszystkich jego wpisów $oznaczonych$${\ Displaystyle | {\textbf {u}} |}$ i oznaczają ${\ Displaystyle {\textbf {u}} \ równoważnik {\textbf {v}}}$ kiedykolwiek ${\ Displaystyle v_ {i} -u_ {i} \ geq 0}$ dla każdego ${\ displaystyle i \ w E}$ (zauważ, że daje to porządek R $\ displaystyle \ mathbb { R} _{+}^{E}}$ ). Zestaw polimatroidowy na ziemi jest niepustym zwartym podzbiorem w $}$$\$ displaystyle \ mathbb { ${ +} ^ {E$ , zbiór niezależnych wektorów, taki, że:

1. Mamy to, jeśli dla każdego $tekstbf {u}} \ równoważnik {\textbf {v}}}$$v}}\in P}$${$$\ textbf$ :
2. Jeśli ${\ displaystyle {\textbf {u}}, {\textbf {v}}\w P}$ z $,$$wtedy$ wektor że ${\ Displaystyle {\textbf {u}<{\textbf {w}}\równoważnik (\max\{u_{1},v_{1}\},\kropki,\max\{u_ {|E |},v_{|E|}\})}$ .

${\ Displaystyle f (A) = \ max {\ Duży \ {} \ suma _ {i \ w A} {\textbf {v}} (i) ~ {\ Duży |} ~ {\textbf { v}} \ w P. {\ duży \}}}$ równoważna definicji opisanej wcześniej, gdzie jest funkcją zdefiniowaną przez $ZA$ dla każdego ${\ displaystyle A \ podzbiór E}$ .

Związek z matroidami

${\ Displaystyle P_ {M} = \ {{\textbf {w}} _ {F} ~|~F \ w M \}} , gdzie dla każdego ja ∈ mi {\ displaystyle$ każdego matroidu ziemi możemy $M$$}$ i $}$ mamy to

${\ Displaystyle {\textbf {w}} _ {F} (i) = {\ początek {przypadków} 1, i i \ w F; \\ 0, i ja \ nie \ w F. \ koniec {przypadki}}}$

Biorąc wypukły kadłub, $otrzymujemy$$rangi$ sensie drugiej definicji, powiązaną z .

Związek z uogólnionymi permutaedrami

Ponieważ uogólnione permutaedry można skonstruować z funkcji submodularnych, a każdy uogólniony permutahedr ma powiązaną funkcję submodularną, uważamy, że powinna istnieć zgodność między uogólnionymi permutaedrami i polimatroidami. W rzeczywistości każdy polimatroid jest uogólnionym permutahedrem, który został przetłumaczony tak, aby miał wierzchołek w początku. Wynik ten sugeruje, że informacje kombinatoryczne o polimatroidach są wspólne z uogólnionymi permutaedrami.

Nieruchomości

$}}$$f(\emptyset )\geq 0$${\ displaystyle f$ jest niepusty wtedy i tylko wtedy, gdy $geq$ że jest wtedy i tylko wtedy .

$} styl wyświetlania EP_{f}=EP}$ uwagę dowolną rozszerzoną polimatroidę $,$ istnieje unikalna funkcja submodularna taka że ​​i $mi$$. {\ mi p$ .

Kontrapolimatroidy

Dla supermodularu f analogicznie można zdefiniować kontrapolimatroidę

${\ Displaystyle {\ Duży \ {} w \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {E} ~ {\ Duży |} ~\forall S\subseteq E,\sum _{e\in S}w(e)\geq f(S){\Big \}}}$

To analogicznie uogólnia dominację rozciągającego się wielotopu matroidów.

Dyskretne polimatroidy

Kiedy skupiamy się tylko na punktach sieci naszych polimatroidów, otrzymujemy tak zwane dyskretne polimatroidy . Formalnie rzecz biorąc, definicja dyskretnego polimatroidu $,$ dokładnie taka sama jak definicja polimatroidów, z wyjątkiem tego, gdzie będą mieszkać wektory zamiast w ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {+} ^ {E}$ } Ten obiekt kombinatoryczny jest bardzo interesujący ze względu na jego związek z ideałami jednomianowymi .

Przypisy

Dodatkowa lektura

•   Lee, Jon (2004), Pierwszy kurs optymalizacji kombinatorycznej , Cambridge University Press , ISBN 0-521-01012-8
•   Fujishige, Satoru (2005), Funkcje submodułowe i optymalizacja , Elsevier , ISBN 0-444-52086-4
•   Narayanan, H. (1997), Funkcje submodularne i sieci elektryczne , ISBN 0-444-82523-1