Ideał jednomianowy

W algebrze abstrakcyjnej ideał jednomianowy jest ideałem generowanym przez jednomiany w wielowymiarowym pierścieniu wielomianowym nad polem .

Ideał toryczny to ideał generowany przez różnice jednomianów (pod warunkiem, że ideał jest ideałem pierwszym ). Afiniczna lub rzutowa rozmaitość algebraiczna zdefiniowana przez ideał toryczny lub jednorodny ideał toryczny jest afiniczną lub rzutową rozmaitością toryczną , prawdopodobnie nienormalną .

Definicje i właściwości

Niech ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$$.$ polem i pierścieniem wielomianowym nad $Displaystyle \ mathbb {K}$ z n zmiennymi ${\ Displaystyle x = x_ {1}, x_ {2}, \ kropka, x_ {n}}$ .

Jednomian w ${\ Displaystyle R}$ jest iloczynem x $\ Displaystyle x ^ {\ alfa} = x_ {1} ^ {\ alfa _ {1} }x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}$ dla n -krotki ${\ Displaystyle \ alpha = (\ alfa _ {1}, \ alfa _ {2}, \ kropka, \ alfa _ {n}) \ w \ mathbb {N} ^ {n}} nieujemnych liczb całkowitych$ .

Następujące trzy warunki są równoważne dla ideału: ja $\ Displaystyle I \ subseteq R}$ :

1. ${\ displaystyle I}$ jest generowany przez jednomiany,
2. Jeśli $}$${\ textstyle f = \ suma _ {\ alfa \ in \ mathbb {N} ^ {n}} c_ {\ alfa} x ^ {\ alfa} \ in$$pod$$zera$ wtedy warunkiem, różny
3. ${\ Displaystyle I}$ jest ustalony torus , tj. dany ${\ Displaystyle (c_ {1}, c_ {2}, \ kropka, c_ { n}) \ in (\ mathbb {K} ^ {*}) ^ {n}}$ , wtedy ${\ displaystyle I}$ jest ustalona pod działaniem ${\ Displaystyle f (x_ {i})=c_{i}x_{i}}$ dla wszystkich ${\ displaystyle i}$ .

Mówimy, że $jest$ , jeśli spełnia którykolwiek z

Biorąc pod uwagę ideał jednomianowy ${\ Displaystyle I = (m_ {1}, m_ {2}, \ kropka, m_ {k})}$ , ${\ Displaystyle f \ in \ mathbb {K} [x_ {1}, x_ {2}, \ kropka, x_ {n}]}$ jest w $i$ tylko wtedy, gdy każdy jednomianowy termin idealny ${\ Displaystyle f_ {i}}$ z ${\ displaystyle f}$ jest wielokrotnością jednego ${\ displaystyle m_ {j}}$ .

Dowód: Załóżmy, że ${\ Displaystyle I = (m_ {1}, m_ {2}, \ kropka, m_ {k})}$ i że ${\ Displaystyle f \ w \ mathbb {K} [x_ {1}, x_ {2}, \ kropka, x_ {n}]}$ jest w ${\ displaystyle I}$ . Wtedy ${\ Displaystyle f = f_ {1} m_ {1} + f_ {2} m_ {2} + \ kropka + f_ {k} m_ {k}}$ , fa ja $\ Displaystyle f_ {i} \ w \ mathbb {K} [x_ {1}, x_ {2}, \ kropka, x_ {n$ .

Dla wszystkich $zapisać$ wyrazić każdy sumę jednomianów, tak że ja ${i}$$f_$ jako suma wielokrotności ${\ displaystyle m_ {i}}$ . Stąd $sumą$ wielokrotności terminów jednomianowych dla co najmniej $.$

I odwrotnie, niech każdy wyraz jednomianowy w ${\ Displaystyle f \ in \ mathbb {K} [x_ {1}, x_ {2}, ..., x_ {n}]}$${\ Displaystyle I = (m_ {1}, m_ {2}, \ kropka, m_ {k})}$ być wielokrotnością jednego z ${\ Displaystyle m_ { I}}$ w ${\ displaystyle I}$ . Następnie każdy wyraz jednomianowy $w$ rozłożyć na czynniki z każdego $jednomianu$ . Stąd ${\ Displaystyle f}$ ma postać ${\ Displaystyle f = c_ {1} m_ {1} + c_ {2} m_ {2} }+\dotsm +c_{k}m_{k}}$ dla pewnego ${\ Displaystyle c_ {i} \ w \ mathbb {K} [x_ {1}, x_ {2}, \ kropka, x_ {n}]}$ jako a wynik ${\ displaystyle f \ w ja}$ .

Poniżej przedstawiono przykład ideałów jednomianowych i wielomianowych.

Niech ${\ Displaystyle I = (xyz, y ^ {2})},$ a następnie wielomian ${\ Displaystyle x ^ {2} yz + 3xy ^ {2}}$ jest w I , ponieważ każdy wyraz jest wielokrotnością elementu w J , tj. można je przepisać jako ${\ Displaystyle x ^ {2} yz = x (xyz)}$ i ${\ Displaystyle 3xy ^ {2} = 3x (y ^ {2}),}$ oba w ja . Jednakże $y$$ten$ to nie jest w J , ponieważ jego warunki nie są wielokrotnościami elementów w J .

Ideały jednomianowe i diagramy Younga

Ideał jednomianowy można zinterpretować jako diagram Younga . Załóżmy, ${\ Displaystyle I \ in \ mathbb {R} [x, y]}$$to$ można interpretować w kategoriach generatorów minimalnych jednomianów jako ${\ Displaystyle I = (x ^ {a_ {1}} y ^ {b_ {1}}, x ^ {a_ {2}} y ^ {b_ {2}}, \ kropki, x ^ {a_ {k}} y ^ {b_ {k}})}$ , gdzie ${\ Displaystyle a_ {1}> a_ {2}> \ dotsm > a_ {k} \ geq 0 }$ i ${\ Displaystyle b_ {k}> \ kropka > b_ {2}> b_ {1} \ geq 0}$ . Minimalne generatory jednomianowe ${\ displaystyle I}$ można postrzegać jako wewnętrzne rogi diagramu Younga. Minimalne generatory określiłyby, gdzie narysowalibyśmy schemat schodów. Jednomiany nie w leżą wewnątrz klatki schodowej i te jednomiany tworzą podstawę przestrzeni wektorowej dla pierścienia $ilorazu$$} [x, y] / ja }$ / .

Rozważ następujący przykład. Niech ${\ Displaystyle I = (x ^ {3}, x ^ {2} y, y ^ {3}) \ podzbiór \ mathbb {R} [x,y]}$ będzie ideałem jednomianowym. Wtedy zbiór punktów siatki ${\ Displaystyle S = {\ {(3,0), (2,1), (0,3}} \} \ podzbiór \ mathbb {N} ^ {2}}$ odpowiada minimalnym jednomianowym generatorom ${\ Displaystyle x ^ {3} y ^ {0}, x ^ {2} y ^ {1}, x ^ {0} y ^ {3}}$ w ${ \displaystyle I}$ . Następnie, jak pokazano na rysunku, różowy diagram Younga składa się z jednomianów, których nie ma w ${\ displaystyle I}$ . Punkty w wewnętrznych rogach diagramu Younga pozwalają nam zidentyfikować minimalne jednomiany ${\ Displaystyle x ^ {0} y ^ {3}, x ^ {2} y ^ {1}, x ^ {3} y ^ {0}}$ w ja $\ displaystyle I}$ , jak widać w zielonych polach. Stąd ja $\ Displaystyle I = (y ^ {3}, x ^ {2} y, x ^ {3})}$ .

Diagram Younga i jego związek z ideałem jednomianowym.

Ogólnie rzecz biorąc, z dowolnym zestawem punktów siatki możemy powiązać diagram Younga, tak że ideał jednomianowy jest konstruowany poprzez określenie wewnętrznych narożników tworzących schemat schodów; podobnie, $i$ możemy stworzyć diagram Younga, patrząc na je jako diagram. Współrzędne wewnętrznych narożników reprezentowałyby potęgi minimalnych jednomianów w ${\ displaystyle I}$ . Zatem ideały jednomianowe można opisać diagramami podziału Younga.

$ja$ akcja , na zbiorze $do } [x, y]}$$\ podzbiór \$ takie, że $\ Displaystyle \ dim _ {\ mathbb {C}} \ mathbb {C} [x, y] / I = n }$ jako przestrzeń wektorowa nad ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ma stałe punkty odpowiadające tylko ideałom jednomianowym, które odpowiadają podziałom o rozmiarze n , które są identyfikowane przez diagramy Younga z n ramkami.

Porządkowanie jednomianowe i podstawa Gröbnera

Uporządkowanie jednomianowe to dobrze uporządkowane ${$ zbiorze jednomianów takie, że jeśli są jednomianami, to za $, m_ {2}}$${\ Displaystyle am_ {1} \ geq am_ {2}}$ m .

W porządku jednomianowym możemy podać następujące definicje wielomianu w ${\ Displaystyle \ mathbb {K} [x_ {1}, x_ {2}, \ kropka, x_{n}]}$ .

Definicja

1. Rozważmy ideał ${\ Displaystyle I \ podzbiór \ mathbb {K} [x_ {1}, x_ {2}, \ kropka, x_ {n}]$ } i ustalone uporządkowanie jednomianowe. Wiodący wyraz niezerowego wielomianu ${\ Displaystyle f \ in \ mathbb {K} [x_ {1}, x_ {2}, \ kropka, x_ {n }]}$ , oznaczony przez ${\ Displaystyle LT (f)}$ jest wyrazem jednomianowym maksymalnego rzędu w $Displaystyle$ terminem wiodącym jest $f = 0}$${\ Displaystyle 0$ .
2. Ideał wiodących terminów ${\ Displaystyle LT (I) = (LT (f) \ mid f \ in ja)}$$oznaczony$ przez ideału, to .
3. Podstawa Gröbnera dla ideału ${\ Displaystyle I \ podzbiór \ mathbb {K} [x_ {1}, x_ {2}, \ kropka, x_ {n} ]}$ to skończony zbiór generatorów ${\ Displaystyle {\ {g_ {1}, g_ {2}, \ kropka, g_ {s}} \}}$ dla ${ \displaystyle I}$ którego wiodące terminy generują ideał wszystkich wiodących terminów w $,$ . ${\ Displaystyle I = (g_ {1}, g_ {2} ,\kropka ,g_{s})$ i ${\ Displaystyle LT (ja) = (LT (g_ {1}), LT (g_ {2}), \ kropka, LT (g_ {s}))$ }

$,$ że ogólnie zależy na przykład, jeśli wybierzemy porządek leksykograficzny na ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [x, y]}$ z zastrzeżeniem x > y , to $2x ^ {3} y}$${\ Displaystyle LT (2x ^ {3} y + 9xy ^ {5} + 19) = 9xy ^ {5}}$ , ale jeśli weźmiemy y > x , to .

Ponadto jednomiany są obecne na podstawie Gröbnera i do zdefiniowania algorytmu dzielenia dla wielomianów z kilkoma zmiennymi.

Zauważ, że dla jednomianowego ideału ${\ Displaystyle I = (g_ {1}, g_ {2}, \dotsc ,g_{s})\in \mathbb {F} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]} , skończony zbiór$ generatorów ${\ Displaystyle {\ {g_ {1}, g_ {2}, \ kropka, g_ {s}} \}}$ jest podstawą Gröbnera dla ${\ displaystyle I}$ . Aby to zobaczyć, zauważ, że każdy wielomian ${1} g_{1}+a_{2}g_{2}+\dotsm +a_{s}g_{s}}$$za$ jako dla ${\ Displaystyle a_ {i} \ w \ mathbb {F} [x_ {1}, x_ {2}, \ kropka, x_ {n}]}$ . Wtedy wiodący termin $displaystyle$ wielokrotnością dla niektórych $g_ {i}}$ . $g_ {i$ rezultacie, podobnie generowany przez $.$

Zobacz też

• Pierścień Stanleya-Reisnera
• algebry Hodge'a

przypisy

•   Miller, Ezdrasz; Sturmfels, Bernd (2005), Kombinatoryczna algebra przemienna , Absolwent Teksty z matematyki , tom. 227, Nowy Jork : Springer-Verlag , ISBN 0-387-22356-8
•   Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Abstract Algebra (wyd. Trzecie), Nowy Jork : John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-43334-7

Dalsza lektura

• Koks, Dawid . „Wykłady o odmianach torycznych” (PDF) . Wykład 3. §4 i §5.
• Sturmfels, Bernd (1996). Podstawy Gröbnera i wypukłe politopy . Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne .
•     Taylor, Diana Kahn (1966). Ideały generowane przez jednomiany w sekwencji R (praca doktorska). Uniwersytet Chicagowski. MR 2611561 . ProQuest 302227382 .
• Teissier, Bernard (2004). Ideały jednomianowe, ideały dwumianowe, ideały wielomianowe (PDF) .