Akcja torusa

W geometrii algebraicznej działanie torusa na rozmaitość algebraiczną jest działaniem grupowym torusa algebraicznego na rozmaitość. Odmiana wyposażona w działanie torusa T nazywana jest odmianą T. W geometrii różniczkowej rozważa się działanie rzeczywistego lub złożonego torusa na rozmaitość (lub orbifold ) .

Normalna rozmaitość algebraiczna z torusem działającym na nią w taki sposób, że istnieje gęsta orbita, nazywana jest rozmaitością toryczną ( na przykład domknięcia orbit, które są normalne, to rozmaitości toryczne).

Liniowe działanie torusa

Liniowe działanie torusa można jednocześnie diagonalizować, w razie potrzeby po rozszerzeniu pola podstawowego: jeśli torus T działa na skończenie wymiarową przestrzeń wektorową V , to następuje bezpośredni rozkład sumy:

{\ Displaystyle V = \ bigoplus _ {\ chi} V_ {\ chi}}

Gdzie

${\ Displaystyle \ chi: T \ do \ mathbb {G} _ {m}}$ jest homomorfizmem grupowym, znakiem T .
${\ Displaystyle V _ {\ chi} = \ {v \ w V | t \ cdot v = \ chi (t) v \}} , T - niezmienna$ podprzestrzeń zwana podprzestrzenią wagi waga ${\ displaystyle \ chi}$ .

Rozkład istnieje, ponieważ działanie liniowe określa (i jest określane przez) reprezentację liniową ${\ Displaystyle \ pi: T \ do \ operatorname {GL} (V)}$ a następnie ${\ displaystyle \ pi (T)}$ polega na dojeżdżaniu do pracy diagonalizowalnych przekształceń liniowych po rozszerzeniu pola podstawowego.

Jeśli V nie ma skończonego wymiaru, istnienie takiego rozkładu jest trudne, ale jednym łatwym przypadkiem, w którym rozkład jest możliwy, jest sytuacja, gdy V jest sumą reprezentacji o skończonych wymiarach ( nazywa się racjonalnym ; patrz poniżej dla ${\ displaystyle \ pi}$ przykład). Alternatywnie, stosuje się analizę funkcjonalną ; na przykład używa sumy bezpośredniej w przestrzeni Hilberta.

Przykład : Niech ${\ Displaystyle S = k [x_ {0}, \ kropki, x_ {n}]}$ będzie pierścieniem wielomianowym nad nieskończonym polem k . Niech ${\ Displaystyle T = \ mathbb {G} _ {m} ^ {r}}$ działa na nim jako automorfizm algebry przez: dla ${\ Displaystyle t = (t_ {1}, \ kropki, t_ {r}) \ w T}$

{\ Displaystyle t \ cdot x_ {i} = \ chi _ {i} (t) x_ {i}}

Gdzie

}}

{\ Displaystyle \ chi _ {i} (t) = t_ {1} ^ {\ alfa _ {i, 1}} \ kropki t_ {r} ^ {\ alfa _ {i, r

{\ Displaystyle \ alfa _ {i, j}}

= liczby całkowite.

Wtedy każdy ${$ wektorem wagi T , a $m_ {0}} \ kropki x_ {r} ^ {m_ {r}}}$ jednomianem to T -wagowy wektor wagi ${\ Displaystyle \ suma m_ {i} \ chi _ {i}}$ . Stąd,

{\ Displaystyle S = \ bigoplus _ {m_ {0}, \ kropki m_ {n} \ geq 0} S_ {m_ {0} \ chi _ {0} + \ kropki + m_ {n} \ chi _ {n} }.}

Zauważ, że jeśli $to$ ja , pierścienia wielomianu na jednorodne

Dekompozycja Białenickiego-Biruli

Dekompozycja Białenickiego-Biruli mówi, że gładka algebraiczna T -rozmaitość dopuszcza T -stabilny rozkład komórkowy .

Jest często opisywana jako algebraiczna teoria Morse'a .

Zobacz też

Altmann, Klaus; Ilten, Nathan Owen; Petersen, Lars; Süß, Hendrik; Vollmert, Robert (2012-08-15). Geometria T-odmian . arXiv : 1102.5760 . doi : 10.4171/114 . ISBN 978-3-03719-114-9 .
A. Bialynicki-Birula, „Niektóre twierdzenia o działaniach grup algebraicznych”, Annals of Mathematics, seria druga, tom. 98, nr 3 (listopad 1973), s. 480–497
M. Brion, C. Procesi, Action d'un tore dans une variété projective, w Algebry operatorów, reprezentacje unitarne i niezmienna teoria (Paris 1989), Prog. w matematyce. 92 (1990), 509–539.