Poprzeczny Mercator: seria Bowringa

Ten artykuł dotyczy szeregu Bowringa poprzecznego merkatora. W 1989 roku Bernard Russel Bowring podał formuły dla Merkatora poprzecznego , które są prostsze w programowaniu, ale zachowują milimetrową dokładność .

Bowring przepisał szereg Redfearna czwartego rzędu (po odrzuceniu małych wyrazów) w bardziej zwartej notacji, zastępując wyrazy sferyczne, tj. niezależne od eliptyczności , dokładnymi wyrażeniami używanymi w sferycznym poprzecznym odwzorowaniu Merkatora. Nie było wzrostu dokładności , ponieważ wyrazy eliptyczne były nadal obcinane na poziomie 1 mm. Takie modyfikacje były możliwe do zastosowania, gdy zasoby obliczeniowe były minimalne.

Notacja

${\ Displaystyle a}$ = promień równika wybranej sferoidy (np. 6378137 m dla GRS80 / WGS84)

${\ displaystyle b}$ = biegunowa półoś sferoidy

${\ Displaystyle k_ {0}}$ = współczynnik skali wzdłuż centralnego południka (np. 0,9996 dla UTM)

  ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ phi}$ = szerokość geograficzna

  ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ omega}$ = różnica długości geograficznej od południka środkowego, w radianach, dodatnia na wschód

  ${\ Displaystyle m}$ = odległość południka mierzona na sferoidzie od równika do (patrz poniżej) ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ phi}$

E = odległość na wschód od południka środkowego, mierzona na projekcji poprzecznego merkatora

N = odległość na północ od równika, mierzona na projekcji Transverse Mercator

${\ Displaystyle \ varepsilon \; = \; {\ Frac {2r-1} {(r-1) ^ {2} }}=\;{\frac {a^{2}-b^{2}}{(b^{2})}}\;}$

gdzie r jest odwrotnością spłaszczenia dla wybranej sferoidy ( dokładnie dla WGS84 r = 298,257223563).

Przelicz Lat-Lon na Merkator poprzeczny

${\ Displaystyle c = \ cos \ phi \ qquad s = \ sin \ phi}$

 ${\ Displaystyle \ nu \; = \; {\ sqrt {\ Frac {1+ \ varepsilon}} {1+ \ varepsilon c ^ {2}}}}}$ (główny pionowy promień krzywizny)

${\ Displaystyle z = {\ frac { \varepsilon \omega ^{3}c^{5}}{6}}}$

${\ Displaystyle \ tan \ teta _ {2} \; = \; {\ Frac {2sc \ sin ^ {2} (\ omega /2)}{s^{2}+c^{2}\cos \omega }}}$

${\ Displaystyle {\ tekst {E}} \; = \; k_ {0} \ nu \ lewo [{\ tanh} ^ {- 1} (c \ sin \ omega) + z \left(1+{\frac {\omega ^{2}}{10}}(36c^{2}-29)\right)\right]}$

${\ Displaystyle {\ tekst {N}} \; = \; k_ {0} \ lewo [m + \ nu \ theta _ {2} + {\ Frac {z \ nu \ omega s} {4}} ( 9+4\varepsilon c^{2}-11\omega ^{2}+20(\omega ^{2}c^{2}))\right]\,}$

gdzie ${\ Displaystyle \ theta _ {2}}$ jest w radianach i ${\ Displaystyle {\ tanh} ^ {- 1}}$ odnosi się do arctanh).

Merkator poprzeczny do Lat-Lon

Aby przekonwertować współrzędne poprzeczne Mercatora na szerokość geograficzną, najpierw oblicz $-$ geograficzną odcisku stopy tj . szerokość geograficzną punktu na południku centralnym, który ma taką samą N jak punkt do konwersji tj. szerokość geograficzna, która ma odległość południka na sferoidzie równą N / ${\ displaystyle k_ {0}}$ . Poniższe formuły Bowringa wydają się najszybsze, ale wystarczą tradycyjne formuły. Następnie

${\ Displaystyle c_ {1} = \ cos \ phi '\ qquad s_ {1} = \ sin \ phi '}$

${\ Displaystyle \ nu _ {1} \; = \; a {\ sqrt {\ Frac {1 + \ varepsilon}} {1+ \ varepsilon {c_ {1}} ^ {2}}}}}$

${\ Displaystyle x \; = \; {\ Frac {\ tekst {E}} {k_ {0} \ nu _ {1}}}}$

${\ Displaystyle \ tan \ theta _ {4} \; = \; {\ Frac {\ sinh x} {c_ {1}}}}$

${\ Displaystyle \ tan \ teta _ {5} \; = \; \ tan \ phi '\ cos \ teta _ {4}}$

${\ Displaystyle \ phi \; = \; \ lewo (1 + \ varepsilon {c_ {1}} ^ {2} \ prawej) \ left[\theta _{5}-{\frac {\varepsilon }{24}}x^{4}\tan \phi '(9-10{c_{1}}^{2})\right]-\ varepsilon {c_{1}}^{2}\phi '}$

${\ Displaystyle \ omega \; = \; \ teta _ {4} - {\ Frac {\ varepsilon} {60}} x ^ {3} c_ {1} \ lewo (10- {\frac {4x^{2}}{{c_{1}}^{2}}}+x^{2}{c_{1}}^{2}\right)}$

( ${\ Displaystyle \ theta _ {4}}$ , ${\ Displaystyle \ theta _ {5}}$ i ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ phi '}$ muszą oczywiście być w radianach i ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ phi}$$i$ będzie )

Odległość południkowa

Bowring podał wzory na odległość południka (odległość od równika do danej szerokości geograficznej wzdłuż linii północ-południe na sferoidzie), które wydają się być poprawne z dokładnością do 0,001 milimetra na sferoidach wielkości Ziemi. Symbol n jest taki sam jak we wzorach Redfearn

${\ Displaystyle n \; = \; {\ Frac {ab} {a + b}} \; = \; {\ Frac {1} {2r-1 }}}$

${\ Displaystyle \ tan \ psi \ quad = \ quad \ lewo ({\ Frac {r-1} {r}} \ prawej) \ tan \ phi \ quad = \ quad \ lewo ({\ Frac {1-n} {1 + n}} \ prawej) \ tan \ fi}$

${\ Displaystyle p = 1 - {\ Frac {3} {4} }n\cos 2\psi \qquad q={\frac {3}{4}}n\sin 2\psi }$

${\ Displaystyle Z = \ lewo (1- {\ Frac {3} {8}} n ^ {2} \ prawo) (p + qi) ^ {2/3}$

Odrzuć część rzeczywistą liczby zespolonej Z ; odejmij rzeczywisty współczynnik urojonej części Z od (w radianach $),$ aby uzyskać ${\ displaystyle \ theta$ . Następnie

${\ Displaystyle {\ tekst {odległość południka}} \; = \ quad {\ Frac {a \ theta} {1 + n}} \ lewo (1 +{\frac {n^{2}}{8}}\right)^{2}}$

$co,$ że jeśli szerokość geograficzna wynosi 90 stopni, to się okazuje, daje długość ćwiartki południka do jednej bilionowej metr na GRS 80 .)

Dla odwrotności (dana odległość południka, oblicz szerokość geograficzną), oblicz, używając ostatniego wzoru powyżej, a następnie ${\ displaystyle \ theta}$

${\ Displaystyle p '= 1 - {\ Frac {33} {20}} n \ sałata 2 \ teta \ qquad q ' = {\frac {33}{20}}n\sin 2\theta }$

${\ Displaystyle Z' = {\ Frac {5} {4}} \ lewo (1- {\ Frac {9} {16}} n ^ {2} \ prawej) (p' + q'i) ^ {8/33}}$

Odrzuć rzeczywistą część Z 'i dodaj rzeczywisty współczynnik i do , aby uzyskać zmniejszoną szerokość geograficzną $radianach$$) , która jest$ na szerokość geograficzną . ${\ displaystyle \ theta} }$ za pomocą równania u góry tej sekcji.

Jeśli Zero nie jest na równiku

Jak podano powyżej, wszystkie wzory na elipsoidę zakładają, że współrzędna północna w odwzorowaniu Merkatora poprzecznego zaczyna się od zera na równiku, tak jak ma to miejsce w odwzorowaniu UTM na półkuli północnej. Osoby używające British National Grid lub State Plane Coordinates w Stanach Zjednoczonych mają dodatkowy krok w swoich obliczeniach.

British National Grid ustawia północ na (49 stopni szerokości geograficznej północnej i 2 stopnie długości geograficznej zachodniej) na dokładnie -100 000 metrów. Wykorzystuje sferoidę Airy'ego, której promień równikowy wynosi 6377563,39603 metrów, a odwrotność spłaszczenia wynosi 299,3249645938 (obie wartości są zaokrąglone); odległość południka od równika do 49 stopni szerokości geograficznej wynosi zatem 5429228,602 metrów na sferoidzie. Zaokrąglony współczynnik skali na 2 stopniach długości geograficznej zachodniej wynosi 0,999601271775, więc na projekcji poprzecznej Merkatora 49 stopni na północ wynosi 5427063,8153 metrów od równika .

Dlatego przeliczając lat-lon na British National Grid, użyj wzorów podanych powyżej i odejmij 5527063,815 metrów od obliczonego N.

Przykład: przekonwertuj lat-lon na UTM

NGS mówi , że pomnik Waszyngtona znajduje się 38 stopni 53 min 22,08269 s na północ, 77 stopni 02 min 06,86575 s na zachód na NAD83; jaki jest jego UTM?

Podobnie jak w przypadku wszystkich obliczeń NAD83, używamy sferoidy GRS80 z dokładnie a = 6378137 metrów i r = 298,25722 2101 w zaokrągleniu. Jeśli leniwie przyjmiemy tę wartość r jako dokładną, otrzymamy $k$ 0,00673 94967 75479 i n = 0,00167 92203 94629. Jak w przypadku wszystkich obliczeń UTM, $wynosi$ 0,9996.

${\ Displaystyle \ scriptstyle \ nu}$ wynosi 6386568,5027 metrów na szerokości geograficznej pomnika z wynosi -1,43831 52572 razy ${\ Displaystyle 10 ^ {-8}}$ przy pomniku

${\ Displaystyle \ theta _ {2}}$ wychodzi -0,00030 83836 79455 61242 radianów.

Następnie weź m , południk odległość od $równika$ do pomnika: 38,795469019 stopni = 0,677108669 radianów , więc p = 0,99972936, q = 0,00122999, a część urojona Z wynosi 0,000820069 razy i . Odejmij 0,000820069 od 0,677108669, aby otrzymać $=$ radianów, a m to 4306233,2730 metrów.

Podłącz to wszystko i otrzymamy N = 4306479,5101 metrów, E = -176516,8552 metrów; dodaj tę ostatnią do 500000 (wartość Easting wzdłuż centralnego południka we wszystkich strefach UTM), aby uzyskać UTM Easting wynoszący 323483,1448 metrów, co jest zgodne z arkuszem danych NGS.