Powierzchnia Gaussa

Cylindryczna powierzchnia Gaussa jest powszechnie używana do obliczania ładunku elektrycznego nieskończenie długiego, prostego, „idealnego” drutu.

Powierzchnia Gaussa to zamknięta powierzchnia w przestrzeni trójwymiarowej, przez którą obliczany jest strumień pola wektorowego ; zwykle pole grawitacyjne , pole elektryczne lub pole magnetyczne . Jest to dowolna zamknięta powierzchnia S = ∂ V ( granica trójwymiarowego obszaru V ) używana w połączeniu z prawem Gaussa dla odpowiedniego pola ( prawo Gaussa , prawo Gaussa dla magnetyzmu lub prawo Gaussa dla grawitacji ) poprzez wykonanie powierzchni całka , w celu obliczenia całkowitej ilości załączonej ilości źródłowej; np. wielkość masy grawitacyjnej jako źródło pola grawitacyjnego lub wielkość ładunku elektrycznego jako źródło pola elektrostatycznego lub odwrotnie: oblicz pola dla rozkładu źródła.

Ze względu na konkretność w tym artykule omówiono pole elektryczne, ponieważ jest to najczęstszy rodzaj pola, dla którego stosuje się pojęcie powierzchni.

Powierzchnie gaussowskie są zwykle starannie dobierane w celu wykorzystania symetrii sytuacji w celu uproszczenia obliczania całki powierzchniowej . Jeśli powierzchnia Gaussa zostanie wybrana w taki sposób, że dla każdego punktu na powierzchni składowa pola elektrycznego wzdłuż wektora normalnego jest stała, to obliczenia nie będą wymagały trudnej integracji, ponieważ powstające stałe można wyjąć z całki. Definiuje się ją jako zamkniętą powierzchnię w przestrzeni trójwymiarowej, na podstawie której obliczany jest strumień pola wektorowego.

Typowe powierzchnie Gaussa

Zobacz też: Gęstość ładunku

Przykłady prawidłowych (po lewej) i niepoprawnych (po prawej) powierzchni Gaussa. Po lewej: Niektóre prawidłowe powierzchnie Gaussa obejmują powierzchnię kuli, powierzchnię torusa i powierzchnię sześcianu. Są to zamknięte powierzchnie , które całkowicie otaczają objętość 3D. Po prawej: niektóre powierzchnie, których NIE MOŻNA używać jako powierzchni Gaussa, takie jak powierzchnia dysku , powierzchnia kwadratu lub powierzchnia półkuli. Nie otaczają w pełni objętości 3D i mają granice (kolor czerwony). Zauważ, że nieskończone płaszczyzny mogą przybliżać powierzchnie Gaussa.

Większość obliczeń z wykorzystaniem powierzchni Gaussa rozpoczyna się od zastosowania prawa Gaussa (dla elektryczności):

${\ Displaystyle \ Phi _ {E} =}$${\ Displaystyle \ scriptstyle S}$${\ Displaystyle \ mathbf {E} \; \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {A} = {\ Frac {Q_ {\ text {enc}}} {\ varepsilon _ {0}}}.}$

Zatem Q _enc jest ładunkiem elektrycznym zawartym w powierzchni Gaussa.

To jest prawo Gaussa, łączące zarówno twierdzenie o dywergencji , jak i prawo Coulomba .

Kulista powierzchnia

Sferyczna powierzchnia Gaussa jest używana do znajdowania pola elektrycznego lub strumienia wytwarzanego przez dowolne z poniższych:

• opłata punktowa
• równomiernie rozmieszczona kulista powłoka ładunku
• dowolny inny rozkład ładunku o symetrii sferycznej

Sferyczna powierzchnia Gaussa jest wybrana tak, aby była koncentryczna z rozkładem ładunku.

Jako przykład rozważmy naładowaną kulistą powłokę S o znikomej grubości, z równomiernie rozłożonym ładunkiem Q i promieniem R . Możemy skorzystać z prawa Gaussa, aby znaleźć wielkość wypadkowego pola elektrycznego E w odległości r od środka naładowanej powłoki. Od razu widać, że dla kulistej powierzchni Gaussa o promieniu r < R zawarty ładunek wynosi zero: stąd strumień wypadkowy wynosi zero, a wielkość pola elektrycznego na powierzchni Gaussa również wynosi 0 (pozwalając Q _A = 0 w Gaussa prawo, gdzie Q _A jest ładunkiem zamkniętym w powierzchni Gaussa).

W tym samym przykładzie, używając większej powierzchni Gaussa na zewnątrz powłoki, gdzie r > R , prawo Gaussa wytworzy niezerowe pole elektryczne. Określa się to w następujący sposób.

Strumień wychodzący z kulistej powierzchni S wynosi:

${\ Displaystyle \ Phi _ {E} =}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ częściowe S} mi$$\ mathbf { E} \cdot d\mathbf {A} =\iint _{c}EdA\cos 0^{\circ }=E\iint _{S}dA}$

Pole powierzchni kuli o promieniu r wynosi

$${\ Displaystyle \ iint _ {S} dA = 4 \ pi r ^ {2}}$$

co implikuje

$${\ Displaystyle \ Phi _ {E} = E4 \ pi r ^ {2}}$$

Zgodnie z prawem Gaussa strumień również jest

$${\ Displaystyle \ Phi _ {E} = {\ Frac {Q_ {A}} {\ varepsilon _ {0}}}}$$

ostateczne zrównanie wyrażenia dla Φ _E daje wielkość pola E w pozycji r :

$${\ Displaystyle E4 \ pi r ^ {2} = {\ Frac {Q_ {A}} {\ varepsilon _ {0}}} \ quad \ Strzałka w prawo \ quad E = {\ Frac {Q_ {A}} {4 \ pi \varepsilon _{0}r^{2}}}.}$$

Ten nietrywialny wynik pokazuje, że każdy sferyczny rozkład ładunku działa jak ładunek punktowy , gdy jest obserwowany z zewnątrz rozkładu ładunku; jest to w rzeczywistości weryfikacja prawa Coulomba . I, jak wspomniano, wszelkie opłaty zewnętrzne się nie liczą.

Powierzchnia cylindryczna

Cylindryczna powierzchnia Gaussa jest używana do znajdowania pola elektrycznego lub strumienia wytwarzanego przez dowolne z poniższych:

• nieskończenie długą linią jednolitego ładunku
• nieskończona płaszczyzna jednolitego ładunku
• nieskończenie długi cylinder o jednolitym ładunku

Jako przykład podano poniżej „pole w pobliżu nieskończonego ładunku liniowego”;

Rozważmy punkt P w odległości r od nieskończonej linii ładunku o gęstości ładunku (ładunek na jednostkę długości) λ. Wyobraźmy sobie zamkniętą powierzchnię w postaci walca, którego osią obrotu jest ładunek liniowy. Jeśli h jest długością walca, to ładunek zawarty w cylindrze wynosi

$${\ Displaystyle q = \ lambda h,}$$

gdzie q jest ładunkiem zawartym w powierzchni Gaussa. Istnieją trzy powierzchnie a , b i c , jak pokazano na rysunku. Pole wektora różniczkowego to d A , na każdej powierzchni a , b i c .

Zamknięta powierzchnia w kształcie walca z ładunkiem liniowym pośrodku i pokazująca obszary różnicowe d A wszystkich trzech powierzchni.

Przepływ strumienia składa się z trzech wkładów:

${\ Displaystyle \ Phi _ {E} =}$${\ Displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\iint _{a}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\iint _{b}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\iint _{c}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} }$$\ Displaystyle \ scriptstyle A} mi$

Dla powierzchni a i b, E i d A będą prostopadłe . Dla powierzchni c, E i d A będą równoległe , jak pokazano na rysunku.

$$\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Phi _ { E}&=\iint _{a}EdA\cos 90^{\circ }+\iint _{b}EdA\cos 90^{\circ }+\iint _{c}EdA\cos 0^{\circ }\\&=E\iint _{c}dA\end{wyrównane}}}$$

Pole powierzchni cylindra wynosi

$${\ Displaystyle \ iint _ {c} dA = 2 \ pi rh}$$

co implikuje

$${\ Displaystyle \ Phi _ {E} = E2 \ pi rh.}$$

Zgodnie z prawem Gaussa

$${\ Displaystyle \ Phi _ {E} = {\ Frac {q} {\ varepsilon _ {0}}}}$$

zrównując dla wydajności Φ _E

$${\ Displaystyle E2 \ pi rh = {\ Frac {\ lambda h} {\ varepsilon _ {0}}} \ quad \ Strzałka w prawo \ quad E = {\frac {\lambda}} {2\pi \varepsilon _{0}r}}}$$

Bunkier gaussowski

Ta powierzchnia jest najczęściej używana do określenia pola elektrycznego ze względu na nieskończoną warstwę ładunku o jednolitej gęstości ładunku lub płytkę ładunku o skończonej grubości. Bunkier ma cylindryczny kształt i można go traktować jako składający się z trzech elementów: dysku na jednym końcu cylindra o powierzchni πR ² , dysku na drugim końcu o równej powierzchni i boku cylindra. Suma strumienia elektrycznego przechodzącego przez każdy składnik powierzchni jest proporcjonalna do zamkniętego ładunku bunkra, zgodnie z prawem Gaussa. Ponieważ pole w pobliżu arkusza można w przybliżeniu uznać za stałe, bunkier jest zorientowany w taki sposób, że linie pola przechodzą przez dyski na końcach pola pod kątem prostym, a bok cylindra jest równoległy do ​​​​linii pola .

Zobacz też

• Obszar
• Powierzchnia
• Rachunek wektorowy
• Integracja
• Twierdzenie o rozbieżności
• klatka Faradaya
• Teoria pola
• Linia pola

•   Purcell, Edward M. (1985). Elektryczność i magnetyzm . McGraw-Hill. ISBN 0-07-004908-4 .
•   Jackson, John D. (1998). Elektrodynamika klasyczna (wyd. 3) . Wiley'a. ISBN 0-471-30932-X .

Dalsza lektura

•   Elektromagnetyzm (wydanie 2) , IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9

Linki zewnętrzne

• Fields - rozdział z internetowego podręcznika