Powierzchnia arytmetyczna

W matematyce $jest$ arytmetyczna nad dziedziną Dedekinda R z polem ułamkowym obiektem geometrycznym mającym jeden konwencjonalny wymiar i jeden inny wymiar zapewniany przez nieskończoność liczb pierwszych . Kiedy R jest pierścieniem liczb całkowitych Z , ta intuicja zależy od tego, czy widmo pierwszego ideału Spec( Z ) jest postrzegane jako analogiczne do linii. Powierzchnie arytmetyczne powstają naturalnie w geometrii diofantycznej , kiedy uważa się , że krzywa algebraiczna zdefiniowana na K ma redukcje na polach R / P , gdzie P jest ideałem pierwszym R , dla prawie wszystkich P ; i są pomocne w określeniu, co powinno się stać z procesem redukcji do R / P , gdy najbardziej naiwny sposób nie ma sensu.

Taki obiekt można zdefiniować bardziej formalnie jako schemat R z nieosobliwą, połączoną krzywą rzutową dla ogólnego włókna $C/K}$ związków krzywych (prawdopodobnie redukowalnych , pojedynczych , niezredukowanych ) do / nad odpowiednim polem pozostałości dla włókien specjalnych .

Definicja formalna

Bardziej szczegółowo, powierzchnia arytmetyczna $\ operatorname {Spec} (R)}$ nad domeną Dedekinda $)$ jest schematem z morfizmem $R$ ${\ Displaystyle p: S$ o następujących właściwościach: jest integralny , normalny , doskonały , płaski i typu skończonego względem ${\ displaystyle R}$ $a$ włókno rodzajowe nie jest pojedyncze, połączone $R )$ krzywa nad $}$ innych $($ S $operatorname {Spec$ ,

{\ Displaystyle S {\ underset {\ operatorname {Spec} (R)} {\ razy}} \ operatorname {Spec} (k_ {t}) }

jest połączeniem krzywych nad ${\ displaystyle R / t}$ .

Ponad planem Dedekinda

Mówiąc bardziej ogólnie, powierzchnie arytmetyczne można zdefiniować na podstawie schematów Dedekinda, których typowym przykładem jest widmo pierścienia liczb całkowitych pola liczbowego (co ma miejsce powyżej). Powierzchnia arytmetyczna jest wtedy regularną powierzchnią z włóknami na schemacie Dedekinda o wymiarze jeden. To uogólnienie jest przydatne, na przykład pozwala na krzywe podstawowe, które są gładkie i rzutują na pola skończone, co jest ważne w charakterystyce dodatniej.

Co czyni je „arytmetycznymi”?

Powierzchnie arytmetyczne nad domenami Dedekinda są arytmetycznym odpowiednikiem powierzchni włókien na krzywych algebraicznych. Powierzchnie arytmetyczne powstają przede wszystkim w kontekście teorii liczb. $którego$ , biorąc pod uwagę krzywą nad polem liczbowym $, istnieje$ $.$ arytmetyczna nad pierścieniem liczb całkowitych, izomorficzne z ${\ Displaystyle X}$ . W wyższych wymiarach można również rozważyć schematy arytmetyczne.

Nieruchomości

Wymiar

Powierzchnie arytmetyczne mają wymiar 2 i wymiar względny 1 nad swoją podstawą.

Dzielniki

Możemy rozwinąć teorię dzielników Weila na powierzchniach arytmetycznych, ponieważ każdy lokalny pierścień wymiaru jeden jest regularny. Jest to krótko stwierdzone jako „powierzchnie arytmetyczne są regularne w kowymiarze jeden”. Teoria ta została rozwinięta na przykład w geometrii algebraicznej Hartshorne'a.

Przykłady

Linia projekcyjna

Rzutowa linia nad domeną Dedekinda $}$ gładką , właściwą powierzchnią arytmetyczną nad ${\ displaystyle R$ . Włókno nad dowolnym ideałem maksymalnym $linią$ rzutową nad polem ${\ Displaystyle R / {\ mathfrak {m.}}.}$

Zwykłe minimalne modele

Modele Néron dla krzywych eliptycznych , początkowo zdefiniowane w polu globalnym , są przykładami tej konstrukcji i są dobrze zbadanymi przykładami powierzchni arytmetycznych. Istnieją silne analogie z fibracjami eliptycznymi .

Teoria przecięcia

Mając dwa różne nieredukowalne dzielniki i punkt domknięty na specjalnym włóknie powierzchni arytmetycznej, możemy zdefiniować lokalny wskaźnik przecięcia dzielników w punkcie, tak jak dla dowolnej powierzchni algebraicznej, a mianowicie jako wymiar pewnego ilorazu lokalnego pierścień w punkcie. Pomysł polega na dodaniu tych lokalnych indeksów w celu uzyskania globalnego indeksu skrzyżowania. Teoria zaczyna odbiegać od teorii powierzchni algebraicznych, gdy staramy się zapewnić, aby liniowe dzielniki równoważne dawały ten sam wskaźnik przecięcia, co byłoby wykorzystane na przykład do obliczania wskaźnika przecięcia dzielników z samym sobą. To się nie powiedzie, gdy podstawowy schemat powierzchni arytmetycznej nie jest „zwarty”. W rzeczywistości w tym przypadku równoważność liniowa może przesunąć punkt przecięcia do nieskończoności. Częściowym rozwiązaniem tego problemu jest ograniczenie zestawu dzielników, które chcemy przeciąć, w szczególności wymuszenie, aby co najmniej jeden dzielnik był „fibralny” (każdy składnik jest składnikiem specjalnego włókna) pozwala nam zdefiniować unikalną parę przecięć mającą to własność, wśród innych pożądanych. Pełną rozdzielczość daje teoria Arakelowa.

Teoria Arakelowa

Teoria Arakelowa oferuje rozwiązanie przedstawionego powyżej problemu. Intuicyjnie włókna są dodawane w nieskończoności przez dodanie włókna dla każdej bezwzględnej wartości archimedesowej K. Następnie można zdefiniować lokalne parowanie przecięć, które rozciąga się na pełną grupę dzielników, z pożądaną niezmiennością w ramach równoważności liniowej.

Zobacz też

Notatki

Hartshorne, Robin (1977). Geometria algebraiczna . Absolwent Teksty z matematyki . Tom. 52. Springer-Verlag . ISBN 0-387-90244-9 . Zbl 0367.14001 .
Qing Liu (2002). Geometria algebraiczna i krzywe arytmetyczne . Oxford University Press . ISBN 0-19-850284-2 .
Eisenbud, Dawid ; Harris, Joe (2000). Geometria schematów . Absolwent Teksty z matematyki . Tom. 197. Springer-Verlag . ISBN 0-387-98637-5 . Zbl 0960.14002 .
Lang, Serge (1988). Wprowadzenie do teorii Arakelowa . Nowy Jork: Springer-Verlag . ISBN 0-387-96793-1 . MR 0969124 . Zbl 0667.14001 .
Silverman, Joseph H. (1994). Zaawansowane tematy z arytmetyki krzywych eliptycznych . Absolwent Teksty z matematyki . Tom. 151. Springer-Verlag . ISBN 0-387-94328-5 . Zbl 0911.14015 .
Soulé, C.; Abramowicz, Dan; Burnol, J.-F.; Kramer, Jürg (1992). Wykłady z geometrii Arakelowa . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Tom. 33. Wspólna praca z H. Gilletem. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-47709-3 . Zbl 0812.14015 .