Prąd zachowany

W fizyce zachowany prąd to prąd , który spełnia równanie ciągłości $\ mu} j ^ {\ mu}$ $jot$ . The continuity equation represents a conservation law, hence the name.

Rzeczywiście, scałkowanie równania ciągłości po objętości $displaystyle V}$ wystarczająco dużej, aby przez jej powierzchnię nie przepływały żadne prądy netto, prowadzi do prawa zachowania V {\

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} Q = 0 \;,}

gdzie

\ textstyle Q = \ int _ {V} j ^ {0} dV}

jest wielkością zachowaną .

W teoriach cechowania pola cechowania łączą się z prądami zachowanymi. Na przykład pole elektromagnetyczne łączy się z zachowanym prądem elektrycznym .

Wielkości zachowane i symetrie

Prąd zachowany to przepływ koniugatu kanonicznego wielkości posiadającej ciągłą symetrię translacyjną . Równanie ciągłości dla prądu zachowanego jest wyrażeniem prawa zachowania . Przykładami kanonicznych wielkości sprzężonych są:

Czas i energia - ciągła translacyjna symetria czasu implikuje zachowanie energii
Przestrzeń i pęd - ciągła translacyjna symetria przestrzeni implikuje zachowanie pędu
Przestrzeń i moment pędu - ciągła symetria obrotowa przestrzeni implikuje zachowanie momentu pędu
Faza funkcji falowej i ładunek elektryczny - ciągła symetria kąta fazowego funkcji falowej implikuje zachowanie ładunku elektrycznego

Prądy zachowane odgrywają niezwykle ważną rolę w fizyce teoretycznej , ponieważ twierdzenie Noether łączy istnienie prądu zachowanego z istnieniem symetrii pewnej wielkości w badanym układzie. W praktyce wszystkie zachowane prądy są prądami Noether , ponieważ istnienie zachowanego prądu implikuje istnienie symetrii. Prądy zachowane odgrywają ważną rolę w teorii równań różniczkowych cząstkowych , ponieważ istnienie prądu zachowanego wskazuje na istnienie stałych ruchu , które są wymagane do zdefiniowania foliacji , a tym samym układu całkowalnego . Prawo zachowania wyraża się jako zanikanie 4- rozbieżności , gdzie ładunek Noetheru tworzy zerową składową 4-prądu .

Przykłady

Elektromagnetyzm

Zachowanie ładunku , na przykład w zapisie równań Maxwella ,

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ rho} {\ częściowe t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {J} = 0}

Gdzie

ρ jest gęstością swobodnego ładunku elektrycznego (w jednostkach C/m ³ )
J to gęstość prądu ${\ Displaystyle \ mathbf {J} = \ rho \ mathbf {v}}$ gdzie v jest prędkością ładunków.

Równanie odnosiłoby się w równym stopniu do mas (lub innych zachowanych wielkości), gdzie słowo masa zastąpiono powyższymi słowami ładunek elektryczny .

Złożone pole skalarne

Gęstość Lagrange'a

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = \ częściowe _ {\ mu} \ fi ^ {*} \, \ częściowe ^ {\ mu} \ phi +V(\phi ^{*}\,\phi )}

złożonego pola skalarnego

\phi :\mathbb {R} ^{n+1}\mapsto \mathbb {C}

jest niezmienne w transformacji symetrii

{\ Displaystyle \ phi \ mapsto \ phi '= \ phi \, e ^ {i \ alfa} \,.}

Definiując

\delta \phi =\phi '-\phi

znajdujemy prąd Noether

{\ Displaystyle j ^ {\ mu}: = {\ Frac {d {\ mathcal {L}}} {d (\ częściowe _ {\mu})\phi}}\,{\frac {d(\delta \phi)}{d\alpha}}{\bigg |}_{\alpha =0}+{\frac {d{\mathcal {L}}}{d(\częściowe _{\mu})\phi ^{*}}}\,{\frac {d(\delta \phi ^{*})}{d\alpha }}{\ bigg |}_{\alpha =0}=i\,\phi \,(\częściowe ^{\mu }\phi ^{*})-i\,\phi ^{*}\,(\częściowe ^{ \mu }\phi )}

co spełnia równanie ciągłości.

Zobacz też

Goldstein, Herbert (1980). Mechanika klasyczna (wyd. 2). Czytanie, MA: Addison-Wesley. s. 588–596. ISBN 0-201-02918-9 .

David J. Griffiths (1999). Wprowadzenie do elektrodynamiki (wyd. Trzecie). Sala Prentice'a. s. 356–357 . ISBN 978-0-13-805326-0 .

Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. (1995). „Rozdział I.2.2. Elementy klasycznej teorii pola”. Wprowadzenie do kwantowej teorii pola . Prasa CRC. ISBN 978-0-201-50397-5 .