Przedintuicjonizm

W filozofii matematyki preintuicjoniści stanowili małą, ale wpływową grupę, która nieformalnie podzielała podobne filozofie dotyczące natury matematyki . Samego terminu użył LEJ Brouwer , który w swoich wykładach w Cambridge w 1951 roku opisał różnice między intuicjonizmem a jego poprzednikami:

Zupełnie inną orientację [od „starej szkoły formalistycznej” Dedekinda , Cantora , Peano , Zermelo i Couturata itd .] miała szkoła przedintuicjonistyczna, kierowana głównie przez Poincarégo , Borela i Lebesgue’a . Wydaje się, że myśliciele ci utrzymywali zmodyfikowane stanowisko obserwacyjne w sprawie wprowadzenia liczb naturalnych , zasady indukcji zupełnej [...] Dla nich, nawet dla takich twierdzeń, które wydedukowano za pomocą logiki klasycznej, postulowali istnienie i ścisłość niezależną od języka i logiki oraz uważali ich niesprzeczność za pewną, nawet bez logicznego dowodu. Wydaje się jednak, że w przypadku kontinuum nie szukali oni źródła całkowicie obcego językowi i logice.

Wprowadzenie liczb naturalnych

Preintuicjoniści, zgodnie z definicją LEJ Brouwera , różnili się od formalistycznego punktu widzenia pod kilkoma względami, szczególnie jeśli chodzi o wprowadzanie liczb naturalnych lub sposób definiowania/oznaczania liczb naturalnych. Dla Poincarégo definicja bytu matematycznego jest konstrukcją samego bytu, a nie wyrazem leżącej u jego podstaw istoty lub istnienia.

Oznacza to, że nie istnieje żaden obiekt matematyczny bez jego konstrukcji ludzkiej, zarówno w umyśle, jak i w języku.

Zasada indukcji całkowitej

To poczucie definicji pozwoliło Poincarému spierać się z Bertrandem Russellem na temat aksjomatycznej teorii liczb naturalnych Giuseppe Peano .

aksjomat Peano stwierdza:

  • Pozwól na to; zero ma właściwość P ;
  • I; jeśli każda liczba naturalna mniejsza niż liczba x ma właściwość P , to x ma również właściwość P.
  • Dlatego; każda liczba naturalna ma własność P .

Jest to zasada indukcji całkowitej , która ustanawia właściwość indukcji niezbędną dla układu. Ponieważ aksjomat Peano jest tak samo nieskończony jak liczby naturalne , trudno jest udowodnić, że własność P rzeczywiście należy do dowolnego x , a także x + 1. Można powiedzieć, że jeśli po pewnej liczbie n prób, które wykażą aksjomat własność P zachowana w x i x + 1, to możemy wywnioskować, że będzie to nadal prawdą po n + 1 próbach. Ale to samo jest indukcją. I stąd ten argument nasuwa pytanie .

Na tej podstawie Poincaré argumentuje, że jeśli nie uda nam się ustalić spójności aksjomatów Peano dla liczb naturalnych bez popadnięcia w kolistość, to zasady indukcji zupełnej nie da się udowodnić za pomocą ogólnej logiki .

Zatem arytmetyka i matematyka w ogóle nie są analityczne , ale syntetyczne . W ten sposób skarcono logistykę i podtrzymano intuicję . Tym, co łączyło Poincarégo i przedintuicjonistów, było postrzeganie różnicy między logiką a matematyką, która nie jest kwestią samego języka , ale samej wiedzy .

Argumenty o wyłączonym środku

Między innymi z tego powodu uznano, że Poincaré jest podobny do intuicjonistów. Jednak według Brouwera przedintuicjoniści nie posunęli się tak daleko, jak było to konieczne, w oddzieleniu matematyki od metafizyki, ponieważ nadal posługiwali się principium tertii exclusi („ prawo wyłączonego środka ”).

Zasada wyłączonego środka rzeczywiście prowadzi do dziwnych sytuacji. Na przykład stwierdzenia dotyczące przyszłości, takie jak „Jutro odbędzie się bitwa morska”, nie wydają się jeszcze ani prawdziwe, ani fałszywe . Powstaje zatem pytanie, czy w niektórych sytuacjach stwierdzenia muszą być prawdziwe, czy fałszywe . Intuicjoniście wydaje się to oznaczać, że prawo wykluczonego środka jest równie nierygorystyczne jak błędne koło Peano .

Jednak dla przedintuicjonistów jest to mieszanie jabłek i pomarańczy. Dla nich matematyka była jedną rzeczą (pogmatwanym wynalazkiem ludzkiego umysłu, tj . syntetycznym), a logika była drugą (analityczną).

Inni przedintuicjoniści

Powyższe przykłady obejmują jedynie prace Poincarégo , a mimo to Brouwer nazwał także innych matematyków preintuicjonistami; Borela i Lebesgue’a . Inni matematycy, tacy jak Hermann Weyl (który ostatecznie rozczarował się intuicjonizmem, uważając, że nakłada on nadmierne ograniczenia na postęp matematyczny) i Leopold Kronecker również odegrali pewną rolę - chociaż Brouwer nie cytuje ich w swoim ostatecznym przemówieniu.

W rzeczywistości Kronecker może być najsłynniejszym z przedintuicjonistów ze względu na swoje pojedyncze i często cytowane zdanie: „Bóg stworzył liczby naturalne; cała reszta jest dziełem człowieka”.

Kronecker idzie w niemal przeciwnym kierunku niż Poincaré, wierząc w liczby naturalne, ale nie w prawo wyłączonego środka. Był pierwszym matematykiem, który wyraził wątpliwości co do niekonstruktywnych dowodów istnienia , które stwierdzają, że coś musi istnieć, ponieważ można wykazać, że „niemożliwe” jest, aby tego nie było.

Zobacz też

Notatki

Źródło: „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Pre-intuitionism&oldid=1138014667 ”