Problem planowania partii ekonomicznej

Problem planowania ekonomicznego partii ( ELSP ) jest problemem w zarządzaniu operacjami i teorii inwentaryzacji , który był badany przez wielu badaczy od ponad 50 lat. Termin ten został po raz pierwszy użyty w 1958 roku przez profesora Jacka D. Rogersa z Berkeley, który rozszerzył ekonomiczny model wielkości zamówienia na przypadek, w którym na tej samej maszynie ma być wyprodukowanych kilka produktów , tak że trzeba zdecydować zarówno o wielkości partii dla każdego produktu i kiedy każda partia powinna zostać wyprodukowana. Metoda zilustrowana przez Jacka D. Rogersa opiera się na artykule Welcha W. Everta z 1956 roku. ELSP jest matematycznym modelem wspólnego problemu dla prawie każdej firmy lub branży: planowania, co i kiedy wyprodukować i ile wyprodukować.

Formuła modelowa

Klasyczny ELSP dotyczy planowania produkcji kilku produktów na jednej maszynie w celu zminimalizowania całkowitych poniesionych kosztów (które obejmują koszty konfiguracji i koszty utrzymywania zapasów).

Zakładamy znany, niezmienny popyt $cdots, m$ produktów (na przykład może być m = 3 produkty i klienci wymagają 7 sztuk dziennie Produktu 1, 5 sztuk dziennie Produktu 2 i 2 sztuk dziennie Produktu 3). Zapotrzebowanie klientów jest zaspokajane z zapasów, a zapasy są uzupełniane przez nasz zakład produkcyjny.

Dostępna jest pojedyncza maszyna, która może wytwarzać wszystkie produkty, ale nie w sposób idealnie zamienny. Zamiast tego maszyna musi być ustawiona $szybkością$ , po którym będzie wytwarzać ten produkt ze znaną Gdy pożądane jest wyprodukowanie innego produktu, maszyna jest zatrzymywana i wymagana jest kolejna kosztowna konfiguracja, aby rozpocząć produkcję następnego produktu. Niech $ij}}$$naliczany$ będzie kosztem konfiguracji przy zmianie produktu i na produkt j, a koszt zapasów na podstawie średniego poziomu zapasów każdej pozycji. N to liczba wykonanych przebiegów, U wskaźnik wykorzystania, L wielkość partii, a T okres planowania.

Aby podać bardzo konkretny przykład, maszyna może być maszyną do butelkowania , a produktami mogą być skrzynki butelkowanego soku jabłkowego , soku pomarańczowego i mleka . Konfiguracja odpowiada procesowi zatrzymania maszyny, wyczyszczenia jej i załadowania zbiornika maszyny żądanym płynem. Ta zmiana produktu nie może być wykonywana zbyt często, w przeciwnym razie koszty konfiguracji będą wysokie, ale równie długa seria produkcyjna soku jabłkowego byłaby niepożądana, ponieważ doprowadziłaby do dużych inwestycji w zapasy i kosztów utrzymania niesprzedanych skrzynek soku jabłkowego i być może zapasy soku pomarańczowego i mleka. ELSP szuka optymalnego kompromisu między tymi dwoma skrajnościami.

Algorytm Rogersa

1. Zdefiniuj:

${\ Displaystyle \ theta = T / N = L / U}$ = użyj okresu

do _L = ${\ Displaystyle {\ Frac {hL (PU)}{2PU}}+{\frac {S}{L}}}$ , koszt jednostkowy partii o rozmiarze L

${\ Displaystyle C_ {N} = NLc_ {L} = UT \ lewo [{\ Frac {hL \ lewo (PU \ prawo)} {2PU}} + {\ Frac {S} {L}} \right]}$ całkowity koszt N partii. Aby uzyskać optimum , nakładamy:

${\ Displaystyle {\ Frac {d (C_ {N})} {dL}} ={\frac {hT\left(PU\right)}{2P}}-{\frac {SUT}{L^{2}}}=0} Co$

daje ${\ Displaystyle L_ {0} = {\ sqrt {\ frac {2USP} {h (PU)}}}}$ jako optymalny rozmiar partii. Teraz niech: do

$\ Displaystyle C_ {N_ {L \ pm a}} = UT \ lewo [ {\frac {h\left(L\pm a\right)\left(PU\right)}{2PU}}+{\frac {S}{L\pm a}}\right]} to całkowity$ koszt N _{L ± a} wiele rozmiarów L ± a

${\ Displaystyle + \ Delta = C_{N_{L+a}}-C_{N}=UT\lewo[{\frac {ha\lewo(PU\prawo)}{2PU}}-{\frac {S}{{\frac {L^ {2}}{a}}+L}}\right]}$ oznacza przyrostowy koszt zmiany rozmiaru L na L+a

${\ Displaystyle - \ Delta = C_ {N_ {La}} -C_ {N} = UT \ lewo [- {\ Frac {ha \ lewo (PU \ prawo) }{2PU}}+{\frac {S}{{\frac {L^{2}}{a}}-L}}\right]} to dodatkowy koszt zmiany$ rozmiaru L na La

2.

Całkowita wymagana ilość elementu = UT

Całkowity czas produkcji elementu = UT/P

Sprawdź, czy wydajność produkcyjna jest spełniona:

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ { m {\ Frac {U_ {i} T} {P_ {i}}} \ równoważnik T} ∑ ja$

$Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {m} \frac {U_{i}}{P_{i}}}\równik 1}$

3. Oblicz:

${\ Displaystyle \ theta _ {0} = {\ Frac {L_ {0}} {U}}}$ jako liczba całkowita

₀ Jeśli dla pewnego elementu θ nie jest liczbą parzystą, oblicz:

${\ Displaystyle L = U \ lewo (\ teta _ {0} + 1 \ prawej)}$

${\ Displaystyle L = U \ lewo (\ teta _ {0} - 1\right)}$

₀ I zmień L na L w kierunku, który pociąga za sobą najmniejszy wzrost kosztów między +Δ a -Δ

4. Oblicz t _p = L/P dla każdego elementu i wypisz elementy w kolejności rosnącej θ = L/U

5. Dla każdej pary przedmiotów ij sprawdź:

${\ Displaystyle \ teta _ {i} -t_ {p_ {i}} \ geq t_ {p_ {j}}}$

${\ Displaystyle \theta _{j}-t_{p_{j}}\geq t_{p_{i}}}$

Do form weź pary i- ^ty z i+1, i+2, itd. Jeśli któraś z tych nierówności jest złamana , obliczyć +Δ i -Δ dla przyrostów wielkości partii o 2U iw kolejności wielkości zmiany kosztu wprowadzić zmiany wielkości partii krok po kroku. Powtarzaj ten krok, aż obie nierówności będą spełnione.

6. ${\ Displaystyle e_ {ij} = dt_ {p_ {i}} \ równoważnik \ teta _ {i} -t_ { p_{i}}-t_{p_{j}}}$

1. Utwórz wszystkie możliwe pary, jak w kroku 5
2. Dla każdej pary wybierz θ _i < θ _j
3. Określ, czy t _{p ja} > t _{p j} , t _{p ja} < t _{p j} lub t _{p ja} = t _{p j}
4. Wybierz wartość dla e _ij (e _ij =0,1,2,3,...,θ _i - t _{p i} - t _{p j} ) i oblicz t _pi +e oraz t _pj +e
5. Oblicz M _i θ _i -M _j θ _j ustalając M _i = k i M _j =1,2,3,...,T/θ _j ; ∀k∈(1,2,...,T/θ _i ). Następnie sprawdź, czy spełniony jest jeden z poniższych warunków brzegowych:

dla ${\ Displaystyle t_ {p_ {i}}> t_ {p_ {j}}}$ lub ${\ Displaystyle t_ {p_ {i} <t_ {p_ { j}}$$+ e \ koniec {przypadków}}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} t_ { p_{i}}+e\geq M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}>e\\t_{p_{i}}+e>M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}\geq t_{p_{i}}+e\\t_{p_{j}}+e\geq M_{i}\theta _{i}- M_{j}\theta _{j}>t_{p_{i}}+e\\t_{p_{i}}+t_{p_{j}}+e>M_{i}\theta_{i} -M_ {j} \ theta _ {j} \ geq t_ {p_ {j}$

dla ${j}}}$$jot {\ Displaystyle t_ {p_ {i}} = t_ {$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} t_ {p_ {i}} + e> M_ {i} \ teta _ {i} - M_{j}\theta _{j}>e\\t_{p_{i}}+t_{p_{j}}+e>M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _ {j}>t_{p_{j}}+e\\t_{p_{i}}+e=M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta_{j}=t_{p_ {j}}+e\end{przypadki}}}$

Jeśli żaden z warunków brzegowych nie jest spełniony, to e _ij nie przeszkadza: jeśli i=1 w e _ij , wybierz następne większe e w podetapie 4, jeśli i ≠1 wróć do podpunktu 2. Jeśli spełniony jest jakiś warunek brzegowy, przejdź do podpunktu 4. Jeśli dla dowolnej pary nie pojawi się nie przeszkadzające e, wróć do kroku 5.

7. Wprowadź pozycje do harmonogramu i sprawdź ich wykonalność

Stochastyczny ELSP

W praktyce ogromne znaczenie ma zaprojektowanie, zaplanowanie i eksploatacja współdzielonej wydajności dla wielu produktów z czasem i kosztami przezbrojenia w niepewnym środowisku popytu. Poza doborem (oczekiwanych) czasów cyklu, przy zaprojektowaniu pewnej ilości luzu („czas bezpieczeństwa”), należy również wziąć pod uwagę ilość zapasu bezpieczeństwa (zapasu buforowego), który jest potrzebny do osiągnięcia pożądanego poziomu obsługi.

Stan problemu

Problem ten jest dobrze znany w środowisku badaczy operacyjnych, aw celu ulepszenia modelu i stworzenia nowych odmian, które rozwiązują określone problemy, stworzono dużą liczbę prac badawczych.

Model jest znany jako problem NP-trudny, ponieważ obecnie nie jest możliwe znalezienie optymalnego rozwiązania bez sprawdzenia prawie każdej możliwości. Zastosowano dwa podejścia: ograniczenie rozwiązania do określonego typu (co umożliwia znalezienie optymalnego rozwiązania węższego problemu) lub przybliżone rozwiązanie całego problemu za pomocą heurystyk lub algorytmów genetycznych .

Zobacz też

• Nieskończona szybkość napełniania dla produkowanej części: Ekonomiczna ilość zamówienia
• Stała prędkość napełniania dla produkowanej części: Ekonomiczna wielkość produkcji
• Popyt jest losowy: klasyczny model Newsvendor
• Popyt zmienia się w czasie: model dynamicznej wielkości partii

Dalsza lektura

• SE Elmaghraby: The Economic Lot Scheduling Problem (ELSP): Review and Extensions, Management Science, tom. 24, nr 6, luty 1978, s. 587–598
• MA Lopez, BG Kingsman: Problem planowania partii ekonomicznych: teoria i praktyka, International Journal of Production Economics, tom. 23 października 1991, s. 147–164
•   Michael Pinedo, Planowanie i harmonogramowanie w produkcji i usługach, Springer, 2005. ISBN 0-387-22198-0

Linki zewnętrzne

• Gallego: The ELSP, Columbia U., 2004