Ekonomiczna wielkość zamówienia

Ekonomiczna ilość zamówienia (EOQ), znana również jako ekonomiczna ilość zakupów (EPQ), to wielkość zamówienia, która minimalizuje całkowite koszty utrzymania i koszty zamówień w zarządzaniu zapasami . Jest to jeden z najstarszych klasycznych harmonogramowania produkcji . Model został opracowany przez Forda W. Harrisa w 1913 r., ale RH Wilson, konsultant, który zastosował go w szerokim zakresie, oraz K. Andler są uznawani za ich dogłębną analizę.

Przegląd

EOQ ma zastosowanie tylko wtedy, gdy popyt na produkt jest stały w ciągu roku, a każde nowe zamówienie jest realizowane w całości, gdy zapasy osiągną zero. Koszt każdego złożonego zamówienia jest stały, niezależnie od liczby zamówionych jednostek; zakłada się, że zamówienie zawiera tylko 1 jednostkę. Istnieje również koszt każdej przechowywanej jednostki, powszechnie znany jako koszt utrzymania , czasami wyrażany jako procent kosztu zakupu pozycji. Chociaż sformułowanie EOQ jest proste, w rzeczywistym zastosowaniu należy wziąć pod uwagę takie czynniki, jak stawki transportowe i rabaty ilościowe.

Zależy nam na ustaleniu optymalnej ilości sztuk do zamówienia, tak aby zminimalizować całkowity koszt związany z zakupem, dostawą i magazynowaniem produktu.

Wymagane parametry rozwiązania to całkowity popyt w ciągu roku, koszt zakupu dla każdej pozycji, koszt stały złożenia zamówienia na pojedynczą pozycję oraz koszt magazynowania dla każdej pozycji w ciągu roku. Należy pamiętać, że liczba zamówień złożonych również wpłynie na całkowity koszt, chociaż tę liczbę można określić na podstawie innych parametrów.

Zmienne

${\ displaystyle T}$ = całkowity roczny koszt zapasów
${\ displaystyle P}$ = cena jednostkowa zakupu, jednostkowy koszt produkcji
${\ displaystyle Q}$ = ilość zamówienia
${\ displaystyle Q ^ {*}}$ = optymalna wielkość zamówienia
${\ displaystyle D}$ = roczna wielkość popytu
${\ displaystyle K}$ = stały koszt zamówienia, koszt konfiguracji ( nie na jednostkę, zazwyczaj koszt zamówienia, wysyłki i obsługi. To nie jest koszt towarów)
${\ displaystyle h}$ = roczny koszt utrzymania na jednostkę, znany również jako koszt prowadzenia lub koszt przechowywania (koszt kapitału, powierzchnia magazynowa, chłodzenie, ubezpieczenie, koszt alternatywny (cena x odsetki) itp. zwykle niezwiązany z jednostkowym kosztem produkcji )

Funkcja kosztu całkowitego i wyprowadzenie formuły EOQ

Formuła EOQ dla pojedynczej pozycji znajduje punkt minimalny następującej funkcji kosztu:

Koszt całkowity = koszt zakupu lub koszt produkcji + koszt zamówienia + koszt utrzymania

Gdzie:

Koszt zakupu: Jest to zmienny koszt towarów: cena jednostkowa zakupu × roczna wielkość popytu. To jest P × D
Koszt zamówienia: Jest to koszt składania zamówień: każde zamówienie ma stały koszt K, a my musimy zamawiać D/Q razy w roku. To jest K × D/Q
Koszt utrzymania: średnia ilość w magazynie (między w pełni uzupełnionym a pustym) wynosi Q/2, więc ten koszt to h × Q/2

{\ Displaystyle T = PD + K {\ Frac {D} {Q}} + h {\ Frac {Q} {2}}}

.

Aby określić minimalny punkt krzywej kosztów całkowitych, oblicz pochodną kosztu całkowitego względem Q (zakładając, że wszystkie inne zmienne są stałe) i ustaw ją na 0:

{\ Displaystyle {0} = - {\ Frac {DK} {Q ^ {2}}} + {\ Frac {h} {2}}}

Rozwiązanie dla Q daje Q* (optymalna wielkość zamówienia):

{\ Displaystyle Q ^ {* 2} = {\ Frac {2DK} {h}}}

Dlatego:

Ekonomiczna ilość zamówienia

${\ Displaystyle Q ^ {*} = {\ sqrt {\ Frac {2DK} {h}}}}$

Q* jest niezależne od P; jest funkcją tylko K, D, h.

Uznając to, można również znaleźć optymalną wartość Q*

{\ Displaystyle T = {\ Frac {DK} {Q}} +{\frac {hQ}{2}}+PD={\frac {h}{2Q}}(Q-{\sqrt {2DK/h}})^{2}+{\sqrt {2hDK}}+ PD,}

gdzie nieujemny wyraz kwadratowy znika dla ${\ textstyle Q = {\ sqrt {2DK/h}}},}$ co zapewnia minimalny koszt ${\ Displaystyle T_ {min} = {\ sqrt {2hDK}} + PD.}$

Przykład

roczna ilość zapotrzebowania (D) = 10000 sztuk
Koszt zamówienia (K) = 40
Koszt jednostkowy (P)= 50
Roczny koszt utrzymania na jednostkę = 4
Zainteresowanie rynku = 2%

Wielkość zamówienia ekonomicznego = ${\ Displaystyle {\ sqrt {\ Frac {2D \ cdot K}} {h}}}}$ ${ \ Displaystyle = {\ sqrt {\ Frac {2 \ cdot 10000 \ cdot 40} {4 + 50 \ cdot 2 \ %}}} = {\ sqrt {\ Frac {2 \ cdot 10000 \ cdot 40} {5}} }}$ = 400 jednostek

Liczba zamówień rocznie (na podstawie EOQ) ${\ Displaystyle = {\ Frac {10000} {400}} = 25}$

Koszt całkowity ${\ Displaystyle = P \ cdot D + K (D / EOQ) + h (EOQ / 2)}$

Całkowity koszt ${\ Displaystyle = 50 \ cdot 10000 + 40 \ cdot (10000/400) + 5 \ cdot (400/2) =502000}$

Jeśli sprawdzimy całkowity koszt dowolnej wielkości zamówienia innej niż 400 (=EOQ), zobaczymy, że koszt jest wyższy. Na przykład, zakładając 500 jednostek na zamówienie

Całkowity koszt ${\ Displaystyle = 50 \ cdot 10000 + 40 \ cdot (10000/500) + 5 \ cdot (500/2) =502050}$

Podobnie, jeśli wybierzemy 300 dla ilości zamówienia, to

Całkowity koszt ${\ Displaystyle = 50 \ cdot 10000 + 40 \ cdot (10000/300) + 5 \ cdot (300/2) =502083,33}$

Pokazuje to, że ekonomiczna wielkość zamówienia zawsze leży w najlepszym interesie firmy.

Rozszerzenia modelu EOQ

Rabaty ilościowe

Ważnym rozszerzeniem modelu EOQ jest uwzględnienie rabatów ilościowych. Istnieją dwa główne rodzaje rabatów ilościowych: (1) wszystkie jednostki i (2) przyrostowe. Oto przykład liczbowy:

Przyrostowa zniżka jednostkowa: Jednostki 1–100 kosztują 30 USD każda; Jednostki 101–199 kosztują 28 USD za sztukę; Jednostki 200 i więcej kosztują 26 USD za sztukę. Zatem przy zamówieniu 150 sztuk całkowity koszt wynosi 30*100 USD + 28*50 USD.
Rabat na wszystkie jednostki: zamówienie od 1 do 1000 sztuk kosztuje 50 USD za sztukę; zamówienie na 1001–5000 sztuk kosztuje 45 USD za sztukę; zamówienie powyżej 5000 sztuk kosztuje 40 USD za sztukę. Tak więc przy zamówieniu 1500 jednostek całkowity koszt wynosi 45*1500 USD.

W celu znalezienia optymalnej wielkości zamówienia w ramach różnych schematów rabatów ilościowych należy skorzystać z algorytmów; algorytmy te są opracowywane przy założeniu, że polityka EOQ jest nadal optymalna z rabatami ilościowymi. Perera i in. (2017) ustalili tę optymalność iw pełni scharakteryzowali optymalność (s, S) w ramach ustawienia EOQ w ogólnych strukturach kosztów.

Projektowanie optymalnych harmonogramów rabatów ilościowych

W obecności strategicznego klienta, który optymalnie reaguje na harmonogramy rabatów, zaprojektowanie przez dostawcę optymalnego schematu rabatów ilościowych jest złożone i musi być wykonane ostrożnie. Dzieje się tak zwłaszcza wtedy, gdy popyt ze strony klienta sam w sobie jest niepewny. Ciekawy efekt zwany „odwróconym biczem” ma miejsce, gdy wzrost niepewności popytu konsumpcyjnego faktycznie zmniejsza niepewność ilości zamówienia u dostawcy.

Koszty zamówień oczekujących i wiele pozycji

Do modelu EOQ można wprowadzić kilka rozszerzeń, w tym koszty zamówień oczekujących i wiele pozycji. W przypadku, gdy zamówienia oczekujące są dozwolone, koszty utrzymania zapasów na cykl wynoszą:

\ Displaystyle IC \ int \ ograniczenia _ {0} ^ {T_ {1}} (Qs-\ lambda t)\,dt={\frac {IC}{2\lambda}}(Qs)^{2},}

gdzie s to liczba zamówień zaległych, gdy dostarczana jest ilość zamówienia Q, a $.$ stopa popytu Koszt zamówienia oczekującego na cykl wynosi:

{\ Displaystyle \ pi s + {\ kapelusz {\ pi}} \ int \limits _{0}^{T_{2}}\lambda tdt=\pi s+{\frac {1}{2}}{\hat {\pi}}\lambda T_{2}^{2}= \pi s+{\frac {{\kapelusz {\pi}}s^{2}}{2\lambda}},}

gdzie $Displaystyle \ pi}$ $\$ i ${2} = TT_ {1}$ kosztami zamówień oczekujących, } T jest długością cyklu i ${\ Displaystyle T_ {1} = (Qs) / \ lambda}$ . Średni roczny koszt zmienny to suma kosztów zamówień, kosztów utrzymania zapasów i kosztów zamówień oczekujących:

{\ Displaystyle {\ mathcal {K}} = {\ Frac {\ lambda} {Q}}A+{\frac {1}{2Q}}IC(Qs)^{2}+{\frac {1}{Q}}[\pi \lambda s+{\frac {1}{2}} {\kapelusz {\pi}}s^{2}]}

Aby zminimalizować narzucić pochodne cząstkowe równe zeru: ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$

{\ Displaystyle {\ frac {\częściowe {\mathcal {K}}}{\częściowe Q}}=-{\frac {1}{Q^{2}}}\left[{\lambda}A+{\frac {1}{2 }}IC(Qs)^{2}+\pi \lambda s+{\frac {1}{2}}{\hat {\pi }}s^{2}\right]+{\frac {IC}{ Q}} (Qs) = 0}

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe {\ mathcal {K} }}{\partial s}}=-{\frac {IC}{Q}}(Qs)+{\frac {1}{Q}}\pi \lambda +{\frac {1}{Q}}{ \kapelusz {\pi}}s=0}

Podstawiając drugie równanie do pierwszego, otrzymujemy następujące równanie kwadratowe :

{\ Displaystyle [{\ kapelusz {\ pi}} ^ {2} + { \hat {\pi}}IC]s^{2}+2\pi {\kapelusz {\pi}}\lambda s+(\pi \lambda)^{2}-2\lambda AIC=0}

Jeśli ${\ Displaystyle {\ hat {\ pi}} = 0}$ albo s = 0, albo ${\ Displaystyle s = \ infty}$ jest optymalne. W pierwszym przypadku optymalna partia jest określona przez klasyczną formułę EOQ, w drugim nigdy nie składa się zamówienia, a minimalny roczny koszt określa wzór ${\ displaystyle \ pi \ lambda}$ . Jeśli $Displaystyle \ pi > {\ sqrt {\ Frac {2AIC} {\ lambda}}} = \ delta}$ lub $w}}$ ${\ Displaystyle \ pi \ lambda > K_$ $.$ ${\ displaystyle s ^ {*} = 0}$ optymalne, jeśli to nie powinno być żadnego systemu Jeśli rozwiązanie poprzedniego równania kwadratowego daje: ${\ Displaystyle {\ hat {\ pi}} \ neq 0}$

{\ styl wyświetlania s^{*}=[{\kapelusz {\pi}}+IC]^{-1}\left(-\pi \lambda +\left[(2\lambda AIC)\left(1+{\frac {IC}{\hat {\pi}}}\right)-{\frac {IC}{\hat {\pi}}}(\pi \lambda)^{2}\right]^{1/2} \ prawej)}

{\ Displaystyle Q ^ { *}=\left[{\frac {{\hat {\pi}}+IC}{\hat {\pi}}}\right]^{1/2}\left[{\frac {2\lambda A }{IC}}-{\frac {(\pi \lambda )^{2}}{IC({\hat {\pi}}+IC)}}\right]^{1/2}}

Jeśli istnieją zamówienia oczekujące, punktem ponownego zamówienia jest: ${\ Displaystyle r_ {h} ^ {*} = \ mu -mQ ^ {*} -s ^ {*}}$ ; gdzie m $, a μ$ największą liczbą na czas realizacji

Dodatkowo z EOQ można wyznaczyć ekonomiczny przedział zleceń , aw podobny sposób określić ekonomiczny model wielkości produkcji (który określa optymalną wielkość produkcji).

Wersja modelu, model Baumola-Tobina , została również wykorzystana do określenia funkcji popytu na pieniądz , w której zasoby pieniężne danej osoby można postrzegać w sposób równoległy do zasobów firmy.

Malakooti (2013) wprowadził wielokryterialne modele EOQ, w których kryteriami mogą być minimalizacja kosztu całkowitego, ilość zamówienia (zapasy) i niedobory.

Wersja uwzględniająca wartość pieniądza w czasie została opracowana przez Trippiego i Lewina.

Niedoskonała jakość

Innym ważnym rozszerzeniem modelu EOQ jest uwzględnienie elementów o niedoskonałej jakości. Salameh i Jaber (2000) jako pierwsi bardzo dokładnie zbadali niedoskonałe pozycje w modelu EOQ. Rozważają problem zapasów, w którym popyt jest deterministyczny, a w partii znajduje się ułamek niedoskonałych przedmiotów, które są sprawdzane przez kupującego i sprzedawane przez niego na końcu koła po obniżonej cenie.

Zobacz też

Ponownie zamów punkt
Zapas bezpieczeństwa
Stała prędkość napełniania dla produkowanej części: Ekonomiczna wielkość produkcji
Zamówienia składane w regularnych odstępach czasu: Model z ustalonym okresem czasu
Popyt jest losowy: klasyczny model Newsvendora
Popyt zmienia się w czasie: model dynamicznej wielkości partii
Kilka produktów wytwarzanych na tej samej maszynie: Problem z ekonomicznym planowaniem partii
Popyt na odnowienie i (s, S) optymalność Perera, Janakiraman i Niu [1]

Dalsza lektura

Harris, Ford W. Operations Cost (seria zarządzania fabryką), Chicago: Shaw (1915)
Harris, Ford W. (1913). „Ile części zrobić naraz”. Fabryka, Magazyn Zarządzania . 10 : 135–136, 152.
Obóz, WE „Określanie wielkości zlecenia produkcyjnego”, Management Engineering, 1922
Wilson, PR (1934). „Procedura naukowa kontroli zapasów”. Harvard Business Review . 13 : 116–28.
Plossel, George. Planowanie zapotrzebowania materiałowego Orlicky'ego. Druga edycja. Wzgórze McGrawa. 1984. (pierwsze wydanie 1975)
Erlenkotter, Donald (2014). „Ekonomiczny model wielkości partii Forda Whitmana Harrisa” . Międzynarodowy Dziennik Ekonomiki Produkcji . 155 : 12–15. doi : 10.1016/j.ijpe.2013.12.008 . S2CID 153794306 .
Perera, Sandun; Janakiraman, Ganesh; Niu, Shun-Chen (2017). „Optymalność polityk (s, S) w modelach EOQ z ogólnymi strukturami kosztów”. Międzynarodowy Dziennik Ekonomiki Produkcji . 187 : 216–228. doi : 10.1016/j.ijpe.2016.09.017 .
Perera, Sandun; Janakiraman, Ganesh; Niu, Shun-Chen (2018). „Optymalność (s, S) zasad dotyczących zapasów w ramach popytu na odnowienie i ogólnych struktur kosztów”. Zarządzanie produkcją i operacjami . 27 (2): 368–383. doi : 10.1111/poms.12795 . hdl : 2027.42/142450 .
Tsan-Ming Choi (red.) Handbook of EOQ Inventory Problems: Stochastic and Deterministic Models and Applications, Springer's International Series in Operations Research and Management Science, 2014. doi : 10.1007/978-1-4614-7639-9 .
Ventura, Robert; Samuel, Stefan (2016). "Optymalizacja wtrysku paliwa w silniku GDI z wykorzystaniem ekonomicznej wielkości zamówienia i funkcji W Lamberta" . Stosowana Inżynieria Cieplna . 101 : 112–20. doi : 10.1016/j.applthermaleng.2016.02.024 .

Linki zewnętrzne