Problem reprezentacji skończonej kraty
W matematyce problem reprezentacji skończonej siatki lub skończony problem kraty kongruencji pyta, czy każda skończona krata jest izomorficzna z kratą kongruencji jakiejś skończonej algebry .
Tło
Sieć nazywamy algebraiczną , jeśli jest kompletna i zwarta . W 1963 roku Grätzer i Schmidt udowodnili, że każda krata algebraiczna jest izomorficzna z siatką kongruencji pewnej algebry . Zatem zasadniczo nie ma ograniczeń co do kształtu siatki kongruencji algebry. Problem reprezentacji skończonej kraty pyta, czy to samo dotyczy skończonych krat i skończonych algebr. To znaczy, czy każda skończona krata występuje jako krata kongruencji skończonej ?
W 1980 roku Pálfy i Pudlák udowodnili, że problem ten jest równoważny problemowi stwierdzenia, czy każda skończona krata występuje jako przedział w siatce podgrupy skończonej grupy . Aby zapoznać się z przeglądem podejścia do problemu opartego na teorii grup, zobacz Pálfy (1993) i Pálfy (2001).
Problemu tego nie należy mylić z problemem kraty kongruencji .
Znaczenie
Jest to jeden z najstarszych nierozwiązanych problemów algebry uniwersalnej . Dopóki nie zostanie udzielona odpowiedź, teoria algebr skończonych jest niekompletna, ponieważ mając algebrę skończoną, nie wiadomo, czy istnieją a priori jakiekolwiek ograniczenia co do kształtu jej siatki kongruencji.
Dalsza lektura
- DeMeo, William J (2012). „Kraty kongruencji algebr skończonych”. arXiv : 1204,4305 [ matematyka.GR ].
-
Dowling, TA (luty 1973). „Klasa krat geometrycznych oparta na grupach skończonych” . Dziennik teorii kombinatorycznej, seria B. 14 (1): 61–86. doi : 10.1016/S0095-8956(73)80007-3 .
{{ cite journal }}: CS1 maint: data i rok ( link )