Iloraz (algebra uniwersalna)

W matematyce algebra ilorazowa jest wynikiem podziału elementów struktury algebraicznej za pomocą relacji kongruencji . Algebry ilorazowe są również nazywane algebrami czynnikowymi . Tutaj relacja kongruencji musi być relacją równoważności , która jest dodatkowo zgodna ze wszystkimi operacjami algebry, w sensie formalnym opisanym poniżej. Jego klasy równoważności podzielić elementy danej struktury algebraicznej. Algebra ilorazowa ma te klasy jako swoje elementy, a warunki zgodności są używane do nadania klasom struktury algebraicznej.

Idea algebry ilorazów streszcza w jednym wspólnym pojęciu strukturę ilorazową pierścieni ilorazowych teorii pierścieni , grup ilorazowych teorii grup , przestrzenie ilorazowe algebry liniowej i moduły ilorazowe teorii reprezentacji we wspólną strukturę.

Zgodna relacja

Niech A będzie zbiorem elementów algebry $będzie$ niech E relacją równoważności na zbiorze A . Mówi się, że relacja E jest zgodna (lub ma właściwość podstawienia w odniesieniu do) n -aryjnej operacji fa , jeśli ${\ Displaystyle (a_ {i}, \; b_ {i })\w E}$ dla ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik i \ równoważnik n}$ implikuje ${\ Displaystyle (f(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}),f(b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}))\in E} dla$ dowolnego ${\ Displaystyle a_ {i}, \; b_ {i} \ w A}$ z ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik i \ równoważnik n}$ . Relacja równoważności zgodna ze wszystkimi operacjami algebry nazywana jest kongruencją w odniesieniu do tej algebry.

Algebry ilorazowe i homomorfizmy

Dowolna relacja równoważności E w zbiorze A dzieli ten zbiór na klasy równoważności . Zbiór tych klas równoważności jest zwykle nazywany zbiorem ilorazowym i oznaczany jako A / E . W przypadku algebry łatwo jest zdefiniować operacje indukowane na elementach A / E $,$ jeśli jest kongruencją. W szczególności dla dowolnej operacji ${\ Displaystyle f_ {i} ^ {\ mathcal {A}}}$ arity ${\ Displaystyle n_$ ${i}}$ w (gdzie indeks górny oznacza po prostu że jest operacja w $\ Displaystyle {\ mathcal {A}$ a indeks dolny $} }$ funkcje w i ich liczby) ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}$ zdefiniuj ${\ Displaystyle f_ {i} ^ {{\ mathcal {A}}/E}: (A/E) ^ {n_ {i}} \ do A/E}$ jako ${\ Displaystyle f_ {i} ^ {{\ mathcal {A}}/E} ([a_ {1}] _ {E}, \ ldots, [a_ {n_ {i}}] _ {E}) = [ f_ {i} ^ {\ mathcal {A}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n_ {i}})] _ {E}}, gdzie [ x ]$ mi $_ {E} \ in A/E}$ $x$ $]$ klasę równoważności E ( „ x modulo E ”).

ZA $)}$ $\ Displaystyle {\ mathcal {A}} = (A, (f_ {i} ^ {\ mathcal {A}}) _ {i \ in ja$ , biorąc pod uwagę kongruencję mi na algebrze $mi$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}/E = (A/E, (f_ {i} ^ {{\ mathcal {A}}/E}) _ {i \ in I})} nazywa się$ algebrą ilorazową (lub algebra czynnikowa ) modulo mi $}$ } Istnieje naturalny homomorfizm od odwzorowujący każdy element na jego klasę równoważności $\ displaystyle {\ mathcal {A}}/E} .$ mi ${$ W rzeczywistości każdy homomorfizm h określa relację kongruencji poprzez jądro homomorfizmu, ${\ Displaystyle \ mathop {\ operatorname {ker}} \, h = \ {(a, a ') \ w A ^ {2} \, |\, h(a)=h(a')\}\subseteq A^{2}}$ .

Biorąc pod uwagę algebrę , homomorfizm h definiuje w ten sposób dwie algebry homomorficzne do , obraz h ( ${\ displaystyle {\ mathcal {\ mathcal {} ZA {$ $}}$ $displaystyle {\ mathcal {A$ $}}$ $wynikiem$ ) i oba są izomorficzne co jako twierdzenie obrazie homomorficznym lub jako pierwsze twierdzenie o izomorfizmie dla algebry uniwersalnej. Formalnie $_$ _ _ _ Wtedy istnieje unikalny izomorfizm g z ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}/\ mathop {\ operatorname {ker}} \, h}$ na ${\ Displaystyle {\ mathcal {B} }}$ takie, że g składa się z naturalnym homomorfizmem indukowanym przez ${\ Displaystyle \ mathop {\ operatorname {ker}} \, h}$ równa się h .

Krata kongruencji

$trywialnymi$ algebry na zbiorze $A$ tożsamości na A i kongruencjami. Algebrę bez innych kongruencji nazywamy prostą .

Niech $mathcal$ zbiorem kongruencji w algebrze $}}$ . Ponieważ kongruencje są domknięte pod przecięciem, możemy zdefiniować operację spotkania : ${\ Displaystyle \ klin: \ operatorname {Con} ({\ mathcal {A}}) \ razy \ operatorname {Con} ({\ mathcal {A}}) \ do \ operatorname {Con} ({\ mathcal {A} })}$ po prostu biorąc przecięcie kongruencji ${\ Displaystyle E_ {1} \ klin E_ {2} = E_ {1} \ cap E_ {2}}$ .

Z drugiej strony kongruencje nie są zamknięte w unii. Możemy jednak zdefiniować dowolnej relacji binarnej mi , ustalonej algebry , tak że jest to kongruencja, w następujący sposób: $}}}$ ${\ Displaystyle \ langle E \ rangle _ {\ mathcal {A}} = \ bigcap \ {F \ in \ operatorname {Con} ({\ mathcal {A}}) \ mid E \ subseteq F \}}$ . Zauważ $,$ że zamknięcie relacji binarnej jest kongruencją, a zatem zależy od operacji w a nie tylko od zbioru przewoźników. Zdefiniuj teraz ${\ Displaystyle \ vee: \ operatorname {Con} ({\ mathcal {A}}) \ razy \ operatorname {Con} ({\ mathcal {A}}) \ do \ operatorname {Con} ({\ mathcal {A} })}$ jako ${\ Displaystyle E_ {1} \ vee E_ {2} = \ langle E_ {1} \ kubek E_ {2} \ rangle _ {\ mathcal {A}}}$ .

Dla każdej algebry ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$ , $A}}), \ klin, \ vee )}$ $z$ dwiema operacjami zdefiniowanymi powyżej tworzy siatkę zwaną siatką kongruencji .

Warunki Malcewa

Jeśli dwie kongruencje $)$ ( ) ze złożeniem relacji jako , tj. siatce kongruencji jest równa ich składowi: ${\ Displaystyle \ alfa \ circ \ beta = \ alfa \ vee \ beta}$ . Algebra nazywana jest permutacją kongruencji , jeśli każda para jej kongruencji jest permutowana; podobnie rozmaitość jest kongruencyjnie permutowalna, jeśli wszyscy jej członkowie są algebrami kongruencyjnie permutacyjnymi.

W 1954 roku Anatolij Malcew ustalił następującą charakterystykę rozmaitości kongruencyjnie permutowalnych: odmiana jest permutowalna kongruencyjnie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wyraz trójskładnikowy q ( x , y , z ) taki, że q ( x , y , y ) ≈ x ≈ q ( y , y , x ) ; nazywa się to terminem Maltsev, a odmiany o tej właściwości nazywane są odmianami Maltsev. Charakterystyka Malcewa wyjaśnia dużą liczbę podobnych wyników w grupach (weź q = xy ⁻¹ z ), pierścieniach, quasigrupach (weź q = (x / (y \ y)) (y \ z)) , kratach uzupełnionych , algebrach Heytinga itp Co więcej, każda algebra kongruencyjnie permutowalna jest kongruencyjno-modułowa, tj. jej sieć kongruencji jest również siatką modularną ; odwrotność nie jest jednak prawdą.

Po wyniku Maltseva inni badacze znaleźli charakterystyki oparte na warunkach podobnych do tych znalezionych przez Maltseva, ale dla innych rodzajów właściwości. W 1967 roku Bjarni Jónsson znalazł warunki dla odmian mających siatki kongruencji, które są dystrybucyjne (tak zwane odmiany kongruencyjno-dystrybucyjne), podczas gdy w 1969 roku Alan Day zrobił to samo dla odmian mających sieci kongruencji, które są modułowe. Ogólnie takie warunki nazywane są warunkami Malcewa.

Ten kierunek badań doprowadził do powstania algorytmu Pixleya-Wille'a do generowania warunków Maltseva związanych z tożsamościami kongruencji.

Zobacz też

Notatki

Klausa Denecke; Shelly L. Wismath (2009). Algebra uniwersalna i koalgebra . Świat naukowy. s. 14–17. ISBN 978-981-283-745-5 .
Purna Chandra Biswal (2005). Matematyka dyskretna i teoria grafów . PHI Learning Pvt. z oo str. 215. ISBN 978-81-203-2721-4 .
Clifforda Bergmana (2011). Algebra uniwersalna: podstawy i wybrane tematy . Prasa CRC. s. 122–124, 137 (odmiany malcewskie). ISBN 978-1-4398-5129-6 .