Problem z osadzeniem

W teorii Galois , gałęzi matematyki , problem osadzania jest uogólnieniem odwrotnego problemu Galois . Z grubsza mówiąc, pyta, czy dane rozszerzenie Galois może być osadzone w rozszerzeniu Galois w taki sposób, że dana jest mapa ograniczeń między odpowiednimi grupami Galois .

Definicja

Mając pole K i skończoną grupę H , można postawić następujące pytanie (tzw. odwrotny problem Galois ). Czy istnieje rozszerzenie Galois F/K z grupą Galois izomorficzną z H . Problem osadzania jest uogólnieniem tego problemu:

Niech L/K będzie rozszerzeniem Galois z grupą Galois G i niech f : H → G będzie epimorfizmem. Czy istnieje rozszerzenie Galois F/K z grupą Galois H i osadzeniem α : L → F ustalającym K , w ramach którego mapa ograniczeń z grupy Galois F/K do grupy Galois L/K pokrywa się z f ?

Analogicznie, problem osadzania dla skończonej grupy F składa się z następujących danych: Dwie skończone grupy H i G oraz dwa ciągłe epimorfizmy φ : F → G i f : H → G . Mówimy, że problem osadzania jest skończony , jeśli grupa H jest skończona. Rozwiązaniem (czasami nazywanym też rozwiązaniem słabym) takiego problemu z osadzeniem jest homomorfizm ciągły γ : F → H taki, że φ = f γ . Jeśli rozwiązanie jest suriekcyjne, nazywamy je rozwiązaniem właściwym .

Nieruchomości

Skończone problemy z osadzaniem charakteryzują grupy profinite. Poniższe twierdzenie ilustruje tę zasadę.

Twierdzenie. Niech F będzie policzalną (topologicznie) generowaną grupą profinitywną. Następnie

F jest rzutowa wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny skończony problem osadzania dla F jest rozwiązywalny.
F jest wolna od przeliczalnego rzędu wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny skończony problem osadzania dla F jest właściwie rozwiązywalny.

Luis Ribes, Wprowadzenie do grup Profinite i kohomologii Galois (1970), Queen's Papers in Pure and Appl. Matematyka, nie. 24, Queen's University, Kingstone, Ont.
VV Ishkhanov, BB Lur'e, DK Faddeev, Problem osadzania w teorii Galois Tłumaczenia monografii matematycznych, tom. 165, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne (1997).
Michael D. Fried i Moshe Jarden, Field arithmetic , wydanie drugie, poprawione i rozszerzone przez Moshe Jarden, Ergebnisse der Mathematik (3) 11 , Springer-Verlag, Heidelberg, 2005.
A. Ledet, Problemy osadzania typu Brauera Fields Institute Monografie, no. 21, (2005).
Vahid Shirbisheh, Galois problemy z osadzaniem z abelowymi jądrami wykładnika p VDM Verlag Dr. Müller , ISBN 978-3-639-14067-5 , (2009).
Almobaideen Wesam, Qatawneh Mohammad, Sleit Azzam, Salah Imad, Wydajny schemat mapowania topologii pierścienia na hipersześciany drzewa , Journal of Applied Sciences , 2007