Projekcja Mollweide'a

Projekcja świata Mollweide'a

Projekcja Mollweide'a ze wskaźnikiem deformacji Tissota

Odwzorowanie Mollweide'a to pseudocylindryczne odwzorowanie mapy o równej powierzchni , zwykle używane do map świata lub sfery niebieskiej . Jest również znany jako projekcja Babineta , projekcja homalograficzna , projekcja homolograficzna i projekcja eliptyczna . Projekcja zamienia dokładność kąta i kształtu na dokładność proporcji w obszarze i jako taka jest używana tam, gdzie ta właściwość jest potrzebna, na przykład na mapach przedstawiających globalne rozkłady.

Projekcja została po raz pierwszy opublikowana przez matematyka i astronoma Karla (lub Carla) Brandana Mollweide'a (1774–1825) z Lipska w 1805 r. Została ponownie wynaleziona i spopularyzowana w 1857 r. Przez Jacquesa Babineta , który nadał jej nazwę projekcja homalograficzna . Odmiana homolograficzna powstała w wyniku częstego stosowania w atlasach gwiazd w XIX wieku.

Dziewięcioletni obraz WMAP (2012) kosmicznego mikrofalowego promieniowania tła . Rzutowane za pomocą projekcji Mollweide'a.

freonu na powierzchni morza mierzone w ramach projektu Global Ocean Data Analysis Project . Rzutowane za pomocą projekcji Mollweide'a.

Nieruchomości

Mollweide to pseudocylindryczna projekcja, w której równik jest przedstawiony jako prosta pozioma linia prostopadła do środkowego południka , który jest równy połowie długości równika. Inne paralele kompresują się w pobliżu biegunów, podczas gdy inne południki są równomiernie rozmieszczone na równiku. Południki leżące pod kątem 90 stopni na wschód i zachód tworzą idealne koło, a cała ziemia jest przedstawiona jako proporcjonalna elipsa 2:1. Proporcja pola powierzchni elipsy między dowolnym równoleżnikiem a równikiem jest taka sama, jak proporcja pola kuli ziemskiej między tym równoleżnikiem a równikiem, ale kosztem zniekształcenia kształtu, które jest znaczne na obwodzie elipsy, choć nie tak dotkliwe jak w rzucie sinusoidalnym .

Zniekształcenie kształtu można zmniejszyć, stosując wersję przerywaną . Sinusoidalna przerwana projekcja Mollweide'a odrzuca środkowy południk na rzecz naprzemiennych półpołudników, które kończą się pod kątem prostym do równika. Powoduje to podział globu na płaty. W przeciwieństwie do tego, równoległa przerywana projekcja Mollweide'a wykorzystuje wiele rozłącznych centralnych południków, dając efekt wielu elips połączonych na równiku. Rzadziej projekcję można narysować ukośnie, aby przesunąć obszary zniekształceń do oceanów, dzięki czemu kontynenty zachowują prawdziwszy kształt.

Mollweide lub jego właściwości zainspirowały stworzenie kilku innych projekcji, w tym homolosine Goode'a , van der Grinten i eumorficzny Boggs .

Sformułowanie matematyczne

Projekcja przekształca się z szerokości i długości geograficznej na współrzędne mapy x i y za pomocą następujących równań:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x & = R {\ Frac {2 {\ sqrt {2}}} {\ pi}} \ lewo (\ lambda - \ lambda _ {0} \ prawej) \ cos \ teta, \\ [5px] y& =R{\sqrt {2}}\sin \theta ,\end{wyrównane}}}$

gdzie θ jest kątem pomocniczym określonym przez

${\ Displaystyle 2 \ teta + \ grzech 2 \ teta = \ pi \ sin \ varphi \ qquad (1)}$

₀ a λ to długość geograficzna, λ to południk środkowy, φ to szerokość geograficzna, a R to promień globu, który ma być rzutowany. Mapa ma obszar 4 π R ² , zgodny z polem powierzchni globu generującego. Współrzędna x ma zakres [−2 R √ 2 , 2 R √ 2 ], a współrzędna y ma zakres [− R √ 2 , R √ 2 ].

Równanie (1) można rozwiązać z szybką zbieżnością (ale powoli w pobliżu biegunów) za pomocą iteracji Newtona – Raphsona :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ theta _ {0}&= \ varphi, \\\ theta _ {n + 1} & = \ theta _ {n} - {\ Frac {2 \ theta _ {n} + \ sin 2 \ theta _ {n} - \ pi \ sin \ varphi} {2 + 2 \ cos 2 \ theta _ {n}}}. \ koniec {wyrównane}}}$

Jeśli φ = ± π / 2 , to także θ = ± π / 2 . W takim przypadku należy pominąć iterację; w przeciwnym razie dzielenie przez zero .

Istnieje odwrotna transformacja w postaci zamkniętej :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ varphi & = \ arcsin {\ Frac {2 \ teta + \ sin 2 \ teta} {\ pi}}, \\ [5px] \ lambda & = \ lambda _{0}+{\frac {\pi x}{2R{\sqrt {2}}\cos \theta}},\end{wyrównane}}}$

gdzie θ można znaleźć na podstawie relacji

${\ Displaystyle \ theta = \ arcsin {\ Frac {y} {R {\ sqrt {2}}}}. \,}$

Transformacje odwrotne pozwalają znaleźć szerokość i długość geograficzną odpowiadającą współrzędnym mapy x i y .

Zobacz też

• Lista odwzorowań map
• Projekcja Aitoffa
• Projekcja młotka
• Rodzina projekcji hipereliptycznych Toblera

Linki zewnętrzne

• Interaktywny aplet Java do badania deformacji (obszaru, odległości i kąta) odwzorowania mapy Mollweide
• Projekcja Mollweide'a w Mathworld