Prosta sfera

W geometrii i kombinatoryce uproszczona (lub kombinatoryczna ) d -sfera jest uproszczonym złożonym homeomorficznym względem d - sfery wymiarowej . Niektóre sfery uproszczone powstają jako granice wypukłych polytopów , jednak w wyższych wymiarach większości sfer uproszczonych nie można uzyskać w ten sposób.

Jednym z ważnych otwartych problemów w tej dziedzinie była hipoteza g , sformułowana przez Petera McMullena , która pyta o możliwe liczby ścian o różnych wymiarach uproszczonej sfery. W grudniu 2018 r. Karim Adiprasito udowodnił hipotezę g w bardziej ogólnym kontekście racjonalnych sfer homologii.

Przykłady

Dla dowolnego n ≥ 3 prosty n -cykl Cn jest kołem uproszczonym , tj. kulą uproszczoną o wymiarze 1. Taka konstrukcja daje wszystkie koła uproszczone _.
Granica wypukłego wielościanu w R ³ o trójkątnych ścianach, takiego jak ośmiościan lub dwudziestościan , jest uproszczoną 2-kulą.
Mówiąc bardziej ogólnie, granicą dowolnego ( d +1)-wymiarowego zwartego (lub ograniczonego ) symplicalnego wypukłego polytope w przestrzeni euklidesowej jest uproszczona d -sfera.

Nieruchomości

wzoru Eulera wynika , że każda uproszczona 2-kula z n wierzchołkami ma 3 n - 6 krawędzi i 2 n - 4 ściany. Przypadek n = 4 jest realizowany przez czworościan. Wielokrotnie wykonując podział barycentryczny , łatwo jest skonstruować prostą kulę dla dowolnego n ≥ 4. Ponadto Ernst Steinitz podał charakterystykę 1-szkieletu (lub grafów krawędziowych) wypukłych polytopów w R ³ co sugeruje, że każda uproszczona 2-sfera jest granicą wypukłego polytopu.

₀ Branko Grünbaum skonstruował przykład niepolitopalnej sfery simplicalnej (to znaczy sfery simplicalnej, która nie jest granicą polytope). Gil Kalai udowodnił, że w rzeczywistości „większość” sfer uproszczonych nie jest politopalami. Najmniejszy przykład ma wymiar d = 4 i ma f = 8 wierzchołków.

₀ Twierdzenie o górnej granicy podaje górne granice dla liczb f _i z i -ścian dowolnej uproszczonej d -sfery z wierzchołkami f = n . Przypuszczenie to zostało udowodnione dla prostych wypukłych polytopów przez Petera McMullena w 1970 r. I przez Richarda Stanleya dla ogólnych sfer uproszczonych w 1975 r.

Hipoteza g wektorów , sformułowana przez McMullena w 1970 r., wymaga pełnej charakterystyki f prostych d -sfer. Innymi słowy, jakie są możliwe sekwencje liczb ścian każdego wymiaru dla uproszczonej d -sfery? W przypadku sfer politopalnych odpowiedź daje g -twierdzenie , udowodnione w 1979 roku przez Billera i Lee (istnienie) oraz Stanleya (konieczność). Przypuszczano, że te same warunki są konieczne dla ogólnych sfer uproszczonych. Przypuszczenie zostało udowodnione przez Karima Adiprasito w grudniu 2018 r.

Zobacz też

Równania Dehna-Sommerville'a

^ ^ab ^Adiprasito , Karim (2019). „Kombinatoryczne twierdzenia Lefschetza poza pozytywnością”. ar Xiv : 1812.10454 .
^ ^ab ^Kalai , Gil (2018-12-25). „Niesamowite: Karim Adiprasito udowodnił hipotezę g dla sfer!” . Kombinatoryka i nie tylko . Źródło 2018-12-25 .
^ McMullen, P. (1971). „O hipotezie górnej granicy dla wypukłych polytopów” . Dziennik teorii kombinatorycznej, seria B. 10 : 187-200. doi : 10.1016/0095-8956(71)90042-6 .

Stanley, Richard (1996). Kombinatoryka i algebra przemienna . Postęp w matematyce. Tom. 41 (wyd. Drugie). Boston: Birkäuser. ISBN 0-8176-3836-9 .

[:0-1] Adiprasito , Karim (2019). „Kombinatoryczne twierdzenia Lefschetza poza pozytywnością”. ar Xiv : 1812.10454 .

[:1-2] Kalai , Gil (2018-12-25). „Niesamowite: Karim Adiprasito udowodnił hipotezę g dla sfer!” . Kombinatoryka i nie tylko . Źródło 2018-12-25 .

[3] McMullen, P. (1971). „O hipotezie górnej granicy dla wypukłych polytopów” . Dziennik teorii kombinatorycznej, seria B. 10 : 187-200. doi : 10.1016/0095-8956(71)90042-6 .