Przestrzeń liniowa (geometria)

Przestrzeń liniowa jest podstawową strukturą w geometrii padania . Przestrzeń liniowa składa się ze zbioru elementów zwanych punktami oraz zbioru elementów zwanych liniami . Każda linia jest odrębnym podzbiorem punktów. Mówimy, że punkty na linii są incydentne z linią. Dowolne dwie linie mogą mieć nie więcej niż jeden punkt wspólny. Intuicyjnie regułę tę można zobrazować jako właściwość, zgodnie z którą dwie linie proste nigdy nie przecinają się więcej niż raz.

$rzutowych$ można postrzegać jako uogólnienie płaszczyzn i afinicznych , szerzej gdzie wymóg, aby każdy ta sama liczba punktów jest odrzucana, a podstawową cechą konstrukcyjną jest to, że 2 punkty pokrywają się dokładnie z 1 linią.

Termin przestrzeń liniowa został ukuty przez Paula Libois w 1964 roku, chociaż wiele wyników dotyczących przestrzeni liniowych jest znacznie starszych.

Definicja

Niech L = ( P , G , I ) będzie strukturą incydencyjną , dla której elementy zbioru P nazywamy punktami, a elementy zbioru G liniami. L jest przestrzenią liniową , jeśli zachodzą następujące trzy aksjomaty:

(L1) dwa różne punkty przecinają się z dokładnie jedną prostą.
(L2) każda prosta jest incydentna z co najmniej dwoma różnymi punktami.
(L3) L zawiera co najmniej dwie odrębne linie.

Niektórzy autorzy odrzucają (L3) podczas definiowania przestrzeni liniowych. W takiej sytuacji przestrzenie liniowe zgodne z (L3) są uważane za nietrywialne , a te, które jej nie spełniają, za trywialne .

Przykłady

Regularna płaszczyzna euklidesowa ze swoimi punktami i liniami stanowi przestrzeń liniową, ponadto wszystkie przestrzenie afiniczne i rzutowe są również przestrzeniami liniowymi.

Poniższa tabela przedstawia wszystkie możliwe nietrywialne przestrzenie liniowe pięciu punktów. Ponieważ dowolne dwa punkty przecinają się zawsze z jedną linią, linie przecinające się tylko z dwoma punktami nie są rysowane zgodnie z konwencją. Trywialny przypadek to po prostu linia przechodząca przez pięć punktów.

Na pierwszej ilustracji dziesięć linii łączących dziesięć par punktów nie jest narysowanych. Na drugiej ilustracji nie narysowano siedmiu linii łączących siedem par punktów.


10 linii	8 linii	6 linii	5 linii

Przestrzeń liniowa złożona z n punktów, zawierająca prostą incydentną z n - 1 punktami, nazywana jest ołówkiem bliskim . (Patrz ołówek )


w pobliżu ołówka z 10 punktami

Nieruchomości

De Bruijna – Erdősa pokazuje, że w dowolnej skończonej przestrzeni liniowej ${\ Displaystyle S = ({\ mathcal {P}}, {\ mathcal {L}}, {\ textbf {I} })}$ , który nie jest pojedynczym punktem ani pojedynczą prostą, mamy ${\ Displaystyle | {\ mathcal {P}} | \ równoważnik | {\ mathcal {L}} |}$ .

Zobacz też

Shult, Ernest E. (2011), Punkty i linie , Universitext, Springer, doi : 10.1007/978-3-642-15627-4 , ISBN 978-3-642-15626-7 .

Albrecht Beutelspacher : Einführung in die endliche Geometrie II . Bibliographisches Institut, 1983, ISBN 3-411-01648-5 , s. 159 (niemiecki)
JH van Lint , RM Wilson : kurs kombinatoryki . Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-42260-4 . P. 188
LM Batten, Albrecht Beutelspacher: Teoria skończonych przestrzeni liniowych . Cambridge University Press, Cambridge, 1992.