Przestrzeń zgrubna (analiza numeryczna)
- Ten artykuł dotyczy składnika metod numerycznych. Aby zapoznać się z zgrubną przestrzenią w topologii, zobacz zgrubną strukturę .
W analizie numerycznej problem zgrubny to pomocniczy układ równań stosowany w metodzie iteracyjnej do rozwiązania danego większego układu równań. Problem zgrubny to w zasadzie wersja tego samego problemu w niższej rozdzielczości, zachowująca jego podstawowe cechy, ale z mniejszą liczbą zmiennych. Celem problemu zgrubnego jest globalne propagowanie informacji w całym problemie.
W metodach wielosiatkowych dla równań różniczkowych cząstkowych problem zgrubny jest zwykle uzyskiwany jako dyskretyzacja tego samego równania na grubszej siatce (zwykle w metodach różnic skończonych ) lub przez przybliżenie Galerkina na podprzestrzeni , zwanej przestrzenią zgrubną . W metodach elementów skończonych zwykle stosuje się przybliżenie Galerkina, z grubszą przestrzenią generowaną przez większe elementy w tej samej domenie . Zazwyczaj problem zgrubny odpowiada siatce, która jest dwa lub trzy razy bardziej zgrubna.
Przestrzenie zgrubne (model zgrubny, model zastępczy ) są podstawą algorytmów i metodologii wykorzystujących koncepcję mapowania przestrzeni do rozwiązywania problemów związanych z modelowaniem i projektowaniem inżynierskim wymagających dużej mocy obliczeniowej. W mapowaniu przestrzennym do kalibracji lub ponownej kalibracji — lub aktualizacji w locie, jak w przypadku agresywnego mapowania przestrzennego — odpowiedniego modelu zgrubnego używany jest model dokładny lub o wysokiej wierności (wysoka rozdzielczość, intensywny obliczeniowo). Zaktualizowany model zgrubny jest często określany jako model zastępczy lub zmapowany model zgrubny. Pozwala na szybkie, ale dokładniejsze wykorzystanie leżącego u podstaw modelu zgrubnego w eksploracji projektów lub optymalizacji projektów.
W metodach dekompozycji domen konstrukcja problemu zgrubnego opiera się na tych samych zasadach, co w metodach wielosiatkowych, ale problem zgrubny ma znacznie mniej niewiadomych, na ogół tylko jedną lub kilka niewiadomych na subdomenę lub podstrukturę, a przestrzeń zgrubna może mieć zupełnie innego typu niż pierwotna przestrzeń elementów skończonych, np. stałe odcinkowe z uśrednianiem w dekompozycji dziedziny równoważenia czy zbudowane z funkcji minimalnych energii w BDDC . Konstrukcja problemu zgrubnego w FETI jest niezwykła, ponieważ nie jest jednak uzyskiwana jako przybliżenie pierwotnego problemu Galerkina.
W algebraicznych metodach wielosiatkowych i iteracyjnych metodach agregacji w ekonomii matematycznej i łańcuchach Markowa problem zgrubny jest generalnie uzyskiwany przez przybliżenie Galerkina na podprzestrzeni. W ekonomii matematycznej problem zgrubny można uzyskać poprzez agregację produktów lub branż w zgrubny opis z mniejszą liczbą zmiennych. W łańcuchach Markowa zgrubny łańcuch Markowa można uzyskać przez agregację stanów.
Szybkość zbieżności metod dekompozycji wielosiatkowej i domenowej dla eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych bez problemu zgrubnego pogarsza się wraz ze zmniejszaniem się kroku siatki (lub zmniejszaniem rozmiaru elementu lub zwiększaniem liczby poddomen lub podstruktur), co powoduje, że problem zgrubny jest niezbędny dla skalowalnego algorytmu .
- Jan Mandel i Bedrich Sousedik, „Coarse Space over the Ages”, Dziewiętnasta Międzynarodowa Konferencja na temat Dekompozycji Domen , Springer-Verlag, przesłane, 2009. arXiv: 0911.5725
- Olof B. Widlund , „Rozwój zgrubnych przestrzeni dla algorytmów dekompozycji domeny”, w: Domain Decomposition Methods in Science and Engineering XVIII , Bercovier, M. i Gander, MJ i Kornhuber, R. i Widlund, O. (red.) , Lecture Notes in Computational Science and Engineering 70, Springer-Verlag, 2009, Proceedings of 18th International Conference on Domain Decomposition, Jerozolima, Izrael, styczeń 2008. artykuł [ stały martwy link ]