Przetasuj algebrę
W matematyce algebra tasowania jest algebrą Hopfa z bazą odpowiadającą słowom z jakiegoś zbioru, której iloczynem jest iloczyn tasowania X ⧢ Y dwóch słów X , Y : suma wszystkich sposobów ich przeplotu. Przeplot jest określony przez permutację riffle shuffle .
Algebra tasowania na zbiorze skończonym jest stopniowaną liczbą podwójną uniwersalnej algebry obwiedniowej swobodnej algebry Liego na zbiorze.
W przypadku liczb wymiernych algebra tasowania jest izomorficzna z algebrą wielomianów w słowach Lyndona .
Produkt losowy występuje w ustawieniach ogólnych w algebrach nieprzemiennych ; dzieje się tak, ponieważ jest w stanie zachować względną kolejność mnożonych czynników - permutację riffle shuffle . Można to przeciwstawić podzielonej strukturze władzy , która staje się odpowiednia, gdy czynniki są przemienne.
Pomieszaj produkt
Iloczyn losowy słów o długości m i n jest sumą po ( m + n )! / m ! n ! sposoby przeplatania tych dwóch słów, jak pokazano w poniższych przykładach:
- ab ⧢ xy = abxy + axby + xaby + axyb + xayb + xyab
- aaa ⧢ aa = 10 aaaaa
Można to zdefiniować indukcyjnie przez
- u ⧢ ε = ε ⧢ u = u
- ua ⧢ vb = ( u ⧢ vb ) za + ( ua ⧢ v ) b
gdzie ε to puste słowo , aib to pojedyncze elementy, a u i v to dowolne słowa .
Produkt shuffle został wprowadzony przez Eilenberga i Mac Lane'a (1953) . Nazwa „produkt losowy” odnosi się do faktu, że produkt można traktować jako sumę wszystkich sposobów tasowania dwóch słów razem: to jest permutacja tasowania karabinu . Produkt jest przemienny i asocjacyjny .
Iloczyn losowy dwóch słów w niektórych alfabetach jest często oznaczony symbolem produktu losowego ⧢ ( znak Unicode U + 29E2 SHUFFLE PRODUCT , wywodzący się z cyrylicy ⟨ш⟩ sha ).
Produkt do infiltracji
Blisko spokrewniony produkt infiltracji został wprowadzony przez Chen, Fox & Lyndon (1958) . Jest zdefiniowany indukcyjnie na słowach nad alfabetem A przez
- fa ↑ ga = ( fa ↑ ga ) za + ( fa ↑ sol ) za + ( fa ↑ sol ) za
- fa ↑ gb = ( fa ↑ gb ) za + ( fa ↑ sol ) b
Na przykład:
- ab ↑ ab = ab + 2 aab + 2 abb + 4 aabb + 2 abab
- ab ↑ ba = aba + bab + abab + 2 abba + 2 baab + baba
Produkt infiltracji jest również przemienny i asocjacyjny.
Zobacz też
- Chen, Kuo-Tsai; Fox, Ralph H .; Lyndon, Roger C. (1958), „Rachunek różniczkowy swobodny. IV. Grupy ilorazowe dolnego szeregu środkowego”, Annals of Mathematics , druga seria, 68 (1): 81–95, doi : 10,2307/1970044 , JSTOR 1970044 , MR 0102539 , Zbl 0142.22304
- Eilenberg, Samuel ; Mac Lane, Saunders (1953), „O grupach H (Π, n). I”, Annals of Mathematics , druga seria, 58 (1): 55–106, doi : 10.2307/1969820 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969820 , MR 0056295 , Zbl 0050.39304
- Green, JA (1995), algebry Shuffle, algebry Liego i grupy kwantowe , Textos de Matemática. Seria B, tom. 9, Coimbra: Universidade de Coimbra Departamento de Matemática, MR 1399082
- Hazewinkel, M. (2001) [1994], "Shuffle algebra" , Encyklopedia matematyki , EMS Press
- Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, VV (2010), Algebry, pierścienie i moduły. Algebry Liego i algebry Hopfa , Mathematical Surveys and Monografie, tom. 168, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, doi : 10.1090/surv/168 , ISBN 978-0-8218-5262-0 , MR 2724822 , Zbl 1211.16023
- Lothaire, M. (1997), Kombinatoryka słów , Encyklopedia matematyki i jej zastosowań, tom. 17, Perrin, D.; Reutenauer, C.; Berstel, J.; Szpilka, JE; Pirillo, G.; Foata, D.; Sakarovitch, J.; Simon, I.; Schützenberger, poseł; Choffrut, C.; Cori, R.; Lyndon, Roger; Rota, Gian-Carlo. Przedmowa Rogera Lyndona (wyd. 2), Cambridge University Press , ISBN 0-521-59924-5 , Zbl 0874.20040
- Reutenauer, Christophe (1993), Bezpłatne algebry Lie , Monografie London Mathematical Society. Nowa seria, tom. 7, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853679-6 , MR 1231799 , Zbl 0798.17001