Przybliżenie Derjaguina

Przybliżenie Derjaguina dotyczyło siły między dwiema kulami (na górze) i energii interakcji między dwiema płytami (na dole).

Przybliżenie Derjaguina (lub czasami określane również jako przybliżenie bliskości ), nazwane na cześć rosyjskiego naukowca Borisa Derjaguina , wyraża profil siły działającej między ciałami o skończonych rozmiarach w kategoriach profilu siły między dwiema płaskimi pół-nieskończonymi ścianami. To przybliżenie jest szeroko stosowane do szacowania sił między cząstkami koloidalnymi , ponieważ siły między dwoma ciałami płaskimi są często znacznie łatwiejsze do obliczenia. Przybliżenie Derjaguina wyraża siłę F ( h ) między dwoma ciałami jako funkcję separacji powierzchni jako

${\ Displaystyle F (h) = 2 \ pi R _ {\ rm {eff}} W (h)}$

gdzie W ( h ) jest energią oddziaływania na jednostkę powierzchni między dwoma płaskimi ścianami, a R _eff efektywnym promieniem. _Gdy dwa ciała są dwiema kulami o promieniach odpowiednio R1 i R2 , efektywny promień jest określony _wzorem

${\ Displaystyle R _ {\ rm {skutek}} ^ {-1} = R_ {1} ^ {-1} + R_ {2} ^ {-1}.}$

_, mierzone aparatem sił powierzchniowych (SFA) lub techniką sondy koloidalnej, są często podawane jako stosunek F ( h )/ Reff .

Zaangażowane ilości i ważność

Siła F ( h ) działająca między dwoma ciałami jest związana z energią swobodną interakcji U ( h ) as

${\ Displaystyle F (h) = - {dU \ nad dh},}$

gdzie h jest separacją powierzchnia-powierzchnia. I odwrotnie, gdy znany jest profil siły, można oszacować energię interakcji jako

${\ Displaystyle U (h) = \ int _ {h} ^ {\ infty} F (h ') \, dh'.}$

Gdy weźmie się pod uwagę dwie płaskie ściany, odpowiednie ilości są wyrażone na jednostkę powierzchni. Ciśnienie rozłączające jest siłą na jednostkę powierzchni i może być wyrażone przez pochodną

${\ Displaystyle \ Pi (h) = - {dW \ nad dh},}$

gdzie W ( h ) to swobodna energia powierzchniowa na jednostkę powierzchni. I odwrotnie, jeden ma

${\ Displaystyle W (h) = \ int _ {h} ^ {\ infty} \ Pi (h ') \, dh'.}$

Głównym ograniczeniem przybliżenia Derjaguina jest to, że jest ono ważne tylko dla odległości znacznie mniejszych niż rozmiar obiektów, których to dotyczy, a mianowicie h ≪ R ₁ i h ≪ R ₂ . Co więcej, jest to przybliżenie kontinuum, a zatem ważne w odległościach większych niż skala długości molekularnej. Nawet w przypadku szorstkich powierzchni wykazano, że to przybliżenie jest ważne w wielu sytuacjach. Jego zakres ważności jest ograniczony do odległości większych niż charakterystyczna wielkość cech chropowatości powierzchni (np. pierwiastek średniokwadratowej chropowatości).

Przypadki specjalne

Często używane geometrie dla przybliżenia Derjaguina. Dwie identyczne kule, płaska ściana i kula oraz dwa prostopadle przecinające się walce (od lewej do prawej).

Częste rozważane geometrie obejmują interakcję między dwiema identycznymi sferami o promieniu R , gdzie staje się promień efektywny

${\ Displaystyle R _ {\ rm {skutek}} = R / 2.}$

W przypadku interakcji między kulą o promieniu R a płaską powierzchnią mamy

${\ Displaystyle R _ {\ rm {skutek}} = R.}$

Powyższe dwie zależności można otrzymać jako szczególne przypadki wyrażenia na R _eff podanego powyżej. Dla sytuacji cylindrów przecinających się prostopadle, stosowanej w aparacie sił powierzchniowych, mamy

${\ Displaystyle R _ {\ rm {skutek}} = {\ sqrt {R_ {1} R_ {2}}},}$

gdzie R1 i R2 są promieniami _krzywizny dwóch zaangażowanych cylindrów _.

Uproszczone wyprowadzenie

Wyjaśnienia dotyczące wyprowadzenia przybliżenia Derjaguina dla dwóch identycznych sfer.

Jako ilustrację rozważmy siłę F ( h ) działającą między dwiema identycznymi kulami o promieniu R. Uważa się, że powierzchnie dwóch odpowiednich kul są pocięte na nieskończenie małe dyski o szerokości dr i promieniu r , jak pokazano na rysunku. Siła jest określona jako suma odpowiednich ciśnień pęcznienia między dwoma dyskami

${\ Displaystyle F = \ int \ Pi (x) \, dA,}$

gdzie x to odległość między krążkami, a dA powierzchnia jednego z tych krążków. Odległość tę można wyrazić jako x = h +2 y . Rozważając twierdzenie Pitagorasa na szarym trójkącie pokazanym na rysunku

${\ Displaystyle R ^ {2} = (Ry) ^ {2} + r ^ {2}.}$

Rozszerzając to wyrażenie i zdając sobie sprawę, że y ≪ R , stwierdzamy, że obszar dysku można wyrazić jako

${\ Displaystyle dA = 2 \ pi r \, dr = 2 \ pi R \, dy = \ pi R \, dx.}$

Siłę można teraz zapisać jako

${\ Displaystyle F (h) = \ pi R \ int _ {h} ^ {\ infty} \ Pi (x )\,dx=\pi RW(h),}$

gdzie W ( h ) to swobodna energia powierzchniowa na jednostkę powierzchni wprowadzona powyżej. Wprowadzając powyższe równanie, górną granicę całkowania zastąpiono nieskończonością, co jest w przybliżeniu poprawne, o ile h ≪ R .

Sprawa ogólna

W ogólnym przypadku dwóch ciał wypukłych efektywny promień można wyrazić w następujący sposób

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {1} R _ {\ rm {skutek}} ^ {2}}} = \ lewo ({\ Frac {1} {R'_ {1}}} +{\frac {1}{R'_{2}}}\right)\left({\frac {1}{R''_{1}}}+{\frac {1}{R''_ {2}}}\right)+\left({\frac {1}{R'_{1}}}-{\frac {1}{R''_{1}}}\right)\left( {\frac {1}{R'_{2}}}-{\frac {1}{R''_{2}}}\right)\sin ^{2}\varphi,}$

gdzie R' _i oraz R" _i są głównymi promieniami krzywizny dla powierzchni i = 1 i 2, ocenianymi w punktach najbliższej odległości podejścia, a φ jest kątem między płaszczyznami, na których rozpięte są okręgi o mniejszych promieniach krzywizny. Gdy ciała nie są kuliste wokół pozycji największego zbliżenia, moment obrotowy między dwoma ciałami rozwija się i jest podawany przez

${\ Displaystyle T = \ pi R_ {\$

Gdzie

${\ Displaystyle V (h) = \ int _ {h} ^ {\ infty} W (h ') \, dh'.}$

Powyższe wyrażenia dla dwóch kul są odzyskiwane przez ustawienie R' _i = R" _i = R _i . Moment obrotowy w tym przypadku znika.

Wyrażenie dla dwóch prostopadle przecinających się cylindrów uzyskuje się z R' _i = R _i oraz R" _i → ∞. W tym przypadku moment obrotowy będzie miał tendencję do ustawiania cylindrów prostopadle w przypadku sił odpychających. W przypadku sił przyciągających moment obrotowy będzie dążył do ich wyrównania .

Te ogólne wzory zostały użyte do oszacowania przybliżonych sił interakcji między elipsoidami.

Poza przybliżeniem Derjaguina

Przybliżenie Derjaguina jest wyjątkowe ze względu na swoją prostotę i ogólność. Aby poprawić to przybliżenie, zaproponowano metodę całkowania elementów powierzchniowych oraz podejście polegające na całkowaniu powierzchni w celu uzyskania dokładniejszych wyrażeń sił między dwoma ciałami. Procedury te uwzględniają również względną orientację zbliżających się powierzchni.

Zobacz też

• Mikroskopia sił atomowych
• Elektryczne siły dwuwarstwowe
• Teoria DLVO
• Siła Van der Waalsa

Dalsza lektura

• Zypman, FR (2006). „Dokładne wyrażenia na siły i energie interakcji płaszczyzny koloidalnej z cząstkami z zastosowaniami w mikroskopii sił atomowych”. J. Phys.: Condens. materia . 8 (10): 2795–2803. Bibcode : 2006JPCM...18.2795Z . doi : 10.1088/0953-8984/18/10/005 .