Przypuszczenie Goormaghtigha

W matematyce hipoteza Goormaghtigha jest hipotezą w teorii liczb nazwaną na cześć belgijskiego matematyka René Goormaghtigha . Przypuszczenie jest takie, że jedyne nietrywialne rozwiązania całkowitoliczbowe wykładniczego równania diofantycznego

${\ Displaystyle {\ Frac {x ^ {m} -1} {x-1}} = {\ Frac {y ^ {n} -1} y-1}}}$

satysfakcjonujące są ${\ Displaystyle x> y> 1}$ i ${\ Displaystyle n, m> 2}$

${\ Displaystyle {\ Frac {5 ^ {3} -1} {5-1}} = {\ Frac {2 ^ {5} -1 }{2-1}}=31}$

I

${\ Displaystyle {\ Frac {90 ^ {3} -1} {90-1}} = {\ Frac {2 ^ {13} - 1}{2-1}}=8191.}$

Wyniki częściowe

$, Lewis i Schinzel ($ ) wykazali, że dla każdej pary stałych wykładników $to$ równanie ma tylko skończenie wiele rozwiązań. Ale ten dowód zależy od twierdzenia Siegela o skończoności , które jest nieskuteczne. Nesterenko i Shorey (1998) wykazali, że jeśli ${\ displaystyle m-1 = dr}$ i ${\ Displaystyle n-1 = ds}$ z ${\ Displaystyle d \ geq 2}$ , ${\ Displaystyle r \ geq 1}$ i ${\ Displaystyle s \ geq 1}$ , a następnie ${\ Displaystyle \ max (x, y, m, n)}$ jest ograniczony efektywnie obliczalną stałą zależną tylko od i ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle s}$ . Yuan (2005) wykazał, że dla i nieparzystego równania to nie ma rozwiązania $= 3$$\ Displaystyle (x, y, n)}$${$ m niż dwa powyższe rozwiązania.

Balasubramanian $1980$ że istnieje tylko skończenie $możliwych$ rozwiązań równań ${\ displaystyle y}$ leżących w danym skończonym zbiorze i że można je efektywnie obliczyć. On i Togbé (2008) $wykazali$ , że dla każdego i ${\ displaystyle y}$ to równanie ma co najwyżej jedno rozwiązanie. Dla ustalonego x (lub y ) równanie ma co najwyżej 15 rozwiązań i co najwyżej dwa, chyba że x jest albo nieparzystą potęgą pierwszą razy potęga dwójki , albo w zbiorze skończonym {15, 21, 30, 33, 35, 39, 45, 51, 65, 85, 143, 154, 713}, w którym to przypadku są co najwyżej trzy rozwiązania. Ponadto istnieje co najwyżej jedno rozwiązanie, jeśli nieparzysta część n jest kwadratowa, chyba że n ma co najwyżej dwa różne nieparzyste czynniki pierwsze lub n jest w zbiorze skończonym {315, 495, 525, 585, 630, 693, 735, 765, 855, 945, 1035, 1050, 1170, 1260, 1386, 1530, 1890, 1925, 1950, 1953, 2115 , 2175, 2223, 2325, 2535, 2565, 2898, 2907, 3105, 3150, 3325, 3465, 3663, 3675, 4235, 5525, 5661, 6273, 8109, 17575, 39151}.

Zgłoszenie do repunitów

Hipotezę Goormaghtigha można wyrazić w ten sposób, że 31 (111 o podstawie 5, 11111 o podstawie 2) i 8191 (111 o podstawie 90, 11111111111111 o podstawie 2) to jedyne dwie liczby, które są repunitami z co najmniej 3 cyframi w dwóch różnych podstawy.

Zobacz też

• Hipoteza Feita-Thompsona

• Goormaghtigh, Rene. L'Intermédiaire des Mathématiciens 24 (1917), 88
• Bugeaud, Y.; Shorey, TN (2002). „W równaniu diofantycznym ${\ Displaystyle {\ tfrac {x ^ {m} -1} {x-1}} = {\ tfrac {y ^ {n }-1}{y-1}}}$ " (PDF) . Pacific Journal of Mathematics . 207 (1): 61-75. doi : 10.2140/pjm.2002.207.61 .
• Balasubramanian, R .; Shorey, TN (1980). „Z równania ${\ Displaystyle a (x ^ {m} -1) / (x-1) =b(y^{n}-1)/(y-1)}$ " . Mathematica Scandinavica . 46 : 177–182. doi : 10.7146/math.scand.a-11861    . MR 0591599 . Zbl 0434.10013 .
•   Davenport, H.; Lewis, DJ; Schinzel, A. (1961). „Równania postaci ${\ Displaystyle f (x) = g (y)}$ ”. Kwadrat. J. Matematyka. Oksford . 2 : 304–312. doi : 10.1093/qmath/12.1.304 . MR 0137703 .
•    Facet, Richard K. (2004). Nierozwiązane problemy w teorii liczb (wyd. 3). Springer-Verlag . P. 242. ISBN 0-387-20860-7 . Zbl 1058.11001 .
•   On, Bo; Togbe, Alan (2008). „O liczbie rozwiązań równania Goormaghtigha dla danych i $displaystyle$ { $y}$ ” . Indag. matematyka _ Nowa seria. 19 : 65–72. doi : 10.1016/S0019-3577(08)80015-8 . MR 2466394 .
•    Nesterenko, Yu. W. ; Shorey, TN (1998). „O równaniu Goormaghtigh” (PDF) . Acta Arithmetica . LXXXIII (4): 381–389. doi : 10.4064/aa-83-4-381-389 . MR 1610565 . Zbl 0896.11010 .
•    Shorey, Tennessee; Tijdeman R. (1986). Wykładnicze równania diofantyczne . Traktaty Cambridge z matematyki. Tom. 87. Cambridge University Press . s. 203–204. ISBN 0-521-26826-5 . Zbl 0606.10011 .
•   Yuan, Pingzhi (2005). „W równaniu diofantycznym ${\ Displaystyle {\ tfrac {x ^ {3} -1} {x-1}} = {\ tfrac {y ^ {n }-1}{y-1}}}$ " . J. Teoria liczb . 112 : 20–25. doi : 10.1016/j.jnt.2004.12.002 . MR 2131139 .